حساب التفاضل والتكامل العشوائي

حساب التفاضل والتكامل العشوائي هو فرع من الرياضيات يُعنى بالعمليات العشوائية . وهو يُتيح تعريف نظرية تكامل متسقة لتكاملات العمليات العشوائية بالنسبة إلى عمليات عشوائية أخرى. وقد أسس هذا المجال عالم الرياضيات الياباني كيوشي إيتو خلال الحرب العالمية الثانية .

تُعدّ عملية وينر (نسبةً إلى نوربرت وينر ) أشهر العمليات العشوائية التي يُطبّق عليها حساب التفاضل والتكامل العشوائي ، وهي تُستخدم لنمذجة الحركة البراونية كما وصفها لويس باشيليه عام 1900 وألبرت أينشتاين عام 1905، بالإضافة إلى عمليات الانتشار الفيزيائي الأخرى في الفضاء للجسيمات الخاضعة لقوى عشوائية. ومنذ سبعينيات القرن الماضي، شاع استخدام عملية وينر في الرياضيات المالية والاقتصاد لنمذجة تطور أسعار الأسهم وأسعار الفائدة على السندات مع مرور الوقت.

يُعدّ حساب إيتو وحساب ماليافين ، وهو فرعٌ تباينيٌّ منه، من أهمّ فروع حساب التفاضل والتكامل العشوائي . ولأسبابٍ تقنية، يُعتبر تكامل إيتو الأكثر فائدةً لفئاتٍ عامةٍ من العمليات، بينما يُعدّ تكامل ستراتونوفيتش، المرتبط به ، مفيدًا في صياغة المسائل (خاصةً في التخصصات الهندسية). ويمكن التعبير عن تكامل ستراتونوفيتش بسهولةٍ بدلالة تكامل إيتو، والعكس صحيح. وتتمثل الميزة الرئيسية لتكامل ستراتونوفيتش في أنه يخضع لقاعدة السلسلة المعتادة ، وبالتالي لا يتطلب استخدام مبرهنة إيتو ^{[ 1 ]} . وهذا يُتيح التعبير عن المسائل بصيغةٍ ثابتةٍ في نظام الإحداثيات، وهو أمرٌ بالغ الأهمية عند تطوير حساب التفاضل والتكامل العشوائي على مشعباتٍ أخرى غير Rⁿ ^. ولا تنطبق نظرية التقارب المُهيمن على تكامل ستراتونوفيتش؛ وبالتالي، يصعب إثبات النتائج دون إعادة صياغة التكاملات بصيغة إيتو.

يُعدّ تكامل إيتو أساسيًا في دراسة حساب التفاضل والتكامل العشوائي.${\displaystyle \int H\,dX}$يتم تعريفها لشبه مارتينجال X وعملية قابلة للتنبؤ محدودة محليًا H.

التكامل ستراتونوفيتش أو تكامل فيسك-ستراتونوفيتش لشبه مارتينجال${\displaystyle X}$يمكن تعريف Y في مواجهة شبه مارتينجال آخر بدلالة تكامل إيتو كما يلي:

${\displaystyle \int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},}$

حيث يرمز [ X , Y ] _tc ^إلى التغاير التربيعي الاختياري للأجزاء المستمرة من X و Y ، وهو التغاير التربيعي الاختياري مطروحًا منه قفزات العمليات  ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$، أي

${\displaystyle \left[X,Y\right]_{t}^{c}:=[X,Y]_{t}-\sum \limits _{s\leq t}\Delta X_{s}\Delta Y_{s}}$.

الترميز البديل

${\displaystyle \int _{0}^{t}X_{s}\,\partial Y_{s}}$

يُستخدم أيضًا للدلالة على تكامل ستراتونوفيتش.

يُعدّ التمويل الرياضي أحد أهم تطبيقات حساب التفاضل والتكامل العشوائي ، حيث يُفترض غالبًا أن أسعار الأصول تتبع معادلات تفاضلية عشوائية . فعلى سبيل المثال، يُسعّر نموذج بلاك-شولز الخيارات كما لو كانت تتبع حركة براونية هندسية ، مما يُوضح الفرص والمخاطر المترتبة على تطبيق حساب التفاضل والتكامل العشوائي.

إلى جانب تكاملات إيتو وفيسك-ستراتونوفيتش الكلاسيكية، توجد العديد من المفاهيم الأخرى للتكاملات العشوائية، مثل تكامل هيتسودا-سكوروكهود ، وتكامل ماركوس ، وتكامل أوجاوا .

• توماس ميكوش، 1998، حساب التفاضل والتكامل الاحتمالي الابتدائي، دار النشر العالمية، رقم ISBN 981-023543-7
• فيما سي كليبانر، 2012، مقدمة في حساب التفاضل والتكامل العشوائي مع التطبيقات (الطبعة الثالثة). دار النشر العالمية العلمية، رقم ISBN 9781848168312
• غاردينر، كريسبين دبليو. (2004). دليل الأساليب العشوائية (  الطبعة الثالثة). سبرينغر، برلين هايدلبرغ. ISBN 3-540-20882-8.
• سزابادوس، تي إس؛ سيكيلي، بي زد (2008). "التكامل العشوائي القائم على مسارات عشوائية بسيطة ومتناظرة". مجلة الاحتمالات النظرية . 22 : 203-219 . arXiv : 0712.3908 . doi : 10.1007/s10959-007-0140-8 .نسخة أولية