الاختبارات أحادية وثنائية الذيل

في اختبار الدلالة الإحصائية ، يُعدّ كلٌّ من الاختبار أحادي الطرف والاختبار ثنائي الطرف طريقتين بديلتين لحساب الدلالة الإحصائية لمعلمة مُستنتجة من مجموعة بيانات، وذلك من خلال إحصائية الاختبار . يُناسب الاختبار ثنائي الطرف إذا كانت القيمة المُقدَّرة أكبر أو أصغر من نطاق مُحدَّد من القيم، على سبيل المثال، ما إذا كان بإمكان المُختبِر الحصول على درجة أعلى أو أقل من نطاق مُحدَّد من الدرجات. تُستخدم هذه الطريقة لاختبار الفرضية الصفرية ، وإذا وُجدت القيمة المُقدَّرة في المناطق الحرجة، تُقبل الفرضية البديلة على الفرضية الصفرية. يُناسب الاختبار أحادي الطرف إذا كان من المُمكن أن تنحرف القيمة المُقدَّرة عن القيمة المرجعية في اتجاه واحد فقط، إما إلى اليسار أو إلى اليمين، وليس كليهما. ^{[ 1 ]} مثال على ذلك هو ما إذا كانت آلة تُنتج أكثر من 1% من المنتجات المعيبة. في هذه الحالة، إذا وُجدت القيمة المُقدَّرة في إحدى المناطق الحرجة أحادية الجانب، اعتمادًا على الاتجاه المطلوب (أكبر من أو أصغر من)، تُقبل الفرضية البديلة على الفرضية الصفرية. تُعرف هذه الاختبارات أيضًا بالاختبارات أحادية الجانب وثنائية الجانب . يُستخدم مصطلح "الذيل" لأن الأجزاء المتطرفة من التوزيعات، حيث تؤدي الملاحظات إلى رفض الفرضية الصفرية، تكون صغيرة وغالبًا ما "تتلاشى" باتجاه الصفر كما هو الحال في التوزيع الطبيعي ، الملون باللون الأصفر، أو "منحنى الجرس"، الموضح على اليمين والملون باللون الأخضر.

تُستخدم الاختبارات أحادية الطرف للتوزيعات غير المتماثلة ذات الطرف الواحد، مثل توزيع كاي تربيع ، وهي شائعة في قياس جودة المطابقة ، أو لأحد طرفي التوزيع ذي الطرفين، مثل التوزيع الطبيعي ، وهو شائع في تقدير الموقع؛ وهذا يُقابل تحديد اتجاه. أما الاختبارات ثنائية الطرف، فتُطبق فقط عند وجود طرفين، كما في التوزيع الطبيعي، وتُقابل اعتبار أي من الاتجاهين ذا دلالة إحصائية. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

في منهج رونالد فيشر ، تُرفض الفرضية الصفرية H₀ عندما تكون قيمة p لإحصائية الاختبار متطرفة بدرجة كافية (مقارنةً بتوزيع المعاينة لإحصائية الاختبار) _، وبالتالي يُستبعد أن تكون نتيجة للصدفة. ويتم ذلك عادةً بمقارنة قيمة p الناتجة مع مستوى الدلالة المحدد، والذي يُرمز إليه بـ${\displaystyle \alpha }$عند حساب الدلالة الإحصائية لمعلمة ما ، في اختبار ذي طرف واحد، يُحدد مصطلح "القيمة القصوى" مسبقًا إما بمعنى "صغيرة بما فيه الكفاية" أو "كبيرة بما فيه الكفاية"، وتُعتبر القيم في الاتجاه الآخر غير دالة إحصائيًا. يمكن الإشارة إلى احتمال الطرف الأيسر أو الأيمن كقيمة p أحادية الطرف، والتي تُشير في النهاية إلى اتجاه انحراف إحصائية الاختبار عن الفرضية الصفرية H₀ _. ^{[ 4 ]} في اختبار ذي طرفين، تعني "القيمة القصوى" إما "صغيرة بما فيه الكفاية" أو "كبيرة بما فيه الكفاية"، وتُعتبر القيم في كلا الاتجاهين دالة إحصائيًا. ^{[ 5 ]} بالنسبة لإحصائية اختبار معينة، يوجد اختبار واحد ثنائي الطرف، واختباران أحاديا الطرف، أحدهما لكل اتجاه. عند تحديد مستوى الدلالة${\displaystyle \alpha }$ستوجد المناطق الحرجة على طرفي التوزيع بمساحة قدرها${\displaystyle \alpha /2}$لكل اختبار ذي طرفين. أو بدلاً من ذلك، ستوجد المنطقة الحرجة فقط على الطرف ذي الطرف الواحد بمساحة قدرها${\displaystyle \alpha }$في اختبار ذي طرف واحد، عند مستوى دلالة محدد في اختبار ذي طرفين لإحصائية اختبار معينة، تُعتبر الاختبارات المقابلة ذات الطرف الواحد لنفس الإحصائية إما ذات دلالة مضاعفة (نصف قيمة p ) إذا كانت البيانات في الاتجاه المحدد بالاختبار، أو غير ذات دلالة على الإطلاق ( قيمة p أعلى من 0.001).${\displaystyle \alpha }$) إذا كانت البيانات في الاتجاه المعاكس للمنطقة الحرجة المحددة بواسطة الاختبار.

على سبيل المثال، عند رمي قطعة نقدية ، يُعد اختبار ما إذا كانت تميل نحو الصورة اختبارًا أحادي الطرف، وتُعتبر بيانات "جميع الصور" ذات دلالة إحصائية عالية، بينما لا تُعتبر بيانات "جميع الكتابات" ذات دلالة إحصائية على الإطلاق ( قيمة الاحتمال  =  1). في المقابل، يُعد اختبار ما إذا كانت تميل في أي من الاتجاهين اختبارًا ثنائي الطرف، وتُعتبر كل من "جميع الصور" و"جميع الكتابات" بيانات ذات دلالة إحصائية عالية. في الاختبارات الطبية، بينما يهتم المرء عمومًا بما إذا كان العلاج يُحقق نتائج أفضل من الصدفة، مما يُشير إلى اختبار أحادي الطرف، فإن النتائج الأسوأ تُثير اهتمامًا أيضًا في المجال العلمي، لذلك ينبغي استخدام اختبار ثنائي الطرف يُقابل اختبار ما إذا كان العلاج يُحقق نتائج مختلفة عن الصدفة، سواءً كانت أفضل أو أسوأ. ^{[ 6 ]} في تجربة تذوق الشاي النموذجية ، اختبر فيشر ما إذا كانت السيدة المعنية أفضل من الصدفة في تمييز نوعين من تحضير الشاي، وليس ما إذا كانت قدرتها مختلفة عن الصدفة، وبالتالي استخدم اختبارًا أحادي الطرف.

في رمي العملة، تكون الفرضية الصفرية عبارة عن سلسلة من تجارب برنولي باحتمالية 0.5، مما ينتج عنه متغير عشوائي X يساوي 1 للصور و 0 للكتابة، والإحصائية الاختبارية الشائعة هي متوسط ​​العينة (لعدد الصور).${\displaystyle {\bar {X}}.}$عند اختبار ما إذا كانت العملة منحازة نحو الصورة، يُستخدم اختبار ذو طرف واحد - حيث يكون عدد كبير فقط من الصور ذا دلالة إحصائية. في هذه الحالة، فإن مجموعة بيانات مكونة من خمس صور (HHHHH)، بمتوسط ​​عينة يساوي 1، لها دلالة إحصائية.${\displaystyle 1/32=0.03125\approx 0.03}$احتمال حدوث ذلك هو (5 رميات متتالية بنتيجتين - ((1/2)^5 = 1/32). سيكون لهذا${\displaystyle p\approx 0.03}$وسيكون ذلك ذا دلالة إحصائية (رفض الفرضية الصفرية) إذا تم تحليل الاختبار عند مستوى دلالة إحصائية قدره${\displaystyle \alpha =0.05}$(مستوى الدلالة المقابل للحد الفاصل). مع ذلك، عند اختبار ما إذا كانت العملة منحازة نحو الصورة أو الكتابة، يُستخدم اختبار ثنائي الطرف، وتُعتبر مجموعة بيانات من خمس صور (متوسط ​​العينة 1) متطرفة تمامًا مثل مجموعة بيانات من خمس كتابات (متوسط ​​العينة 0). ونتيجة لذلك، ستكون قيمة p هي${\displaystyle 2/32=0.0625\approx 0.06}$ولن يكون هذا ذا دلالة إحصائية (أي عدم رفض الفرضية الصفرية) إذا تم تحليل الاختبار عند مستوى دلالة إحصائية قدره${\displaystyle \alpha =0.05}$.

تم تقديم قيمة p بواسطة كارل بيرسون [ ^{7 ] في} اختبار مربع كاي لبيرسون ، حيث عرّف P (بالصيغة الأصلية) على أنها احتمال أن تكون الإحصائية عند مستوى معين أو أعلى منه. هذا تعريف أحادي الطرف، وتوزيع مربع كاي غير متماثل، إذ لا يأخذ إلا القيم الموجبة أو الصفرية، وله طرف واحد فقط، وهو الطرف العلوي. يقيس هذا التوزيع مدى جودة مطابقة البيانات مع التوزيع النظري، حيث يشير الصفر إلى التطابق التام مع التوزيع النظري؛ وبالتالي، تقيس قيمة p مدى احتمالية أن تكون المطابقة بهذا السوء أو أسوأ.

شاع التمييز بين الاختبارات أحادية الطرف وثنائية الطرف بفضل رونالد فيشر في كتابه المؤثر " الأساليب الإحصائية للباحثين" ^{[ 8 ]،} حيث طبّقه بشكل خاص على التوزيع الطبيعي ، وهو توزيع متماثل ذو طرفين متساويين. يُعدّ التوزيع الطبيعي مقياسًا شائعًا للموقع، وليس مقياسًا لجودة المطابقة، وله طرفان، أحدهما يُشير إلى أن تقدير الموقع أعلى أو أدنى من الموقع النظري (مثلًا، متوسط ​​العينة مقارنةً بالمتوسط ​​النظري). في حالة التوزيع المتماثل كالتوزيع الطبيعي، تكون قيمة p أحادية الطرف مساوية تمامًا لنصف قيمة p ثنائية الطرف : ^{[ 8 ]}

يحدث بعض الالتباس أحيانًا بسبب حقيقة أننا في بعض الحالات نرغب في معرفة احتمال أن يتجاوز الانحراف، المعروف بأنه موجب، قيمة مرصودة، بينما في حالات أخرى يكون الاحتمال المطلوب هو أن يتجاوز الانحراف، الذي يكون موجبًا وسالبًا بنفس القدر، قيمة مرصودة؛ الاحتمال الأخير هو دائمًا نصف الاحتمال الأول.

أكد فيشر، في كتابه "تصميم التجارب " (1935)، على أهمية قياس الذيل - أي القيمة المرصودة لإحصائية الاختبار وكل القيم الأكثر تطرفًا - بدلًا من مجرد قياس احتمالية نتيجة محددة بحد ذاتها . ^{[ 9 ]} ويوضح ذلك بأن مجموعة بيانات محددة قد تكون غير محتملة (في الفرضية الصفرية)، بينما تكون النتائج الأكثر تطرفًا محتملة، لذا، من هذا المنطلق، لا ينبغي اعتبار البيانات المحددة غير المحتملة، وإن لم تكن متطرفة، ذات دلالة إحصائية.

إذا كانت إحصائية الاختبار تتبع توزيع t للطالب في الفرضية الصفرية - وهو أمر شائع عندما يتبع المتغير الأساسي توزيعًا طبيعيًا بمعامل قياس غير معروف - يُشار إلى الاختبار حينها باختبار t أحادي الطرف أو ثنائي الطرف . أما إذا أُجري الاختبار باستخدام متوسط ​​المجتمع وتباينه الفعليين، بدلًا من تقدير من عينة، فيُسمى اختبار Z أحادي الطرف أو ثنائي الطرف .

تُقدّم الجداول الإحصائية لـ t و Z القيم الحرجة لاختبارات الطرف الواحد والطرفين. أي أنها تُقدّم القيم الحرجة التي تفصل منطقة كاملة عند أحد طرفي توزيع المعاينة، بالإضافة إلى القيم الحرجة التي تفصل مناطق (بنصف الحجم) عند طرفي توزيع المعاينة.

• اختبار الفرق المزدوج ، عند مقارنة عينتين