نموذج واحد

في الهندسة التفاضلية ، يُعرف الشكل التفاضلي الأحادي (أو حقل المتجهات المرافقة ) على مشعب قابل للتفاضل بأنه شكل تفاضلي من الدرجة الأولى، أي مقطع أملس من حزمة المماس المرافق . ^{[ 1 ]} وبالمثل، فإن الشكل التفاضلي الأحادي على مشعب${\displaystyle M}$هي دالة سلسة للفضاء الكلي للحزمة المماسية لـ${\displaystyle M}$ل${\displaystyle \mathbb {R} }$والتي يكون تقييدها على كل ليف دالة خطية على الفضاء المماسي. ^{[ 2 ]} ليكن${\displaystyle U}$ليكن مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle M}$و${\displaystyle p\in U}$. ثم $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega :U&\rightarrow \bigcup _{p\in U}T_{p}^{*}(M)\\p&\mapsto \omega _{p}\in T_{p}^{*}(M)\end{aligned}}}$$ يُعرّف شكلاً واحداً${\displaystyle \omega }$.${\displaystyle \omega _{p}}$هو متجه متحرك.

غالباً ما يتم وصف الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى محلياً ، وخاصة في الإحداثيات المحلية . في نظام الإحداثيات المحلي، يكون الشكل التفاضلي من الدرجة الأولى عبارة عن توليفة خطية من تفاضلات الإحداثيات: $${\displaystyle \alpha _{x}=f_{1}(x)\,dx_{1}+f_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +f_{n}(x)\,dx_{n},}$$ حيث${\displaystyle f_{i}}$هي دوال سلسة. من هذا المنظور، يمتلك الشكل التفاضلي من الدرجة الأولى قانون تحويل متغاير عند الانتقال من نظام إحداثيات إلى آخر. وبالتالي، فإن الشكل التفاضلي من الدرجة الأولى هو حقل موتر متغاير من الرتبة الأولى .

أبسط شكل تفاضلي غير تافه هو شكل "التغير في الزاوية".${\displaystyle d\theta .}$يُعرَّف هذا بأنه مشتق دالة الزاوية.${\displaystyle \theta (x,y)}$(وهي معرفة فقط حتى ثابت جمعي)، والتي يمكن تعريفها صراحةً بدلالة دالة atan2 . وبأخذ المشتقة نحصل على الصيغة التالية للمشتقة الكلية : $${\displaystyle {\begin{aligned}d\theta &=\partial _{x}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dx+\partial _{y}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dy\\&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\end{aligned}}}$$ بينما لا يمكن تعريف "دالة" الزاوية بشكل مستمر - فإن الدالة atan2 غير متصلة على طول المحور السالب${\displaystyle y}$المحور - الذي يعكس حقيقة أن الزاوية لا يمكن تعريفها بشكل مستمر، فإن هذه المشتقة تُعرَّف بشكل مستمر باستثناء نقطة الأصل، مما يعكس حقيقة أن التغيرات المتناهية الصغر (والمحلية بالفعل) في الزاوية يمكن تعريفها في كل مكان باستثناء نقطة الأصل. يُعطي تكامل هذه المشتقة على طول مسار التغير الكلي في الزاوية على طول هذا المسار، بينما يُعطي التكامل على مسار مغلق عدد لفات المسار.${\displaystyle 2\pi .}$

في لغة الهندسة التفاضلية ، تُعتبر هذه المشتقة شكلاً تفاضلياً من الدرجة الأولى على المستوى المثقوب . وهي مغلقة ( مشتقتها الخارجية تساوي صفرًا) ولكنها ليست تامة ، أي أنها ليست مشتقة شكل تفاضلي من الدرجة الصفرية (أي دالة): الزاوية${\displaystyle \theta }$ليست دالة سلسة معرفة عالميًا على كامل المستوى المثقوب. في الواقع، يُولّد هذا الشكل أول تماثل دي رام للمستوى المثقوب. هذا هو أبسط مثال على هذا الشكل، وهو أساسي في الهندسة التفاضلية.

يترك${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$أن تكون مفتوحة (على سبيل المثال، فاصل زمني)${\displaystyle (a,b)}$)، ولنعتبر دالة قابلة للتفاضل${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ,}$مع المشتق${\displaystyle f'.}$التفاضلي${\displaystyle df}$يُخصص لكل نقطة${\displaystyle x_{0}\in U}$خريطة خطية من الفضاء المماسي${\displaystyle T_{x_{0}}U}$إلى الأعداد الحقيقية. في هذه الحالة، يمكن تحديد كل فضاء مماس بشكل طبيعي مع خط الأعداد الحقيقية، والتحويل الخطي${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$يتم تحديد المسألة عن طريق القياس بواسطة${\displaystyle f'(x_{0}).}$هذا هو أبسط مثال على شكل تفاضلي (أحادي).

• الصيغة التفاضلية – تعبير يمكن تكامله على منطقة 
• الضرب الداخلي – فضاء متجهي مع الضرب النقطي المعمم. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• الشبكة المقلوبة – تحويل فورييه لشبكة في الفضاء الحقيقي، وهي مهمة في فيزياء الحالة الصلبة 
• الموتر – كائن جبري ذو تطبيقات هندسية