الشبكة المقلوبة

يُتيح الفضاء المقلوب (ويُسمى أيضًا فضاء k ) طريقةً لتصوّر نتائج تحويل فورييه لدالة مكانية. وهو يُشابه في دوره مجال التردد الناتج عن تحويل فورييه لدالة تعتمد على الزمن؛ فالفضاء المقلوب هو فضاء يُمثَّل فيه تحويل فورييه لدالة مكانية عند الترددات المكانية أو متجهات الموجات المستوية لتحويل فورييه. ويُشار غالبًا إلى مجال الدالة المكانية نفسها بالمجال المكاني أو الفضاء الحقيقي. في التطبيقات الفيزيائية، مثل علم البلورات ، يكون كل من الفضاء الحقيقي والفضاء المقلوب ثنائيًا أو ثلاثي الأبعاد. وبينما يكون عدد الأبعاد المكانية لهذين الفضاءين متساويًا، فإنهما يختلفان في بُعدهما الكمي ، بحيث عندما يكون للفضاء ^{الحقيقي} بُعد الطول ( L )، يكون للفضاء المقلوب طول معكوس ، أي L⁻¹ (مقلوب الطول).

يُستخدم الفضاء المتبادل في دراسة الموجات، سواء الكلاسيكية أو الكمومية. إذ يمكن كتابة الموجة المستوية الجيبية ذات السعة الواحدة على شكل حد تذبذبي.${\displaystyle \cos(kx-\omega t+\varphi _{0})}$، مع المرحلة الأولية${\displaystyle \varphi _{0}}$، العدد الموجي الزاوي${\displaystyle k}$والتردد الزاوي${\displaystyle \omega }$، ويمكن اعتبارها وظيفة لكليهما${\displaystyle k}$و${\displaystyle x}$(والجزء المتغير مع الزمن كدالة لكليهما)${\displaystyle \omega }$و${\displaystyle t}$هذا الدور التكميلي لـ${\displaystyle k}$و${\displaystyle x}$يؤدي ذلك إلى تصورها ضمن فضاءات متكاملة (الفضاء الحقيقي والفضاء المتبادل). وتُحدد الدورية المكانية لهذه الموجة بطولها الموجي.${\displaystyle \lambda }$، أين${\displaystyle k\lambda =2\pi }$وبالتالي ، سيكون العدد الموجي المقابل في الفضاء المتبادل هو${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$.

في ثلاثة أبعاد، يصبح مصطلح الموجة المستوية المقابل${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{0})}$، وهو ما يتبسط إلى${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\varphi )}$في وقت محدد${\displaystyle t}$، أين${\displaystyle \mathbf {r} }$هو متجه موضع نقطة في الفضاء الحقيقي والآن${\displaystyle \mathbf {k} =2\pi \mathbf {e} /\lambda }$هو متجه الموجة في الفضاء المتبادل ثلاثي الأبعاد. (يُسمى مقدار متجه الموجة بالعدد الموجي). الثابت${\displaystyle \varphi }$هي طور جبهة الموجة ( مستوى ذو طور ثابت) المار بنقطة الأصل${\displaystyle \mathbf {r} =0}$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$، و${\displaystyle \mathbf {e} }$هو متجه وحدة عمودي على هذه الجبهة الموجية. الجبهات الموجية ذات الأطوار${\displaystyle \varphi +(2\pi )n}$، أين${\displaystyle n}$يمثل أي عدد صحيح ، ويتألف من مجموعة من المستويات المتوازية، والمسافات بينها متساوية بمقدار الطول الموجي${\displaystyle \lambda }$.

بشكل عام، الشبكة الهندسية هي مصفوفة منتظمة لانهائية من الرؤوس (النقاط) في الفضاء، ويمكن نمذجتها متجهيًا كشبكة برافي . قد تكون بعض الشبكات مائلة، مما يعني أن خطوطها الرئيسية قد لا تكون بالضرورة متعامدة. في الفضاء المقلوب، تُعرَّف الشبكة المقلوبة بأنها مجموعة متجهات الموجة.${\displaystyle \mathbf {k} }$الموجات المستوية في متسلسلة فورييه لأي دالة${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$التي تتوافق دوريتها مع دورية شبكة مباشرة أولية في الفضاء الحقيقي. وبالمثل، يكون متجه الموجة رأسًا في الشبكة المقلوبة إذا كان يُقابل موجة مستوية في الفضاء الحقيقي يكون طورها في أي لحظة معينة هو نفسه (يختلف في الواقع بمقدار${\displaystyle (2\pi )n}$مع عدد صحيح${\displaystyle n}$) عند كل رأس من رؤوس الشبكة المباشرة.

تتمثل إحدى الطرق الاستدلالية لإنشاء الشبكة المقلوبة في ثلاثة أبعاد في كتابة متجه موضع رأس الشبكة المباشرة على النحو التالي:${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$، حيث${\displaystyle n_{i}}$هي أعداد صحيحة تحدد الرأس و${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$هي متجهات إزاحة أولية مستقلة خطيًا (أو ما يُسمى اختصارًا بالمتجهات الأولية) وهي مميزة للشبكة. وبالتالي، توجد موجة مستوية فريدة (حتى عامل سالب واحد)، يكون جبهتها الموجية المارّة بنقطة الأصل${\displaystyle \mathbf {R} =0}$يحتوي على نقاط الشبكة المباشرة عند${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$و${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ومع جبهة الموجة المجاورة لها (التي يختلف طورها بمقدار${\displaystyle 2\pi }$أو${\displaystyle -2\pi }$من الجبهة الموجية السابقة التي تمر بالأصل) مروراً عبر${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$يأخذ متجه الموجة الزاوي الشكل التالي${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=2\pi \mathbf {e} _{1}/\lambda _{1}}$، أين${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$هو متجه الوحدة العمودي على جبهتي الموجة المتجاورتين هاتين وطول الموجة${\displaystyle \lambda _{1}}$يجب أن يفي${\displaystyle \lambda _{1}=\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}}$، يعني أن${\displaystyle \lambda _{1}}$يساوي المسافة بين جبهتي الموجتين. وبالتالي، بحسب التعريف${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=2\pi }$و${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b} _{1}=\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {b} _{1}=0}$.

وباستخدام نفس الطريقة، يتم المرور عبر المؤشرات بالتناوب، مما ينتج عنه ثلاثة متجهات موجية.${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$مع${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$، حيث دلتا كرونكر${\displaystyle \delta _{ij}}$يساوي واحدًا عندما${\displaystyle i=j}$ويكون صفراً فيما عدا ذلك.${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$تتألف من مجموعة من ثلاثة متجهات موجية أولية أو ثلاثة متجهات إزاحة أولية للشبكة المقلوبة، ويأخذ كل رأس منها الشكل التالي${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$، حيث${\displaystyle m_{j}}$هي أعداد صحيحة. الشبكة المقلوبة هي أيضًا شبكة برافي لأنها تتكون من تركيبات عددية صحيحة للمتجهات الأولية، وهي${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$،${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$، و${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$في هذه الحالة. ثم تُظهر العمليات الجبرية البسيطة أنه لأي موجة مستوية ذات متجه موجي${\displaystyle \mathbf {G} }$على الشبكة المقلوبة، يكون إجمالي إزاحة الطور${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {R} }$بين نقطة الأصل وأي نقطة${\displaystyle \mathbf {R} }$على الشبكة المباشرة يكون مضاعفًا لـ${\displaystyle 2\pi }$(والذي قد يكون صفرًا إذا كان المضاعف صفرًا)، لذا فإن طور الموجة المستوية مع${\displaystyle \mathbf {G} }$ستكون متساوية بشكل أساسي لكل رأس من رؤوس الشبكة المباشرة، بما يتوافق مع تعريف الشبكة المقلوبة المذكور أعلاه. (على الرغم من أن أي متجه موجي${\displaystyle \mathbf {G} }$(على الشبكة المقلوبة، تأخذ دائمًا هذا الشكل، هذا الاشتقاق تحفيزي وليس دقيقًا، لأنه أغفل إثبات عدم وجود احتمالات أخرى.)

منطقة بريلوين هي خلية أولية (أو تحديدًا خلية ويغنر-سيتز ) للشبكة المقلوبة، والتي تلعب دورًا هامًا في فيزياء الحالة الصلبة نظرًا لنظرية بلوخ . في الرياضيات البحتة ، يوفر الفضاء الثنائي للأشكال الخطية والشبكة الثنائية تعميمات أكثر تجريدًا للفضاء المقلوب والشبكة المقلوبة.

بالنسبة لشبكة ثنائية الأبعاد لا نهائية، محددة بواسطة متجهاتها الأولية${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right)}$ويمكن تحديد شبكتها المقلوبة عن طريق توليد متجهيها الأوليين المقلوبين، من خلال الصيغ التالية،

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}}$

أين${\displaystyle m_{i}}$هو عدد صحيح و

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=2\pi {\frac {-\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{-\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}}\end{aligned}}}$

هنا${\displaystyle \mathbf {Q} }$يمثل مصفوفة دوران بزاوية 90 درجة ، أي ربع دورة. يمكن استخدام كل من الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة والدوران مع اتجاه عقارب الساعة لتحديد الشبكة المقلوبة: إذا${\displaystyle \mathbf {Q} }$الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة و${\displaystyle \mathbf {Q'} }$هو الدوران باتجاه عقارب الساعة،${\displaystyle \mathbf {Q} \,\mathbf {v} =-\mathbf {Q'} \,\mathbf {v} }$لجميع المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} }$وبالتالي، باستخدام التبديل

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}}$

نحصل على

${\displaystyle \mathbf {b} _{n}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}.}$

والجدير بالذكر أنه في الفضاء ثلاثي الأبعاد، فإن هذه الشبكة المتبادلة ثنائية الأبعاد هي مجموعة ممتدة بلا حدود من قضبان براغ - كما وصفها سونغ وآخرون ^{[ 1 ] .}

بالنسبة لشبكة ثلاثية الأبعاد لانهائية${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$، مُعرَّفة بواسطة متجهاتها الأولية${\displaystyle \left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$والرمز السفلي للأعداد الصحيحة${\displaystyle n=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)}$، وشبكتها المتبادلة${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$مع الدليل السفلي الصحيح${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$يمكن تحديدها عن طريق توليد متجهاتها الأولية المتبادلة الثلاثة${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\\[8pt]\mathbf {b} _{3}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\end{aligned}}}$$ أين$${\displaystyle V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)=\mathbf {a} _{2}\cdot \left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)=\mathbf {a} _{3}\cdot \left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)}$$هو حاصل الضرب الثلاثي القياسي . اختيار هذه${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$هو إرضاء${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$كما هو الحال مع الشرط المعروف (قد يكون هناك شرط آخر) لمتجهات الإزاحة الأولية للشبكة المقلوبة المشتقة في النهج الاستدلالي أعلاه وقسم متسلسلة فورييه متعددة الأبعاد . هذا الاختيار يفي أيضًا بمتطلبات الشبكة المقلوبة.${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$تم اشتقاقها رياضياً أعلاه . باستخدام تمثيل متجه العمود للمتجهات الأولية (المتبادلة)، يمكن إعادة كتابة الصيغ أعلاه باستخدام معكوس المصفوفة :

${\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}\right]^{\mathsf {T}}=2\pi \left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right]^{-1}.}$

تعتمد هذه الطريقة على التعريف، وتسمح بالتعميم على أبعاد عشوائية. وتُهيمن صيغة الضرب الاتجاهي على المواد التمهيدية في علم البلورات.

يُطلق على التعريف أعلاه اسم تعريف "الفيزياء"، باعتباره عاملاً من${\displaystyle 2\pi }$ينبع هذا المفهوم بشكل طبيعي من دراسة البنى الدورية. ويأتي تعريف مكافئ له أساسًا، وهو تعريف "عالم البلورات"، من تعريف الشبكة المقلوبة.${\displaystyle \mathbf {K} _{m}=\mathbf {G} _{m}/2\pi }$مما يُغير متجهات العناصر الأولية المتبادلة لتصبح

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}}}$

وهكذا بالنسبة للمتجهات الأولية الأخرى. يتميز تعريف عالم البلورات بميزة أن تعريف${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$هو ببساطة مقلوب مقدار${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$في اتجاه${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}$بإسقاط عامل${\displaystyle 2\pi }$يُمكن لهذا أن يُبسّط بعض العمليات الرياضية، ويُعبّر عن أبعاد الشبكة المقلوبة بوحدات التردد المكاني . ويُعدّ اختيار تعريف الشبكة مسألة ذوق، طالما لم يتم الخلط بين التعريفين.

${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$تُكتب عادةً على النحو التالي${\displaystyle (h,k,\ell )}$أو${\displaystyle (hk\ell )}$، وتسمى مؤشرات ميلر ؛${\displaystyle m_{1}}$يتم استبدالها بـ${\displaystyle h}$،${\displaystyle m_{2}}$استبدل بـ${\displaystyle k}$، و${\displaystyle m_{3}}$استبدل بـ${\displaystyle \ell }$كل نقطة شبكية${\displaystyle (hk\ell )}$في الشبكة المقلوبة، يتوافق ذلك مع مجموعة من مستويات الشبكة.${\displaystyle (hk\ell )}$في شبكة الفضاء الحقيقي . (مستوى الشبكة هو مستوى يتقاطع مع نقاط الشبكة). يتوافق اتجاه متجه الشبكة المقلوبة مع العمودي على مستويات الفضاء الحقيقي. مقدار متجه الشبكة المقلوبة${\displaystyle \mathbf {K} _{m}}$يتم إعطاؤها في الطول المقلوب وتساوي مقلوب المسافة بين المستويات في الفضاء الحقيقي.

صيغة لـ${\displaystyle n}$يمكن اشتقاق الأبعاد بافتراض${\displaystyle n}$فضاء متجهي حقيقي ذو أبعاد${\displaystyle V}$مع أساس${\displaystyle (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}$ومنتج داخلي${\displaystyle g\colon V\times V\to \mathbf {R} }$يتم تحديد متجهات الشبكة المقلوبة بشكل فريد بواسطة الصيغة${\displaystyle g(\mathbf {a} _{i},\mathbf {b} _{j})=2\pi \delta _{ij}}$باستخدام التبديل

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\2&3&\cdots &1\end{pmatrix}},}$

ويمكن تحديدها باستخدام الصيغة التالية:

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}=2\pi {\frac {\varepsilon _{\sigma ^{1}i\ldots \sigma ^{n}i}}{\omega (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}}g^{-1}(\mathbf {a} _{\sigma ^{n-1}i}\,\lrcorner \ldots \mathbf {a} _{\sigma ^{1}i}\,\lrcorner \,\omega )\in V}$

هنا،${\displaystyle \omega \colon V^{n}\to \mathbf {R} }$هو شكل الحجم ،${\displaystyle g^{-1}}$هو معكوس تماثل الفضاء المتجهي${\displaystyle {\hat {g}}\colon V\to V^{*}}$محدد بواسطة${\displaystyle {\hat {g}}(v)(w)=g(v,w)}$و${\displaystyle \lrcorner }$يشير إلى الضرب الداخلي .

يمكن التحقق من أن هذه الصيغة مكافئة للصيغ المعروفة للحالة ثنائية وثلاثية الأبعاد باستخدام الحقائق التالية: في ثلاثة أبعاد،${\displaystyle \omega (u,v,w)=g(u\times v,w)}$وفي بُعدين،${\displaystyle \omega (v,w)=g(Rv,w)}$، أين${\displaystyle R\in {\text{SO}}(2)\subset L(V,V)}$وهي الدوران بمقدار 90 درجة (تمامًا مثل شكل الحجم، تعتمد الزاوية المخصصة للدوران على اختيار الاتجاه ^{[ 2 ]} ).

شبكة برافي المكعبة البسيطة ، ذات الخلية الأولية المكعبة ذات ضلع${\displaystyle a}$، ولها في مقلوبها شبكة مكعبة بسيطة ذات خلية أولية مكعبة طول ضلعها${\textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$(أو${\textstyle {\frac {1}{a}}}$(وفقًا لتعريف عالم البلورات). لذلك يُقال إن الشبكة المكعبة ذاتية التناظر، حيث تتمتع بنفس التناظر في الفضاء المتبادل كما في الفضاء الحقيقي.

الشبكة المقلوبة لشبكة FCC هي شبكة مكعبة مركزية الجسم (BCC)، مع جانب مكعب من${\textstyle {\frac {4\pi }{a}}}$.

لنفترض خلية وحدة مركبة من نوع FCC. حدد خلية وحدة أولية من نوع FCC، أي خلية وحدة تحتوي على نقطة شبكية واحدة. الآن، اعتبر أحد رؤوس خلية الوحدة الأولية نقطة الأصل. حدد متجهات الأساس للشبكة الحقيقية. ثم، باستخدام الصيغ المعروفة، يمكنك حساب متجهات الأساس للشبكة المقلوبة. تمثل متجهات الشبكة المقلوبة لـ FCC متجهات الأساس لشبكة حقيقية من نوع BCC. تتشابه متجهات الأساس لشبكة BCC الحقيقية والشبكة المقلوبة لـ FCC في الاتجاه، ولكن ليس في المقدار.

الشبكة المقلوبة لشبكة BCC هي شبكة FCC ، مع جانب مكعب من${\textstyle 4\pi /a}$.

يمكن إثبات أن شبكات برافي فقط هي التي تحتوي على 90 درجة بينها${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$(المكعب، والرباعي، والمعيني القائم) لها متجهات إزاحة أولية للشبكة المقلوبة،${\displaystyle \left(\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$، بالتوازي مع متجهات الفضاء الحقيقي الخاصة بها.

المقلوب لشبكة برافي سداسية بسيطة ذات ثوابت شبكية${\textstyle a}$و${\textstyle c}$وهي شبكة سداسية بسيطة أخرى ذات ثوابت شبكية${\textstyle 2\pi /c}$و${\textstyle 4\pi /(a{\sqrt {3}})}$تدور الشبكة السداسية البسيطة بزاوية 90 درجة حول المحور c بالنسبة للشبكة المباشرة. ولذلك، يُقال إنها شبكة ذاتية التناظر، إذ تتمتع بنفس التناظر في الفضاء المقلوب كما في الفضاء الحقيقي. متجهات الإزاحة الأولية لهذه الشبكة السداسية البسيطة من نوع برافي هي $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{2}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{3}&=c{\hat {z}}.\end{aligned}}}$$^{[ 3 ]}