مفارقة باروندو

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 12 صور
الموسوعة الحرة

مفارقة باروندو ، وهي مفارقة في نظرية الألعاب ، تصف كيف يمكن لمجموعة من الاستراتيجيات الخاسرة أن تتحول إلى استراتيجية رابحة. [ 1 ] سُميت هذه المفارقة نسبةً إلى مبتكرها، خوان باروندو ، الذي اكتشفها عام 1996.

يتضمن مثال بسيط لعبتين لرمي العملة : تستخدم اللعبة (أ) عملة غير متوازنة تخسر بنسبة 50.5% من الوقت، بينما تتناوب اللعبة (ب) بين عملتين غير متوازنتين مختلفتين بناءً على ما إذا كانت أرباحك الحالية زوجية أم فردية. على الرغم من أن كلتا اللعبتين تميلان لصالح الكازينو، إلا أن التناوب بينهما يخلق استراتيجية رابحة صافية. يحدث هذا لأن التناوب يدفع اللاعبين لقضاء وقت أطول في الحالات المواتية للعبة (ب)، بينما يساعد التوازن الثابت للعبة (أ) على إعادة ضبط النظام إلى تلك الظروف المواتية.

ابتكر باروندو هذه المفارقة في سياق تحليله لآلية براون ، وهي تجربة فكرية حول آلة يُزعم أنها قادرة على استخلاص الطاقة من حركات حرارية عشوائية، وقد شاع استخدامها بفضل الفيزيائي ريتشارد فاينمان . مع ذلك، تختفي هذه المفارقة عند تحليلها بدقة. [ 2 ] وقد تم استكشاف استراتيجيات الفوز التي تتألف من توليفات مختلفة من استراتيجيات الخسارة في علم الأحياء قبل نشر مفارقة باروندو. [ 3 ]

أمثلة توضيحية

مثال على شكل سن المنشار

الشكل 1

لنفترض مثالاً حيث توجد نقطتان A و B لهما نفس الارتفاع، كما هو موضح في الشكل 1. في الحالة الأولى، لدينا سطح مستوٍ يربط بينهما. هنا، إذا وضعنا بعض الكرات المستديرة في المنتصف تتحرك ذهابًا وإيابًا بشكل عشوائي، فسوف تتدحرج عشوائيًا ولكن باتجاه كلا الطرفين باحتمالية متساوية. الآن، لنفترض الحالة الثانية حيث لدينا سطح متعرج يشبه أسنان المنشار بين النقطتين. هنا أيضًا، ستتدحرج الكرات باتجاه أي من الطرفين اعتمادًا على ميل السطح. الآن، إذا قمنا بإمالة السطح بأكمله نحو اليمين، كما هو موضح في الشكل 2، فمن الواضح تمامًا أن كلتا الحالتين ستميلان نحو النقطة B.

والآن، لنفترض اللعبة التي نتناوب فيها بين الملفين الشخصيين مع اختيار الوقت المناسب بين التناوب من ملف شخصي إلى آخر.

الشكل 2

عندما نترك بعض الكرات على المسار الأول عند النقطة E ، فإنها تتوزع على المستوى، مُظهرةً حركةً مُفضلةً نحو النقطة B. مع ذلك، إذا طبقنا المسار الثاني عندما تعبر بعض الكرات النقطة C ، ولكن لم تعبر أي منها النقطة D ، فسينتهي بنا المطاف بوجود معظم الكرات عند النقطة E (حيث بدأنا في البداية)، ولكن بعضها سيكون أيضًا في الوادي باتجاه النقطة A، إذا أُتيح وقت كافٍ للكرات للتدحرج إلى الوادي. ثم نطبق المسار الأول مرة أخرى ونكرر الخطوات (مع إزاحة النقاط C و D و E خطوة واحدة للإشارة إلى الوادي الأخير الأقرب إلى A ). إذا لم تعبر أي كرات النقطة C قبل أن تعبر أول كرة النقطة D ، فيجب علينا تطبيق المسار الثاني قبل عبور أول كرة النقطة D بقليل ، للبدء من جديد.

يترتب على ذلك بسهولة أنه في النهاية سيكون لدينا كرات في النقطة أ ، ولكن لا توجد كرات في النقطة ب . وبالتالي، إذا اعتبرنا وجود الكرات في النقطة أ بمثابة فوز ووجودها في النقطة ب بمثابة خسارة، فمن الواضح أننا نفوز بالتناوب (في أوقات مختارة بشكل صحيح) بين لعب لعبتين خاسرتين.

مثال على رمي العملة

يُستمد مثال ثالث لمفارقة باروندو من مجال المقامرة. لنفترض لعب لعبتين، اللعبة أ واللعبة ب ، وفقًا للقواعد التالية. ولتسهيل الأمر، سنُعرّفجت{\displaystyle C_{t}}لتكون عاصمتنا في الوقت t ، مباشرة قبل أن نلعب لعبة.

  1. الفوز في اللعبة يُكسبنا دولارًا واحدًا، والخسارة تتطلب منا التنازل عن دولار واحد. وبناءً على ذلك...جت+1=جت+1{\displaystyle C_{t+1}=C_{t}+1}إذا فزنا في الخطوة t وجت+1=جت-1{\displaystyle C_{t+1}=C_{t}-1}إذا خسرنا في الخطوة t .
  2. في اللعبة أ ، نقوم برمي عملة معدنية غير متوازنة، العملة رقم 1، باحتمالية فوزP1=(1/2)-ϵ{\displaystyle P_{1}=(1/2)-\epsilon }، أينϵ{\displaystyle \epsilon }هو ثابت موجب صغير. من الواضح أن هذه لعبة خاسرة على المدى الطويل.
  3. في اللعبة ب ، نحدد أولاً ما إذا كان رأس مالنا من مضاعفات عدد صحيح مام{\displaystyle M}إذا كان الأمر كذلك، فإننا نرمي عملة غير متوازنة، العملة رقم 2، باحتمالية فوزP2=(1/10)-ϵ{\displaystyle P_{2}=(1/10)-\epsilon }إذا لم يكن الأمر كذلك، فإننا نلقي عملة أخرى غير متوازنة، العملة رقم 3، باحتمالية فوزP3=(3/4)-ϵ{\displaystyle P_{3}=(3/4)-\epsilon }دور المقياسم{\displaystyle M}يوفر التكرار الدوري كما هو الحال في أسنان السقاطة.

من الواضح أنه من خلال لعب اللعبة (أ)، سنخسر على الأرجح في نهاية المطاف. وقد أظهر هارمر وأبوت [ 1 ] من خلال المحاكاة أنه إذام=3{\displaystyle M=3}وϵ=0.005،{\displaystyle \epsilon =0.005,}اللعبة "ب" خاسرةٌ على الأرجح أيضًا. في الواقع، اللعبة "ب" عبارة عن سلسلة ماركوف ، ويُظهر تحليل مصفوفة انتقال الحالة (مع M=3) أن احتمال استخدام العملة 2 في حالة الاستقرار هو 0.3836، واحتمال استخدام العملة 3 هو 0.6164. [ 4 ] وبما أن العملة 2 تُختار بنسبة 40% تقريبًا، فإن لها تأثيرًا كبيرًا على العائد من اللعبة "ب"، مما يجعلها خاسرة.

مع ذلك، عندما تُلعب هاتان اللعبتان الخاسرتان بتسلسل متناوب - مثلاً لعبتان من النوع أ متبوعتان بلعبتين من النوع ب (AABBAABB...)، فإن الجمع بين اللعبتين، على نحوٍ مُفارِق، يُصبح لعبة رابحة . ليست كل التسلسلات المتناوبة من النوعين أ و ب تؤدي إلى ألعاب رابحة. على سبيل المثال، لعبة واحدة من النوع أ متبوعة بلعبة واحدة من النوع ب (ABABAB...) هي لعبة خاسرة، بينما لعبة واحدة من النوع أ متبوعة بلعبتين من النوع ب (ABBABB...) هي لعبة رابحة. أصبح مثال رمي العملة هذا التوضيح الكلاسيكي لمفارقة باروندو - لعبتان، خاسرتان عند لعبهما بشكل منفرد، تُصبحان لعبة رابحة عند لعبهما بتسلسل متناوب مُحدد.

حل المفارقة

تم تفسير هذه المفارقة الظاهرية باستخدام عدد من الأساليب المتطورة، بما في ذلك سلاسل ماركوف، [ 5 ] والتروس المتغيرة، [ 6 ] والتلدين المحاكي ، [ 7 ] ونظرية المعلومات. [ 8 ] إحدى طرق تفسير هذه المفارقة الظاهرية هي كما يلي:

  • بينما تُعتبر اللعبة "ب" لعبة خاسرة وفقًا لتوزيع الاحتمالات الذي ينتج عنجت{\displaystyle C_{t}}moduloم{\displaystyle M}عندما يتم تشغيلها بشكل فردي (جت{\displaystyle C_{t}}moduloم{\displaystyle M}الباقي عندماجت{\displaystyle C_{t}}يقسم علىم{\displaystyle M})، يمكن أن تكون لعبة رابحة في ظل توزيعات أخرى، حيث توجد حالة واحدة على الأقل يكون فيها التوقع إيجابيًا.
  • بما أن توزيع نتائج اللعبة "ب" يعتمد على رأس مال اللاعب، فلا يمكن أن تكون اللعبتان مستقلتين. ولو كانتا كذلك، فإن لعبهما بأي ترتيب سيؤدي إلى الخسارة أيضاً.

دورم{\displaystyle M}يتضح الأمر الآن جليًا. فوظيفته الوحيدة هي إحداث تبعية بين اللعبتين (أ) و(ب)، بحيث يكون اللاعب أكثر عرضة للدخول في حالات يكون فيها للعبة (ب) توقع إيجابي، مما يسمح لها بتجاوز خسائر اللعبة (أ). وبهذا الفهم، تُحل المفارقة: فالألعاب الفردية تخسر فقط في ظل توزيع يختلف عن التوزيع الذي يُواجه فعليًا عند لعب اللعبة المركبة. باختصار، تُعد مفارقة باروندو مثالًا على كيفية إحداث التبعية خللًا في الحسابات الاحتمالية التي تُجرى بناءً على افتراض ساذج للاستقلال. يمكن الاطلاع على شرح أكثر تفصيلًا لهذه النقطة، إلى جانب العديد من الأمثلة ذات الصلة، في كتاب فيليبس وفيلدمان. [ 9 ]

التطبيقات

تُستخدم مفارقة باروندو على نطاق واسع في نظرية الألعاب، وتُعدّ تطبيقاتها في الهندسة، وديناميكيات السكان، [ 3 ] والمخاطر المالية، وغيرها، مجالات بحث نشطة. لا تُعدّ ألعاب باروندو ذات فائدة عملية كبيرة، مثل الاستثمار في أسواق الأسهم [ 10 ]، لأن الألعاب الأصلية تتطلب أن يعتمد العائد من لعبة واحدة على الأقل من الألعاب المتفاعلة على رأس مال اللاعب. مع ذلك، لا تقتصر هذه الألعاب على شكلها الأصلي، ويستمر العمل على تعميم هذه الظاهرة. وقد أُشير إلى أوجه تشابه مع تضخيم التقلبات ومسألة الظرفين [ 11 ] . استُخدمت نماذج بسيطة من كتب التمويل لعوائد الأوراق المالية لإثبات أنه يمكن بسهولة دمج الاستثمارات الفردية ذات العوائد المتوسطة السلبية طويلة الأجل في محافظ متنوعة ذات عوائد متوسطة إيجابية طويلة الأجل. [ 12 ] وبالمثل، استُخدم نموذج يُستخدم غالبًا لتوضيح قواعد الرهان الأمثل لإثبات أن تقسيم الرهانات بين ألعاب متعددة يمكن أن يحوّل العائد المتوسط ​​السلبي طويل الأجل إلى عائد إيجابي. [ 13 ] في علم الأحياء التطوري، تمّ نمذجة وتفسير كلٍّ من التباين الطوري العشوائي للبكتيريا [ 14 ] وتطور أجهزة استشعار أقل دقة [ 15 ] في ضوء مفارقة باروندو. وفي علم البيئة، اقتُرح التناوب الدوري لبعض الكائنات الحية بين السلوكيات المتنقلة والاستعمارية كأحد مظاهر هذه المفارقة. [ 16 ] وقد ظهر تطبيق مثير للاهتمام في نمذجة بقاء الكائنات متعددة الخلايا كنتيجة لهذه المفارقة [ 17 ] ، بالإضافة إلى نقاشات قيّمة حول جدواها. [ 18 ] [ 19 ] كما يمكن إيجاد تطبيقات لمفارقة باروندو في نظرية الموثوقية. [ 20 ]

اسم

في الدراسات المبكرة حول مفارقة باروندو، دار نقاش حول مدى ملاءمة وصفها بكلمة "مفارقة"، نظرًا لإمكانية فهم تأثير باروندو رياضيًا. ويمكن تفسير هذا التأثير "المفارق" رياضيًا من خلال توليفة خطية محدبة.

مع ذلك، يقدم ديريك أبوت ، الباحث البارز في هذا الموضوع، الإجابة التالية بخصوص استخدام كلمة "مفارقة" في هذا السياق: "هل مفارقة باروندو حقًا "مفارقة"؟ يطرح هذا السؤال أحيانًا علماء الرياضيات، بينما لا يهتم الفيزيائيون عادةً بمثل هذه الأمور. أول ما يجب الإشارة إليه هو أن "مفارقة باروندو" مجرد اسم، تمامًا مثل "مفارقة برايس " أو " مفارقة سيمبسون ". ثانيًا، وكما هو الحال مع معظم هذه المفارقات المسماة، فهي جميعًا في الواقع مفارقات ظاهرية. يتجاهل الناس كلمة "ظاهرية" في هذه الحالات لأنها طويلة، وهي واضحة على أي حال. لذلك لا أحد يدعي أنها مفارقات بالمعنى الدقيق. بالمعنى الواسع، المفارقة هي ببساطة شيء منافٍ للحدس. ألعاب باروندو بالتأكيد منافية للحدس - على الأقل حتى تدرسها بشكل مكثف لبضعة أشهر. الحقيقة هي أننا ما زلنا نواصل اكتشاف أشياء جديدة ومدهشة تُبهجنا، بينما نبحث في هذه الألعاب. اشتكى لي أحد علماء الرياضيات من أن هذه الألعاب كانت واضحة له دائمًا، وبالتالي لا ينبغي لنا استخدام كلمة "مفارقة". إما أنه عبقري أو أنه لم يفهمها حقًا في المقام الأول. في كلتا الحالتين، لا جدوى من الجدال مع أمثال هؤلاء. [ 21 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 هارمر، جي بي؛ أبوت، دي. (1999). "يمكن للاستراتيجيات الخاسرة أن تربح بفضل مفارقة باروندو" . مجلة نيتشر . 402 (6764): 864. doi : 10.1038/47220 . S2CID 41319393 . 
  2. ↑ شو، جيان-جون؛ وانغ، كيو-دبليو. (2014). "ما وراء مفارقة باروندو" . التقارير العلمية . 4 (4244): 4244. arXiv : 1403.5468 . Bibcode : 2014NatSR...4E4244S . doi : 10.1038/ srep04244 . PMC 5379438. PMID 24577586 .  
  3. 1 2 جانسن، ف.أ.أ؛ يوشيمورا، ج. (1998). "يمكن أن تستمر التجمعات السكانية في بيئة تتكون من موائل مستنقعية فقط" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة الأمريكية . 95 (7): 3696-3698 . Bibcode : 1998PNAS...95.3696J . doi : 10.1073/pnas.95.7.3696 . PMC 19898. PMID 9520428 .  .
  4. ↑ د. مينور، "مفارقة باروندو - أمل للخاسرين!"، مجلة الرياضيات الجامعية 34(1) (2003) 15-20
  5. ↑ هارمر، جي بي؛ أبوت، د. (1999). "مفارقة باروندو" . العلوم الإحصائية . 14 (2): 206-213 . doi : 10.1214/ss/1009212247 .
  6. ↑ جي بي هارمر، دي أبوت ، بي جي تايلور، وجيه إم آر باروندو ، في وقائع المؤتمر الدولي الثاني حول المشاكل غير المحلولة للضوضاء والتقلبات ، دي أبوت ، وإل بي كيش ، المحررين، المعهد الأمريكي للفيزياء، 2000
  7. ↑ هارمر، جي بي؛ أبوت، دي ؛ تايلور، بي جي (2000). "مفارقة ألعاب باروندو". وقائع الجمعية الملكية في لندن أ . 456 (1994): 1-13 . Bibcode : 2000RSPSA.456..247H . doi : 10.1098/rspa.2000.0516 . S2CID 54202597 . 
  8. ↑ جي بي هارمر، دي أبوت ، بي جي تايلور، سي إي إم بيرس ، وجيه إم آر باروندو، إنتروبيا المعلومات وآلية باروندو ذات الزمن المتقطع ، في وقائع المؤتمر الدولي حول الديناميكيات العشوائية والفوضوية في البحيرات ، أمبلسايد، المملكة المتحدة، تحرير بي في إي ماكلينتوك ، المعهد الأمريكي للفيزياء، 2000
  9. ↑ توماس ك. فيليبس وأندرو ب. فيلدمان، مفارقة باروندو ليست متناقضة ، أوراق عمل شبكة أبحاث العلوم الاجتماعية (SSRN)، أغسطس 2004
  10. ↑ إيينغار، ر.؛ كوهلي، ر. (2004). "لماذا تُعدّ مفارقة باروندو غير ذات صلة بنظرية المنفعة، وشراء الأسهم، ونشأة الحياة". التعقيد . 9 (1): 23-27 . doi : 10.1002/cplx.10112 .
  11. ↑ الفوز أثناء الخسارة: استراتيجية جديدة تحل مفارقة "الظرفين" على موقع Physorg.com
  12. ↑ ستوتزر، مايكل. "مفارقة التنويع" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 أغسطس 2019 .
  13. ↑ ستوتزر، مايكل. "مفارقة باروندو بسيطة" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 أغسطس 2019 .
  14. ↑ وولف، دينيس م.؛ فازيراني، فيجاي ف.؛ أركين، آدم ب. (21-05-2005). "التنوع في أوقات الشدة: استراتيجيات احتمالية في ألعاب بقاء الميكروبات". مجلة البيولوجيا النظرية . 234 (2): 227-253 . Bibcode : 2005JThBi.234..227W . doi : 10.1016/j.jtbi.2004.11.020 . PMID 15757681 . 
  15. ↑ تشيونغ، كانغ هاو؛ تان، زونغ شوان؛ شي، نينغ غانغ؛ جونز، مايكل سي. (14 أكتوبر 2016). " آلية تطورية متناقضة في بيئات متغيرة عشوائيًا" . التقارير العلمية . 6 34889. رمز Bibcode : 2016NatSR...634889C . doi : 10.1038/srep34889 . ISSN 2045-2322 . PMC 5064378. PMID 27739447 .   
  16. ↑ تان، زونغ شوان؛ تشيونغ، كانغ هاو (13 يناير 2017). " استراتيجيات الحياة البدوية-الاستعمارية تُمكّن من البقاء والنمو على نحوٍ مُتناقض رغم تدمير الموائل" . eLife . 6 e21673. doi : 10.7554/eLife.21673 . ISSN 2050-084X . PMC 5319843. PMID 28084993 .   
  17. ↑ جونز، مايكل سي؛ كوه، جين مينغ؛ تشيونغ، كانغ هاو (2018-06-05). "بقاء الكائنات متعددة الخلايا كنتيجة لمفارقة باروندو" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 115 (23): E5258– E5259 . Bibcode : 2018PNAS..115E5258C . doi : 10.1073/pnas.1806485115 . ISSN 0027-8424 . PMC 6003326. PMID 29752380 .   
  18. ↑ نيلسون، بول؛ ماسيل، جوانا (11 مايو 2018). "رد على تشيونغ وآخرون: بقاء الكائنات وحيدة الخلية يستبعد مفارقة باروندو" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 115 (23): E5260. Bibcode : 2018PNAS..115E5260N . doi : 10.1073/pnas.1806709115 . ISSN 0027-8424 . PMC 6003321. PMID 29752383 .   
  19. ↑ تشيونغ، كانغ هاو؛ كوه، جين مينغ؛ جونز، مايكل سي. (21 فبراير 2019). "هل تلعب الأرانب القطبية ألعاب باروندو؟". رسائل التقلب والضوضاء . 18 (3): 1971001. رمز Bibcode : 2019FNL....1871001C . doi : 10.1142/S0219477519710019 . ISSN 0219-4775 . S2CID 127161619 .  
  20. ↑ دي كريسينزو، أنطونيو (2007). "مفارقة باروندو في نظرية الموثوقية" (ملف PDF) . العالم الرياضي . 32 (1): 17-22 .
  21. ↑ أبوت، ديريك. "الصفحة الرسمية لمفارقة باروندو" . جامعة أديلايد. مؤرشف من الأصل في 21 يونيو 2018.

للمزيد من القراءة