مصفوفة باسكال

في نظرية المصفوفات والتوافقية ، مصفوفة باسكال هي مصفوفة (قد تكون لانهائية ) تحتوي على معاملات ذات الحدين كعناصر لها. وبالتالي، فهي تمثيل لمثلث باسكال في صورة مصفوفة. هناك ثلاث طرق طبيعية لتحقيق ذلك: كمصفوفة مثلثية سفلية ، أو مصفوفة مثلثية علوية ، أو مصفوفة متناظرة . على سبيل المثال، المصفوفات 5 × 5 هي:

$${\displaystyle L_{5}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\,\,\,}$$$${\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\,\,\,}$$$${\displaystyle S_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}=L_{5}\times U_{5}}$$ هناك طرق أخرى يمكن من خلالها وضع مثلث باسكال في شكل مصفوفة، ولكن لا يمكن تمديد هذه الطرق بسهولة إلى ما لا نهاية.

تُعطى العناصر غير الصفرية لمصفوفة باسكال بواسطة معاملات ذات الحدين :

$${\displaystyle L_{ij}={i \choose j}={\frac {i!}{j!(ij)!}},j\leq i}$$$${\displaystyle U_{ij}={j \choose i}={\frac {j!}{i!(j-i)!}},i\leq j}$$$${\displaystyle S_{ij}={i+j \choose i}={i+j \choose j}={\frac {(i+j)!}{i!j!}}}$$

بحيث تبدأ المؤشرات i و j من 0، و  ! تشير إلى المضروب . تظهر هذه المصفوفات، إلى جانب المتغيرات ذات الصلة، بشكل طبيعي في دراسة كثيرات حدود هيرميت ولاغير ^{[ 1 ]} .

تتمتع المصفوفات بالعلاقة المُرضية S _{_n} = L_{_n}U _{_n} ^{[ 2 ]} . ومن هذا يتضح بسهولة أن محدد المصفوفات الثلاث يساوي 1، لأن محدد المصفوفة المثلثية هو ببساطة حاصل ضرب عناصر قطرها، وجميعها تساوي 1 لكل من L_{_n} و U _{_n} . بعبارة أخرى، المصفوفات S _{_n} و L_{_n} و U _{_n} أحادية القيمة ، حيث أن أثر L _{_n} و U _{_n} يساوي n .

يُعطى أثر S _{n بالعلاقة التالية}

${\displaystyle {\text{tr}}(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {[2(i-1)]!}{[(i-1)!]^{2}}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}}$

مع الحدود القليلة الأولى المعطاة بواسطة التسلسل 1، 3، 9، 29، 99، 351، 1275، ... (التسلسل A006134 في OEIS ) .

المصفوفة S n  مشابهة لمصفوفة معكوسها، وبالتالي فإن القيم الذاتية لـ S n تأتي في أزواج متبادلة، أي أن λ قيمة ذاتية إذا وفقط إذا كان 1/λ قيمة ذاتية [ 2 ] . ونتيجة لذلك، بالنسبة للقيم الفردية لـ n، فإن المصفوفة S n لها قيمة ذاتية تساوي 1. إذا كان n = p k لعدد أولي فردي p، فإن المتجه الذاتي ذو القيمة الذاتية 1 يرتبط ارتباطًا مباشرًا بعد النقاط على المنحنيات الإهليلجية فوق الحقول المنتهية ودوال زيتا المحلية [ 3 ] .

يمكن إنشاء مصفوفة باسكال بأخذ الدالة الأسية لمصفوفة فرعية قطرية أو علوية قطرية خاصة ^{[ 4 ]} . المثال أدناه يُنشئ مصفوفة باسكال 7 × 7، ولكن هذه الطريقة تُناسب أي مصفوفات باسكال n × n مطلوبة . تمثل النقاط في المصفوفات التالية العناصر الصفرية.

${\displaystyle {\begin{array}{lll}&L_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\1&2&1&.&.&.&.\\1&3&3&1&.&.&.\\1&4&6&4&1&.&.\\1&5&10&10&5&1&.\\1&6&15&20&15&6&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \\\\&U_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}1}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\.&1&2&3&4&5&6\\.&.&1&3&6&10&15\\.&.&.&1&4&10&20\\.&.&.&.&1&5&15\\.&.&.&.&.&1&6\\.&.&.&.&.&.&1\end{smallmatrix}}\right];\\\\\therefore &S_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}i}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5&6&7\\1&3&6&10&15&21&28\\1&4&10&20&35&56&84\\1&5&15&35&70&126&210\\1&6&21&56&126&252&462\\1&7&28&84&210&462&924\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}}$

لا يمكن افتراض أن exp( A ) exp( B ) = exp( A  + B ) للمصفوفتين A و B من الرتبة n × n ؛ فهذه المساواة صحيحة فقط عندما يكون AB = BA (أي عندما تكون المصفوفتان A و B تبادليتين ). في بناء مصفوفات باسكال المتناظرة كما في المثال أعلاه، لا تكون المصفوفات الفرعية والقطرية تبادلية، لذا لا يمكن إجراء التبسيط (الذي قد يبدو مغريًا) الذي يتضمن جمع المصفوفات. 

من الخصائص المفيدة للمصفوفات الفرعية والقطرية المستخدمة في البناء أنها معدومة القوة ؛ أي أنها عند رفعها إلى قوة عددية صحيحة كبيرة بما يكفي ، تتحول إلى مصفوفة صفرية . (انظر مصفوفة الإزاحة لمزيد من التفاصيل). وبما أن مصفوفات الإزاحة المعممة من الرتبة n × n التي نستخدمها تصبح صفرًا عند رفعها إلى القوة n ، فعند حساب الدالة الأسية للمصفوفة، يكفينا النظر إلى أول n  +  1 حدًا من المتسلسلة اللانهائية للحصول على نتيجة دقيقة.

يمكن الحصول على متغيرات مثيرة للاهتمام من خلال التعديل الواضح للوغاريتم المصفوفة PL ₇ ثم تطبيق الأسية المصفوفية.

يستخدم المثال الأول أدناه مربعات قيم مصفوفة اللوغاريتمات وينشئ مصفوفة "لاغير" 7 × 7 (أو مصفوفة معاملات كثيرات حدود لاغير )

${\displaystyle {\begin{array}{lll}&LAG_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&4&.&.&.&.&.\\.&.&9&.&.&.&.\\.&.&.&16&.&.&.\\.&.&.&.&25&.&.\\.&.&.&.&.&36&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\2&4&1&.&.&.&.\\6&18&9&1&.&.&.\\24&96&72&16&1&.&.\\120&600&600&200&25&1&.\\720&4320&5400&2400&450&36&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}$

تُستخدم مصفوفة لاغير في الواقع مع بعض عمليات التحجيم الأخرى و/أو نظام الإشارات المتناوبة. (لم يُعثر بعد على مراجع تتناول التعميمات إلى قوى أعلى).

يستخدم المثال الثاني أدناه حاصل ضرب قيم المصفوفة اللوغاريتمية v ( v  + 1) وينشئ مصفوفة "Lah" بحجم 7 × 7 (أو مصفوفة معاملات أعداد Lah ). 

${\displaystyle {\begin{array}{lll}&LAH_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\2&.&.&.&.&.&.\\.&6&.&.&.&.&.\\.&.&12&.&.&.&.\\.&.&.&20&.&.&.\\.&.&.&.&30&.&.\\.&.&.&.&.&42&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.\\2&1&.&.&.&.&.&.\\6&6&1&.&.&.&.&.\\24&36&12&1&.&.&.&.\\120&240&120&20&1&.&.&.\\720&1800&1200&300&30&1&.&.\\5040&15120&12600&4200&630&42&1&.\\40320&141120&141120&58800&11760&1176&56&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}$

يؤدي استخدام v ( v − 1) بدلاً من ذلك إلى إزاحة قطرية إلى أسفل اليمين.  

يستخدم المثال الثالث أدناه مربع مصفوفة PL ₇ الأصلية ، مقسومًا على 2، بمعنى آخر: ثنائيات الحدود من الدرجة الأولى (binomial( k ,  2)) في القطر الفرعي الثاني، وينشئ مصفوفة، والتي تظهر في سياق مشتقات وتكاملات دالة الخطأ الغاوسية :

${\displaystyle {\begin{array}{lll}&GS_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&3&.&.&.&.&.\\.&.&6&.&.&.&.\\.&.&.&10&.&.&.\\.&.&.&.&15&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\.&1&.&.&.&.&.\\1&.&1&.&.&.&.\\.&3&.&1&.&.&.\\3&.&6&.&1&.&.\\.&15&.&10&.&1&.\\15&.&45&.&15&.&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}$

إذا تم قلب هذه المصفوفة (باستخدام، على سبيل المثال، اللوغاريتم السالب للمصفوفة)، فإنها ستكون ذات إشارات متناوبة، وستعطي معاملات مشتقات (وبالتالي تكاملات) دالة خطأ جاوس. (لم يتم العثور بعد على مراجع تتناول تعميمات لقوى أكبر).

يمكن الحصول على صيغة أخرى عن طريق توسيع المصفوفة الأصلية لتشمل القيم السالبة :

${\displaystyle {\begin{array}{lll}&\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&-4&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&-3&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&-2&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&-1&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&0&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&5&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\10&-4&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-10&6&-3&1&.&.&.&.&.&.&.&.\\5&-4&3&-2&1&.&.&.&.&.&.&.\\-1&1&-1&1&-1&1&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&0&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&2&1&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&3&3&1&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&4&6&4&1&.\\.&.&.&.&.&.&1&5&10&10&5&1\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}}$

• مثلث باسكال
• تحليل LU
• مصفوفة ريوردان

• جي. هيلمز باسكال ماتريكس في مشروع لتجميع الحقائق حول المصفوفات في نظرية الأعداد
• مصفوفة غاوس لـ ج. هيلمز
• وايسشتاين، إريك دبليو. دالة غاوس
• وايسشتاين، إريك دبليو. دالة إرف
• وايسشتاين، إريك دبليو. "متعددة حدود هيرميت". متعددات حدود هيرميت
• تسلسل OEIS A066325 (معاملات كثيرات حدود هيرميت الوحدوية He _n ( x )) (مرتبطة بمصفوفة جاوس).