تراجع ديمينغ

في الإحصاء ، يُعدّ انحدار ديمينغ ، نسبةً إلى دبليو إدواردز ديمينغ ، نموذجًا يعتمد على أخطاء المتغيرات، ويسعى لإيجاد خط الانحدار الأمثل لمجموعة بيانات ثنائية الأبعاد . ويختلف عن الانحدار الخطي البسيط في أنه يأخذ في الحسبان أخطاء المشاهدات على كلٍّ من المحورين السيني والصادي . وهو حالة خاصة من طريقة المربعات الصغرى الكلية ، التي تسمح بأي عدد من المتغيرات التنبؤية وبنية خطأ أكثر تعقيدًا.

يُعادل انحدار ديمينغ تقدير الاحتمال الأقصى لنموذج أخطاء المتغيرات، حيث يُفترض أن أخطاء المتغيرين مستقلة وموزعة توزيعًا طبيعيًا ، وأن نسبة تبايناتهما، والتي يُرمز لها بـ δ ، معلومة. ^{[ 1 ]} عمليًا، يمكن تقدير هذه النسبة من مصادر بيانات ذات صلة؛ إلا أن إجراء الانحدار لا يأخذ في الحسبان الأخطاء المحتملة في تقدير هذه النسبة.

يُعدّ حساب انحدار ديمينغ أصعب قليلاً من حساب الانحدار الخطي البسيط . وتُوفّر معظم برامج الإحصاء المستخدمة في الكيمياء السريرية إمكانية حساب انحدار ديمينغ.

طُرح النموذج لأول مرة من قِبل أدكوك (1878) الذي درس الحالة δ  =  1، ثم بشكل أعم من قِبل كوميل (1879) مع قيمة δ عشوائية. ومع ذلك، ظلت أفكارهم غير معروفة إلى حد كبير لأكثر من 50 عامًا، حتى أعاد كوبمانز (1936) إحياءها ، ثم نشرها ديمينغ (1943) على نطاق أوسع . وقد لاقى كتاب ديمينغ رواجًا كبيرًا في الكيمياء السريرية والمجالات ذات الصلة، حتى أن هذه الطريقة أُطلق عليها اسم " انحدار ديمينغ" في تلك المجالات. ^{[ 2 ]}

افترض أن البيانات المتاحة ( y _i , x _i ) هي ملاحظات مقاسة للقيم "الحقيقية" ( y _i * , x _i * )، والتي تقع على خط الانحدار:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{i}&=y_{i}^{*}+\varepsilon _{i},\\x_{i}&=x_{i}^{*}+\eta _{i},\end{aligned}}}$

حيث يكون الخطأان ε و η مستقلين، ويُفترض أن نسبة تبايناتهما معروفة:

${\displaystyle \delta ={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{\sigma _{\eta }^{2}}}.}$

عمليًا، تباينات${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$غالباً ما تكون المعلمات غير معروفة، مما يعقد عملية تقديرها.${\displaystyle \delta }$لاحظ أنه عند استخدام طريقة القياس لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$إذا كان الأمر نفسه، فمن المرجح أن تكون هذه الاختلافات متساوية، لذا${\displaystyle \delta =1}$في هذه الحالة.

نسعى لإيجاد خط "التوافق الأمثل".

${\displaystyle y^{*}=\beta _{0}+\beta _{1}x^{*},}$

بحيث يتم تقليل المجموع المرجح لمربعات البواقي للنموذج: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle SSR=\sum _{i=1}^{n}{\bigg (}{\frac {\varepsilon _{i}^{2}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}}}+{\frac {\eta _{i}^{2}}{\sigma _{\eta }^{2}}}{\bigg )}={\frac {1}{\sigma _{\epsilon }^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\Big (}(y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{i}^{*})^{2}+\delta (x_{i}-x_{i}^{*})^{2}{\Big )}\ \to \ \min _{\beta _{0},\beta _{1},x_{1}^{*},\ldots ,x_{n}^{*}}SSR}$

انظر جينسن (2007) للحصول على اشتقاق كامل.

يمكن التعبير عن الحل بدلالة العزوم العينية من الدرجة الثانية. أي أننا نحسب أولاً الكميات التالية (جميع المجاميع من i  =  1 إلى n ):

$\begin{aligned}{\overline {x}}&=\tfrac {1}{n}}\sum x_{i}&\overline {y}}&=\tfrac {1}{n}}\sum y_{i},\\s_{xx}&=\tfrac {1}{n}}\sum (x_{i}-\overline {x}})^{2}&&=\overline {x^{2}}}-\overline {x}}^{2},\\s_{xy}&=\tfrac {1}{n}}\sum (x_{i}-\overline {x}})(y_{i}-\overline {y}})&&=\overline {xy}}-\overline {x}}\,\overline {y}},\\s_{yy}&=\tfrac {1}{n}}\sum (y_{i}-{\overline {y}})^{2}&&={\overline {y^{2}}}-{\overline {y}}^{2}.\end{aligned}}\,}$

وأخيرًا، ستكون تقديرات المربعات الصغرى لمعلمات النموذج هي ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\beta }}_{1}={\frac {s_{yy}-\delta s_{xx}+{\sqrt {(s_{yy}-\delta s_{xx})^{2}+4\delta s_{xy}^{2}}}}{2s_{xy}}},\\&{\hat {\beta }}_{0}={\overline {y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}},\\&{\hat {x}}_{i}^{*}=x_{i}+{\frac {{\hat {\beta }}_{1}}{{\hat {\beta }}_{1}^{2}+\delta }}(y_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\beta }}_{1}x_{i}).\end{aligned}}}$

في حالة تساوي تباينات الخطأ، أي عندما${\displaystyle \delta =1}$يتحول انحدار ديمينغ إلى انحدار متعامد : فهو يقلل مجموع مربعات المسافات العمودية من نقاط البيانات إلى خط الانحدار . في هذه الحالة، نرمز لكل مشاهدة بنقطة.${\displaystyle z_{j}=x_{j}+iy_{j}}$في المستوى المركب (أي النقطة${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$أين${\displaystyle i}$(هي الوحدة التخيلية ). نرمز لها بـ${\displaystyle S=\sum {(z_{j}-{\overline {z}})^{2}}}$مجموع مربعات الفروق بين نقاط البيانات ومركز الثقل${\displaystyle {\overline {z}}={\tfrac {1}{n}}\sum z_{j}}$(يُشار إليها أيضًا بالإحداثيات المركبة)، وهي النقطة التي تمثل مواقعها الأفقية والرأسية متوسط ​​مواقع نقاط البيانات. ثم: ^{[ 5 ]}

• لو${\displaystyle S=0}$، عندئذٍ يكون كل خط يمر عبر مركز الثقل هو خط أفضل ملاءمة متعامدة.
• لو${\displaystyle S\neq 0}$يمر خط الانحدار المتعامد عبر مركز الثقل ويكون موازياً للمتجه من نقطة الأصل إلى${\displaystyle {\sqrt {S}}}$.

قدّم كوليدج في عام 1913 تمثيلاً مثلثياً لخط الانحدار المتعامد. [ 6 ] ويمكن أيضاً حساب المسافة ^{باستخدام المعادلة الأكثر} شيوعاً للخط المستقيم، والمُعطاة على النحو التالي:${\displaystyle y=mx+k}$.

العلاقة الوظيفية للمتوسط ​​الهندسي هي حالة من حالات انحدار ديمينغ حيث δ = σ² _x / σ² _y . يفترض هذا النموذج أن كلا المتغيرين لهما نفس الموثوقية ، أي σ _y / σ _ε = σ _x / σ _η . الميل الناتج هو المتوسط ​​الهندسي لميل المربعات الصغرى العادية وميل المربعات الصغرى العكسية، مما يسهل حسابه باستخدام الأدوات المتاحة. وقد أوصي باستخدامه في علم الأحياء. ^{[ 10 ]} هذه الطريقة ثابتة تحت تغيير المقياس، والتحويل، وتبديل المتغيرات، وهي الطريقة الوحيدة التي تعتمد فقط على العزمين الأول والثاني لتحقيق هذه الخاصية. ^{[ 11 ]}

يوسع نموذج انحدار يورك نموذج انحدار ديمينغ من خلال السماح بوجود أخطاء مترابطة في x و y. ^{[ 12 ]}

• تركيب الخطوط
• تخفيف الانحدار

ملحوظات

فهرس

• أدكوك، آر جيه (1878). "مسألة في المربعات الصغرى" . المحلل . 5 (2): 53-54 . doi : 10.2307/2635758 . JSTOR 2635758 . 
• كوليدج، جيه إل (1913). "تطبيقان هندسيان لرياضيات المربعات الصغرى". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 20 (6): 187-190 . doi : 10.2307/2973072 . JSTOR 2973072 . 
• كورنبليت، بي جيه؛ جوشمان، ن. (1979). "معاملات الانحدار غير الصحيحة باستخدام طريقة المربعات الصغرى" . الكيمياء السريرية . 25 (3): 432-438 . doi : 10.1093/clinchem/25.3.432 . PMID 262186 . 
• ديمينغ، دبليو إي (1943). التعديل الإحصائي للبيانات . وايلي، نيويورك (طبعة دوفر للنشر، 1985). ISBN 0-486-64685-8.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• فولر، واين أ. (1987). نماذج خطأ القياس . جون وايلي وأولاده، شركة. ISBN 0-471-86187-1.
• جلايستر، ب. (2001). "إعادة النظر في طريقة المربعات الصغرى". المجلة الرياضية . 85 : 104-107 . doi : 10.2307/3620485 . JSTOR 3620485. S2CID 125949467 .  
• جنسن، أندرس كريستيان (2007). "انحدار ديمينج، حزمة MethComp" (PDF) . جينتوفت، الدنمارك: مركز ستينو للسكري.
• كوبمانز، تي سي (1936). تحليل الانحدار الخطي للسلاسل الزمنية الاقتصادية . دي إرفن إف. بون، هارلم، هولندا.
• كوميل، سي إتش (1879). "اختزال معادلات الملاحظة التي تحتوي على أكثر من كمية مُلاحظة واحدة" . المحلل . 6 (4): 97-105 . doi : 10.2307/2635646 . JSTOR 2635646 . 
• لينيت، ك. (1993). "تقييم إجراءات الانحدار لدراسات مقارنة الطرق" . الكيمياء السريرية . 39 (3): 424-432 . doi : 10.1093/clinchem/39.3.424 . PMID 8448852 . 
• ميندا، د .؛ فيلبس، س . (2008). "المثلثات، والقطع الناقصة، ومتعددات الحدود التكعيبية". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 115 (8): 679-689 . doi : 10.1080/00029890.2008.11920581 . MR 2456092. S2CID 15049234 .  
• كوارتون، تي جي (2020). "فك ارتباط ضوضاء التعبير الجيني وفقًا للعقيدة المركزية باستخدام خطوط الخلايا البشرية المُهندسة جينيًا" . مجلة أبحاث الأحماض النووية . 48 (16): 9406-9413 . doi : 10.1093/nar/ gkaa668 . PMC 7498316. PMID 32810265 .