مفتاح إزاحة الطور

لتحديد معدلات الخطأ رياضياً، ستكون هناك حاجة إلى بعض التعريفات:

• ${\displaystyle E_{b}}$الطاقة لكل بت
• ${\displaystyle E_{s}=nE_{b}}$الطاقة لكل رمز مكون من n بت
• ${\displaystyle T_{b}}$مدة البت
• ${\displaystyle T_{s}}$مدة الرمز
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}N_{0}}$كثافة القدرة الطيفية للضوضاء ( واط / هرتز )
• ${\displaystyle P_{b}}$، احتمال خطأ البت
• ${\displaystyle P_{s}}$احتمال حدوث خطأ في الرمز

${\displaystyle Q(x)}$ستعطي هذه القيمة احتمال أن تكون عينة واحدة مأخوذة من عملية عشوائية ذات دالة كثافة احتمالية غاوسية بمتوسط ​​صفر وتباين يساوي واحدًا أكبر من أو تساوي${\displaystyle x}$. إنها شكل مُقاس لدالة الخطأ الغاوسية التكميلية :

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,dt={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right),\ x\geq 0}$.

معدلات الخطأ المذكورة هنا هي تلك الموجودة في الضوضاء البيضاء الغاوسية المضافة (AWGN). هذه المعدلات أقل من تلك المحسوبة في قنوات التلاشي ، وبالتالي فهي معيار نظري جيد للمقارنة.

يتبع الشكل العام لـ BPSK المعادلة التالية:

${\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft+\pi (1-n)),\quad n=0,1.}$

ينتج عن ذلك طوران، 0 و π. في هذا الشكل المحدد، غالبًا ما تُنقل البيانات الثنائية بالإشارات التالية: ^{[ 1 ] : 123-128}

${\displaystyle s_{0}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft+\pi )=-{\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft)}$للثنائي "0"

${\displaystyle s_{1}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft)}$للثنائي "1"

حيث f هو تردد النطاق الأساسي.

وبالتالي، يمكن تمثيل فضاء الإشارة بدالة أساسية واحدة ^{[ 1 ] : 123-128}

${\displaystyle \phi (t)={\sqrt {\frac {2}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft)}$

حيث يُمثل الرقم 1 بـ${\displaystyle {\sqrt {E_{b}}}\phi (t)}$ويتم تمثيل الصفر بواسطة${\displaystyle -{\sqrt {E_{b}}}\phi (t)}$هذا التكليف تعسفي.

يُوضح استخدام دالة الأساس هذه في نهاية القسم التالي في مخطط توقيت الإشارة. الإشارة العلوية هي موجة جيبية مُعدَّلة بتقنية BPSK، والتي يُنتجها مُعدِّل BPSK. يظهر تدفق البتات الذي يُسبب هذا الخرج أعلى الإشارة (الأجزاء الأخرى من هذا الشكل خاصة بتقنية QPSK فقط). بعد التعديل، تُنقل إشارة النطاق الأساسي إلى نطاق التردد العالي عن طريق الضرب.${\displaystyle \cos(2\pi f_{c}t)}$.

يمكن حساب معدل خطأ البت ( BER) لتقنية BPSK في ظل وجود ضوضاء غاوسية بيضاء مضافة (AWGN) على النحو التالي: ^{[ 2 ] [ 1 ] : 123-128}

${\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$أو${\displaystyle P_{e}={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

بما أن هناك بت واحد فقط لكل رمز، فإن هذا هو معدل خطأ الرمز أيضًا.

يُعدّ تطبيق QPSK أكثر عمومية من تطبيق BPSK، كما أنه يشير إلى تطبيق PSK ذي الرتبة الأعلى. كتابة الرموز في مخطط التشكيل بدلالة موجات الجيب وجيب التمام المستخدمة في إرسالها: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{s}}{T_{s}}}}\cos \left(2\pi f_{c}t+(2n-1){\frac {\pi }{4}}\right),\quad n=1,2,3,4.}$

وهذا ينتج عنه المراحل الأربع π/4، 3π/4، 5π/4 و 7π/4 حسب الحاجة.

ينتج عن ذلك فضاء إشارة ثنائي الأبعاد مع دوال أساسية وحدوية ^{[ 1 ]}

$\begin{aligned}\phi_1(t) = \sqrt{\frac{2}{T_{s}}} \cos(2\pi f_{c}t)\\\phi_2(t) = \sqrt{\frac{2}{T_{s}}} \sin(2\pi f_{c}t)\end{aligned}}}$

تُستخدم دالة الأساس الأولى كمكون متزامن للإشارة والثانية كمكون تربيعي للإشارة.

وبالتالي، تتكون مجموعة الإشارات من 4 نقاط في فضاء الإشارة ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\pm {\sqrt {\frac {E_{s}}{2}}}&\pm {\sqrt {\frac {E_{s}}{2}}}\end{pmatrix}}.}$

تشير العوامل 1/2 إلى أن إجمالي الطاقة يتم تقسيمه بالتساوي بين الناقلين.

تُظهر مقارنة هذه الدوال الأساسية مع دالة BPSK بوضوح كيف يمكن اعتبار QPSK إشارتين BPSK مستقلتين. تجدر الإشارة إلى أن نقاط فضاء الإشارة لـ BPSK لا تتطلب تقسيم طاقة الرمز (البت) على الحاملين في المخطط الموضح في مخطط كوكبة BPSK.

يمكن تنفيذ أنظمة QPSK بعدة طرق. يوضح الشكل أدناه المكونات الرئيسية لهيكل جهاز الإرسال والاستقبال.

على الرغم من إمكانية اعتبار QPSK تعديلًا رباعيًا، إلا أنه من الأسهل فهمه على أنه حاملان تربيعيان مُعدّلان بشكل مستقل. وفقًا لهذا التفسير، تُستخدم البتات الزوجية (أو الفردية) لتعديل مُركّب الطور للحامل، بينما تُستخدم البتات الفردية (أو الزوجية) لتعديل مُركّب الطور التربيعي للحامل. يُستخدم BPSK على كلا الحاملين، ويمكن فكّ تعديلهما بشكل مستقل.

ونتيجة لذلك، فإن احتمال حدوث خطأ في البت بالنسبة لـ QPSK هو نفسه بالنسبة لـ BPSK: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

ومع ذلك، من أجل تحقيق نفس احتمالية خطأ البت مثل BPSK، يستخدم QPSK ضعف الطاقة (حيث يتم إرسال بتين في وقت واحد).

معدل الخطأ في الرمز معطى بالمعادلة التالية: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{s}&=1-\left(1-P_{b}\right)^{2}\\&=2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)-\left[Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)\right]^{2}.\end{aligned}}}$

إذا كانت نسبة الإشارة إلى الضوضاء عالية (كما هو ضروري لأنظمة QPSK العملية)، فيمكن تقريب احتمال خطأ الرمز إلى:

${\displaystyle P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{s}}{2N_{0}}}}\right)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

يظهر أدناه الإشارة المُعدَّلة لجزء قصير من تدفق بيانات ثنائية عشوائية. الموجتان الحاملتان هما موجة جيبية وموجة جيب تمامية، كما هو موضح في تحليل فضاء الإشارة أعلاه. هنا، تم تخصيص البتات ذات الأرقام الفردية للمكون المتوافق في الطور، والبتات ذات الأرقام الزوجية للمكون المتعامد (مع اعتبار البت الأول هو الرقم 1). تظهر الإشارة الكلية - مجموع المكونين - في الأسفل. يمكن ملاحظة قفزات في الطور حيث يقوم تعديل PSK بتغيير الطور على كل مكون في بداية كل دورة بت. يتطابق شكل الموجة العلوي وحده مع الوصف المُعطى لتعديل BPSK أعلاه.  

البيانات الثنائية التي يتم نقلها بواسطة هذا الشكل الموجي هي: 11000110 .

• الأجزاء الشاذة، الموضحة هنا، تساهم في المكون المتزامن: 1 1 0 0 0 1 1 0
• تساهم الأجزاء الزوجية، الموضحة هنا، في مُكَوِّن الطور التربيعي: 1 1 0 0 0 1 1 0

بالنسبة لتقنية M-PSK العامة، لا يوجد تعبير بسيط لاحتمالية خطأ الرمز إذا${\displaystyle M>4}$لسوء الحظ، لا يمكن الحصول عليه إلا من

${\displaystyle P_{s}=1-\int _{-\pi /M}^{\pi /M}p_{\theta _{r}}\left(\theta _{r}\right)d\theta _{r},}$

أين

$\begin{aligned}p_{\theta_r}\left(\theta_r}\right)&=\frac{1}{2\pi}}e^{-2\gamma_{s}\sin^2\theta_r}}\int_{0}^{\infty}Ve^{-\frac{1}{2}}\left(V-2\sqrt{\gamma_{s}}}\cos\theta_r\right)^2}}\,dV,\\V&=\sqrt{r_1^2+r_2^2}}},\\\theta_r&=\tan^{-1}\left(\frac{r_2}{r_1}}}\right),\\\gamma_{s}&=\frac {E_{s}}{N_{0}}}\end{aligned}}}$

و${\displaystyle r_{1}\sim N\left({\sqrt {E_{s}}},{\frac {1}{2}}N_{0}\right)}$و${\displaystyle r_{2}\sim N\left(0,{\frac {1}{2}}N_{0}\right)}$كل منها متغيرات عشوائية غاوسية .

يمكن تقريب ذلك بالنسبة للقيم العالية${\displaystyle M}$ومرتفع${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$بواسطة:

${\displaystyle P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {2\gamma _{s}}}\sin {\frac {\pi }{M}}\right).}$

احتمالية الخطأ في البت لـ${\displaystyle M}$لا يمكن تحديد PSK بدقة إلا بعد معرفة تعيين البتات. ومع ذلك، عند استخدام ترميز غراي ، فإن الخطأ الأكثر احتمالاً من رمز إلى آخر ينتج عنه خطأ بت واحد فقط.

${\displaystyle P_{b}\approx {\frac {1}{k}}P_{s}.}$

(يسمح لنا استخدام ترميز غراي بتقريب مسافة لي للأخطاء على أنها مسافة هامينغ للأخطاء في دفق البتات الذي تم فك تشفيره، وهو أمر أسهل في التنفيذ في الأجهزة.)

يقارن الرسم البياني على اليمين معدلات خطأ البت لتقنيات BPSK وQPSK (وهي متطابقة كما ذُكر سابقًا) و8-PSK و16-PSK. يُلاحظ أن تقنيات التضمين ذات الرتبة الأعلى تُظهر معدلات خطأ أعلى؛ ولكن في المقابل، تُوفر معدل بيانات خام أعلى.

يمكن حساب حدود معدلات الخطأ لمختلف مخططات التضمين الرقمي من خلال تطبيق حد الاتحاد على كوكبة الإشارة.

تزداد كفاءة عرض النطاق الترددي (أو الطيفي) لأنظمة تعديل M-PSK مع زيادة رتبة التعديل M (على عكس، على سبيل المثال، M-FSK ): ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \rho ={\frac {\log _{2}M}{2}}\quad [{\text{bits}}/{\text{s}}\cdot {\text{Hz}}]}$

وينطبق الأمر نفسه على M-QAM . ^{[ 9 ]}

تُعدّ تقنية تعديل إزاحة الطور التفاضلية (DPSK) شكلاً شائعاً من أشكال تعديل الطور، حيث تنقل البيانات عن طريق تغيير طور الموجة الحاملة. وكما ذُكر سابقاً بالنسبة لتقنيتي BPSK وQPSK، يوجد غموض في الطور إذا ما دُورت مجموعة الإشارات نتيجةً لتأثير ما في قناة الاتصال التي تمر عبرها الإشارة. ويمكن التغلب على هذه المشكلة باستخدام البيانات نفسها لتغيير الطور بدلاً من ضبطه .

على سبيل المثال، في نظام BPSK المشفر تفاضليًا، يمكن إرسال الرقم الثنائي "1" عن طريق إضافة 180 درجة إلى الطور الحالي، والرقم الثنائي "0" عن طريق إضافة 0 درجة إلى الطور الحالي. هناك نوع آخر من DPSK وهو مفتاح إزاحة الطور التفاضلي المتناظر، SDPSK، حيث يكون التشفير +90 درجة لـ "1" و -90 درجة لـ "0".

في نظام QPSK المشفر تفاضليًا (DQPSK)، تكون إزاحات الطور 0°، 90°، 180°، -90°، والتي تُقابل البيانات "00"، "01"، "11"، "10". يمكن فك تشفير هذا النوع من التشفير بنفس طريقة فك تشفير PSK غير التفاضلي، ولكن يمكن تجاهل غموض الطور. وبالتالي، يتم فك تشفير كل رمز مُستقبل إلى أحد الرموز التالية:${\displaystyle M}$تُحدد النقاط في مخطط الإشارات، ثم يقوم مُقارن بحساب فرق الطور بين الإشارة المُستقبلة والإشارة السابقة. يُستخدم هذا الفرق لتشفير البيانات كما هو موضح أعلاه. يُشبه تشفير إزاحة الطور التربيعي التفاضلي المتناظر (SDQPSK) تشفير إزاحة الطور التربيعي التفاضلي (DQPSK)، لكن التشفير فيه متناظر، حيث يستخدم قيم إزاحة طور تبلغ -135°، -45°، +45°، و+135°.

يظهر أدناه الإشارة المُعدَّلة لكلٍّ من DBPSK وDQPSK كما هو موضح أعلاه. في الشكل، يُفترض أن الإشارة تبدأ بطور صفري ، وبالتالي يوجد انزياح طوري في كلتا الإشارتين عند .${\displaystyle t=0}$.

يُظهر التحليل أن التشفير التفاضلي يُضاعف معدل الخطأ تقريبًا مقارنةً بالتشفير العادي${\displaystyle M}$-PSK ولكن يمكن التغلب على ذلك بزيادة طفيفة فقط في${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$علاوة على ذلك، يستند هذا التحليل (والنتائج البيانية أدناه) إلى نظام يكون فيه التشويش الوحيد هو الضوضاء البيضاء الغاوسية المضافة (AWGN). مع ذلك، ستكون هناك أيضًا قناة فيزيائية بين المرسل والمستقبل في نظام الاتصالات. ستُدخل هذه القناة، بشكل عام، إزاحة طور غير معروفة على إشارة PSK؛ في هذه الحالات، يمكن أن تُحقق المخططات التفاضلية معدل خطأ أفضل من المخططات العادية التي تعتمد على معلومات طور دقيقة.

يُعد معيار البلوتوث أحد أكثر تطبيقات DPSK شيوعًا حيث${\displaystyle \pi /4}$تم تطبيق تقنيتي DQPSK و 8-DPSK.

بالنسبة للإشارة المشفرة تفاضليًا، توجد طريقة بديلة واضحة لإزالة التضمين. فبدلًا من إزالة التضمين بالطريقة المعتادة وتجاهل غموض طور الموجة الحاملة، تتم مقارنة الطور بين رمزين متتاليين مُستقبَلين، ويُستخدم هذا الطور لتحديد البيانات الأصلية. عند استخدام التشفير التفاضلي بهذه الطريقة، تُعرف هذه الطريقة باسم مفتاح إزاحة الطور التفاضلي (DPSK). تجدر الإشارة إلى أن هذه الطريقة تختلف اختلافًا طفيفًا عن مفتاح إزاحة الطور المشفر تفاضليًا (PSK)، حيث لا يتم فك تشفير الرموز المُستقبَلة واحدًا تلو الآخر إلى نقاط التشكيل عند الاستقبال، بل تتم مقارنتها مباشرةً ببعضها البعض.

قم بتسمية الرمز المستلم في${\displaystyle k}$الفترة الزمنية ^{رقم 1}${\displaystyle r_{k}}$ودعها تمر بمرحلة${\displaystyle \phi _{k}}$افترض، دون الإخلال بعمومية الحل، أن طور الموجة الحاملة يساوي صفرًا. لنرمز إلى حد الضوضاء البيضاء الغاوسية المضافة (AWGN) بالرمز التالي:${\displaystyle n_{k}}$. ثم

${\displaystyle r_{k}={\sqrt {E_{s}}}e^{j\phi _{k}}+n_{k}.}$

المتغير الحاسم لـ${\displaystyle k-1}$^{الرمز th} و${\displaystyle k}$^{يمثل الرمز th} فرق الطور بين${\displaystyle r_{k}}$و${\displaystyle r_{k-1}}$أي إذا${\displaystyle r_{k}}$يتم إسقاطها على${\displaystyle r_{k-1}}$، ويتم اتخاذ القرار بناءً على طور العدد المركب الناتج:

${\displaystyle r_{k}r_{k-1}^{*}=E_{s}e^{j\left(\varphi _{k}-\varphi _{k-1}\right)}+{\sqrt {E_{s}}}e^{j\varphi _{k}}n_{k-1}^{*}+{\sqrt {E_{s}}}e^{-j\varphi _{k-1}}n_{k}+n_{k}n_{k-1}^{*}}$

حيث يشير الرمز * إلى المرافق المركب . في غياب التشويش، تكون طور هذا هو${\displaystyle \phi _{k}-\phi _{k-1}}$، وهو فرق الطور بين الإشارتين المستقبلتين والذي يمكن استخدامه لتحديد البيانات المرسلة.

يصعب حساب احتمال الخطأ في نظام DPSK بشكل عام، ولكن في حالة نظام DBPSK يكون الأمر كالتالي:

${\displaystyle P_{b}={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {E_{b}}{N_{0}}}},}$^{[ 10 ]}

وهو ما يُعد، عند تقييمه عددياً، أسوأ قليلاً فقط من تقنية BPSK العادية، لا سيما عند المستويات الأعلى.${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$قيم.

إن استخدام تقنية DPSK يغني عن الحاجة إلى مخططات استعادة حاملات الإشارة المعقدة المحتملة لتوفير تقدير دقيق للطور ويمكن أن يكون بديلاً جذابًا لتقنية PSK العادية.

في الاتصالات الضوئية ، يمكن تعديل البيانات على طور الليزر بطريقة تفاضلية. يتم التعديل باستخدام ليزر يُصدر موجة مستمرة ، ومُعدِّل ماخ-زيندر يستقبل البيانات الثنائية الكهربائية. في حالة BPSK، يُرسل الليزر المجال دون تغيير للرقم الثنائي '1'، وبقطبية معكوسة للرقم الثنائي '0'. يتكون مُزيل التعديل من مقياس تداخل خط التأخير الذي يُؤخر بتًا واحدًا، مما يسمح بمقارنة بتين في آنٍ واحد. في المعالجة اللاحقة، يُستخدم صمام ثنائي ضوئي لتحويل المجال الضوئي إلى تيار كهربائي، وبالتالي تعود المعلومات إلى حالتها الأصلية.

تُقارن معدلات خطأ البت في تقنيتي DBPSK وDQPSK بنظيراتها غير التفاضلية في الرسم البياني على اليمين. يُعدّ الفقد في الأداء عند استخدام DBPSK ضئيلاً مقارنةً بتقليل التعقيد، ما يجعله شائع الاستخدام في أنظمة الاتصالات التي تستخدم تقنية BPSK. أما بالنسبة لتقنية DQPSK، فإنّ الفقد في الأداء مقارنةً بتقنية QPSK العادية أكبر، ويتعين على مصمم النظام الموازنة بين هذا الفقد وتقليل التعقيد.

في${\displaystyle k^{\textrm {th}}}$استدعاء الفاصل الزمني للبت المراد تعديله${\displaystyle b_{k}}$البت المشفر تفاضليًا${\displaystyle e_{k}}$والإشارة المعدلة الناتجة${\displaystyle m_{k}(t)}$بافتراض أن مخطط التشكيل يضع الرموز عند ±1 (وهو BPSK)، فإن المشفر التفاضلي ينتج ما يلي:

${\displaystyle \,e_{k}=e_{k-1}\oplus b_{k}}$

أين${\displaystyle \oplus {}}$يشير إلى الجمع الثنائي أو الجمع بتردد 2 .

لذا${\displaystyle e_{k}}$لا يتغير الوضع (من النظام الثنائي "0" إلى النظام الثنائي "1" أو من النظام الثنائي "1" إلى النظام الثنائي "0") إلا إذا${\displaystyle b_{k}}$هو قيمة ثنائية "1". وإلا فإنه يبقى على حالته السابقة. هذا هو وصف ترميز BPSK التفاضلي المذكور أعلاه.

يتم فك تشفير الإشارة المستقبلة للحصول على${\displaystyle e_{k}=\pm 1}$ثم يقوم جهاز فك التشفير التفاضلي بعكس عملية التشفير وإنتاج

${\displaystyle b_{k}=e_{k}\oplus e_{k-1},}$

لأن الطرح الثنائي هو نفسه الجمع الثنائي.

لذلك،${\displaystyle b_{k}=1}$لو${\displaystyle e_{k}}$و${\displaystyle e_{k-1}}$يختلفون و${\displaystyle b_{k}=0}$إذا كانا متطابقين. وبالتالي، إذا كان كلاهما${\displaystyle e_{k}}$و${\displaystyle e_{k-1}}$معكوسة ،​${\displaystyle b_{k}}$سيتم فك تشفيرها بشكل صحيح. وبالتالي، فإن غموض الطور بمقدار 180 درجة لا يهم.

يمكن تصميم مخططات تفاضلية لتعديلات PSK الأخرى على غرار ذلك. وتكون أشكال الموجات لـ DPSK مماثلة لتلك الخاصة بـ PSK المشفر تفاضليًا المذكورة أعلاه، حيث أن التغيير الوحيد بين المخططين يكمن في جهاز الاستقبال.

تتم مقارنة منحنى معدل خطأ البت (BER) لهذا المثال مع منحنى BPSK العادي على اليمين. وكما ذكرنا سابقًا، فبينما يتضاعف معدل الخطأ تقريبًا، فإن الزيادة المطلوبة في${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$إن التغلب على هذا الأمر ضئيل. الزيادة في${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$ومع ذلك، فإن القدرة المطلوبة للتغلب على التضمين التفاضلي في الأنظمة المشفرة أكبر - عادةً حوالي 3 ديسيبل. وينتج تدهور الأداء عن الإرسال غير المتماسك - وفي هذه الحالة يشير إلى حقيقة تجاهل تتبع الطور تمامًا.