توسيع الموجة المستوية

في الفيزياء ، يعبر توسيع الموجة المستوية أو توسيع رايلي عن الموجة المستوية كمزيج خطي من الموجات الكروية : $${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }({\hat {\mathbf {k} }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})،}$$ أين

• i هي الوحدة التخيلية ،
• يمثل k متجه موجة حقيقي أو مركبطوله k ،
• يمثل r متجه موضع بطول r ،
• j _ℓ هي دوال بيسل الكروية ،
• P _ℓ هي كثيرات حدود ليجندر ، و
• يشير الرمز ^ إلى متجه الوحدة .

في الحالة الخاصة التي يكون فيها k محاذيًا للمحور z  ، $${\displaystyle e^{ikr\cos \theta}=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta ),}$$ حيث θ هي الزاوية القطبية الكروية لـ r .

للحصول على دليل، قم بالتوسيع${\displaystyle e^{ikr\cos \theta }}$في كثيرات حدود ليجندر${\displaystyle P_{l}(\cos \theta )}$، وتقييم تكاملات المعاملات.

باستخدام نظرية الجمع التوافقي الكروي، يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي: $${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r}}=4\pi \sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }j_{\ell }(kr)Y_{\ell }^{m}{}({\hat {\mathbf {k} }})Y_{\ell }^{m*}({\hat {\mathbf {r} }})،}$$ أين

• Y _ℓ ^m هي التوافقيات الكروية و
• يشير الرمز * إلى الاقتران المركب .

لاحظ أنه يمكن تبديل المرافق المركب بين التوافقيين الكرويين بسبب التناظر.

يتم تطبيق توسيع الموجة المستوية في

• الصوتيات
• بصريات
• مصفوفة S
• ميكانيكا الكم

• معادلة هيلمهولتز
• طريقة توسيع الموجة المستوية في الكهرومغناطيسية الحاسوبية
• توسعة ويل

• المكتبة الرقمية للدوال الرياضية، المعادلة 10.60.7 ، المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا
• رامي محرم (2009)، توسيع الموجة المستوية، التكاملات اللانهائية، والمتطابقات التي تتضمن دوال بيسل الكروية ، arXiv : 0909.0494 ، Bibcode : 2009arXiv0909.0494M