حدوديات ليجيندر

في الرياضيات ، تعد كثيرات حدود ليجاندر ، والتي سميت على اسم أدريان ماري ليجاندر (1782)، نظامًا من كثيرات الحدود الكاملة والمتعامدة مع عدد كبير من الخصائص الرياضية والعديد من التطبيقات. يمكن تعريفها بطرق عديدة، وتسلط التعريفات المختلفة الضوء على جوانب مختلفة بالإضافة إلى اقتراح تعميمات واتصالات بهياكل رياضية مختلفة وتطبيقات فيزيائية وعددية.

ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمتعددات حدود ليجاندر ، ومتعددات حدود ليجاندر المرتبطة بها ، ووظائف ليجاندر ، ووظائف ليجاندر من النوع الثاني، ومتعددات حدود q-Legendre الكبيرة ، ووظائف ليجاندر المرتبطة بها .

في هذا النهج، يتم تعريف الحدوديات كنظام متعامد بالنسبة إلى دالة الوزن على الفاصل الزمني . أي أن الحدوديات من الدرجة ، بحيث ${\displaystyle w(x)=1}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle P_{n}(x)}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0\quad {\text{إذا كان }}n\neq m.}$$

مع شرط التوحيد القياسي الإضافي ، يمكن تحديد جميع الحدوديات بشكل فريد. نبدأ بعد ذلك عملية البناء: هي الحدودية الوحيدة الموحدة بشكل صحيح من الدرجة 0. يجب أن تكون متعامدة على ، مما يؤدي إلى ، ويتم تحديدها من خلال المطالبة بالتقويم على و ، وهكذا. يتم إصلاحها من خلال المطالبة بالتقويم على جميع الحدوديات مع . وهذا يعطي الشروط، والتي، جنبًا إلى جنب مع التوحيد القياسي، تثبت جميع المعاملات في . باستخدام العمل، يمكن تحديد جميع معاملات كل حدودية بشكل منهجي، مما يؤدي إلى التمثيل الصريح في قوى الموضحة أدناه. ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$${\displaystyle P_{0}(x)=1}$${\displaystyle P_{1}(x)}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{1}(x)=x}$${\displaystyle P_{2}(x)}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle P_{m}}$${\displaystyle m<n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{n}(1)=1}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle P_{n}(x)}$${\displaystyle x}$

هذا التعريف لـ 's هو الأبسط. فهو لا يعتمد على نظرية المعادلات التفاضلية. ثانيًا، يتبع اكتمال الحدوديات على الفور اكتمال القوى 1، . وأخيرًا، من خلال تعريفها عبر التعامد فيما يتعلق بوظيفة الوزن الأكثر وضوحًا على فترة محدودة، فإنه يضع حدوديات ليجاندر كواحدة من أنظمة الحدوديات المتعامدة الكلاسيكية الثلاثة . والاثنان الآخران هما حدوديات لاجير ، والتي تكون متعامدة على نصف الخط ، ومتعددات حدود هيرميت ، المتعامدة على الخط الكامل ، مع دوال الوزن التي تعد الدوال التحليلية الأكثر طبيعية والتي تضمن تقارب جميع التكاملات. ${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle x,x^{2},x^{3},\ldots }$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

يمكن أيضًا تعريف كثيرات حدود ليجيندر على أنها المعاملات في التوسع الرسمي في قوى الدالة المولدة ^[1]${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\,.}$$

( 2 )

معامل هو كثير حدود في الدرجة مع . إن التوسع إلى أعلى إلى يجعل التوسع إلى مستويات أعلى يصبح أكثر صعوبة، ولكن من الممكن القيام بذلك بشكل منهجي، ويؤدي مرة أخرى إلى أحد الأشكال الصريحة الموضحة أدناه. ${\displaystyle t^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |x|\leq 1}$${\displaystyle t^{1}}$$${\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x.}$$

من الممكن الحصول على أعلى 's دون اللجوء إلى التوسع المباشر لسلسلة تايلور ، مع ذلك. يتم التفاضل في المعادلة  2 بالنسبة إلى t على كلا الجانبين وإعادة ترتيبها للحصول على استبدال حاصل الجذر التربيعي بتعريفه في المعادلة  2 ، ومساواة معاملات قوى t في التوسع الناتج يعطي صيغة تكرار بونيه. تسمح هذه العلاقة، جنبًا إلى جنب مع أول حدودين P ₀ و P ₁ ، بتوليد كل الباقي بشكل متكرر. ${\displaystyle P_{n}}$$${\displaystyle {\frac {xt}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.}$$ $${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.}$$

يرتبط نهج الدالة المولدة بشكل مباشر بالتوسع متعدد الأقطاب في الكهروستاتيكا، كما هو موضح أدناه، وهذه هي الطريقة التي تم بها تعريف الحدوديات لأول مرة بواسطة ليجيندر في عام 1782.

التعريف الثالث هو من حيث حلول معادلة ليجيندر التفاضلية :

$${\displaystyle (1-x^{2})P_{n}''(x)-2xP_{n}'(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.}$$

( 1 )

تحتوي هذه المعادلة التفاضلية على نقاط مفردة منتظمة عند x = ±1، لذا إذا تم البحث عن حل باستخدام طريقة فروبينيوس القياسية أو طريقة سلسلة القوى ، فإن السلسلة حول الأصل ستتقارب فقط عند | x | < 1 بشكل عام. عندما يكون n عددًا صحيحًا، فإن الحل P _n ( x ) المنتظم عند x = 1 يكون منتظمًا أيضًا عند x = −1 ، وتنتهي سلسلة هذا الحل (أي أنها كثيرة حدود). يمكن رؤية عمودية واكتمال هذه الحلول بشكل أفضل من وجهة نظر نظرية ستورم-ليوفيل . نعيد كتابة المعادلة التفاضلية كمشكلة قيمة ذاتية، مع القيمة الذاتية بدلاً من . إذا طالبنا بأن يكون الحل منتظمًا عند ، فإن العامل التفاضلي على اليسار هو هيرميتي . وجد أن القيم الذاتية من النموذج n ( n + 1) ، مع والدوال الذاتية هي . إن عمودية واكتمال هذه المجموعة من الحلول تتبع على الفور الإطار الأكبر لنظرية ستورم-ليوفيل. $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}\right)P(x)=-\lambda P(x)\,,}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n(n+1)}$${\displaystyle x=\pm 1}$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$${\displaystyle P_{n}(x)}$

تقبل المعادلة التفاضلية حلاً آخر غير متعدد الحدود، وهو دوال ليجاندر من النوع الثاني . يُطلق على التعميم ذي المعاملين لـ (المعادلة  1 ) معادلة ليجاندر التفاضلية العامة ، والتي يتم حلها بواسطة متعددات ليجاندر المرتبطة . دوال ليجاندر هي حلول لمعادلة ليجاندر التفاضلية (معممة أو غير معممة) بمعلمات غير صحيحة . ${\displaystyle Q_{n}}$

في البيئات الفيزيائية، تنشأ معادلة ليجيندر التفاضلية بشكل طبيعي كلما حل المرء معادلة لابلاس ( ومعادلات التفاضل الجزئية ذات الصلة ) عن طريق فصل المتغيرات في الإحداثيات الكروية . ومن هذا المنطلق، فإن الدوال الذاتية للجزء الزاوي من عامل لابلاس هي التوافقيات الكروية ، والتي تعد حدود ليجيندر (حتى ثابت مضاعف) المجموعة الفرعية التي تظل ثابتة عن طريق الدوران حول المحور القطبي. تظهر الحدود على النحو التالي حيث تكون الزاوية القطبية. يوفر هذا النهج لمتعددات حدود ليجيندر اتصالاً عميقًا بالتناظر الدوراني. يمكن العثور على العديد من خصائصها التي تم العثور عليها بشق الأنفس من خلال طرق التحليل - على سبيل المثال نظرية الجمع - بسهولة أكبر باستخدام طرق التناظر ونظرية المجموعة، وتكتسب معنى فيزيائيًا وهندسيًا عميقًا. ${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$${\displaystyle \theta }$

يتم إعطاء تعبير مضغوط بشكل خاص لكثيرات حدود ليجيندر بواسطة صيغة رودريجيز : $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,.}$$

تمكن هذه الصيغة من اشتقاق عدد كبير من خصائص 's. ومن بين هذه التمثيلات الصريحة مثل التعبير عن كثيرة الحدود كمتسلسلة قوى، ، يمكن أيضًا حساب معاملات قوى باستخدام صيغة عامة: يتم تحديد كثيرة حدود ليجيندر من خلال القيم المستخدمة للثابتين و ، حيث if فردي و if زوجي. ^[2]${\displaystyle P_{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&=[t^{n}]{\frac {\left((t+x)^{2}-1\right)^{n}}{2^{n}}}=[t^{n}]{\frac {\left(t+x+1\right)^{n}\left(t+x-1\right)^{n}}{2^{n}}},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{\!2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\[1ex]P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{\!k},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\[1ex]P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}},\\[1ex]P_{n}(x)&={\begin{cases}{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cdot \cos(t)\right)}^{n}\,dt&{\text{if }}|x|>1\\x^{n}&{\text{if }}|x|=1\\{\frac {2}{\pi }}\cdot x^{n}\cdot |x|\cdot \int _{|x|}^{1}{\frac {t^{-n-1}}{\sqrt {t^{2}-x^{2}}}}\cdot {\frac {\cos \left(n\cdot \arccos(t)\right)}{\sin \left(\arccos(t)\right)}}\,dt&{\text{if }}0<|x|<1\\(-1)^{n/2}\cdot 2^{-n}\cdot {\binom {n}{n/2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ even}}\\0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ odd}}\end{cases}}.\end{aligned}}}$$${\textstyle P_{n}(x)=\sum a_{k}x^{k}}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle a_{k+2}=-{\frac {(l-k)(l+k+1)}{(k+2)(k+1)}}a_{k}.}$$${\textstyle a_{0}}$${\textstyle a_{1}}$${\textstyle a_{0}=0}$${\displaystyle n}$${\textstyle a_{1}=0}$${\displaystyle n}$

في التمثيل الرابع، يمثل أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي . التمثيل الأخير، والذي يأتي أيضًا من صيغة التكرار، يعبر عن كثيرات حدود ليجاندر باستخدام أحاديات حدود بسيطة ويتضمن الشكل المعمم لمعامل ثنائي الحدين . ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle n/2}$

أول عدة حدوديات ليجيندر هي:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle P_{n}(x)}$
0	${\textstyle 1}$
1	${\textstyle x}$
2	${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(3x^{2}-1\right)}$
3	${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(5x^{3}-3x\right)}$
4	${\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)}$
5	${\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)}$
6	${\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5\right)}$
7	${\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x\right)}$
8	${\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35\right)}$
9	${\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x\right)}$
10	${\textstyle {\tfrac {1}{256}}\left(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63\right)}$

تظهر أدناه الرسوم البيانية لهذه الحدوديات (حتى n = 5 ):

يعمل هذا المعيار على إصلاح تطبيع كثيرات حدود ليجيندر (بالنسبة إلى معيار L ² على الفاصل −1 ≤ x ≤ 1 ). ونظرًا لأنها أيضًا متعامدة بالنسبة إلى نفس المعيار، فيمكن دمج البيانين ^{[ يحتاج إلى توضيح ]} في معادلة واحدة، (حيث يشير δ _mn إلى دلتا كرونيكر ، والتي تساوي 1 إذا كان m = n وإلى 0 بخلاف ذلك). يمكن إيجاد هذا التطبيع بسهولة عن طريق استخدام صيغة رودريجيز ، الموضحة أدناه. ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$$${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},}$$

إن كون الحدوديات كاملة يعني ما يلي. إذا أعطيت أي دالة متصلة متقطعة ذات عدد محدود من عدم الاستمرارية في الفترة [−1, 1] ، فإن تسلسل المجاميع يتقارب في المتوسط ​​إلى ، بشرط أن نأخذ ${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)}$$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle n\to \infty }$$${\displaystyle a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.}$$

تشكل خاصية الاكتمال هذه أساس جميع التوسعات التي تمت مناقشتها في هذه المقالة، وغالبًا ما يتم ذكرها في شكل −1 ≤ x ≤ 1 و −1 ≤ y ≤ 1 . $${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {2\ell +1}{2}}P_{\ell }(x)P_{\ell }(y)=\delta (x-y),}$$

تم تقديم كثيرات حدود ليجاندر لأول مرة في عام 1782 بواسطة أدريان ماري ليجاندر ^[3] كمعاملات في توسع الإمكانات النيوتونية حيث r و r ′ هما طولا المتجهين x و x ′ على التوالي و γ هي الزاوية بين هذين المتجهين. تتقارب السلسلة عندما r > r ′ . يعطي التعبير الإمكانات الجاذبية المرتبطة بكتلة نقطية أو الإمكانات الكولومبية المرتبطة بشحنة نقطية . قد يكون التوسع باستخدام كثيرات حدود ليجاندر مفيدًا، على سبيل المثال، عند دمج هذا التعبير على توزيع كتلة أو شحنة مستمر. $${\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{r'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),}$$

تحدث حدود ليجيندر في حل معادلة لابلاس للجهد الساكن ، ∇ ² Φ( x ) = 0 ، في منطقة خالية من الشحنة في الفضاء، باستخدام طريقة فصل المتغيرات ، حيث تكون الشروط الحدودية لها تماثل محوري (لا تعتمد على زاوية سمتية ). حيث ẑ هو محور التماثل و θ هي الزاوية بين موضع المراقب والمحور ẑ (زاوية السمت)، سيكون حل الجهد هو $${\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right)P_{\ell }(\cos \theta )\,.}$$

يجب تحديد A _l و B _l ^{وفقًا للشرط الحدودي لكل مشكلة. [4]}

وتظهر أيضًا عند حل معادلة شرودنجر في ثلاثة أبعاد لقوة مركزية.

تعد كثيرات حدود ليجيندر مفيدة أيضًا في توسيع الدوال من النموذج (هذا هو نفس ما سبق، مكتوبًا بشكل مختلف قليلاً): والتي تنشأ بشكل طبيعي في التوسعات متعددة الأقطاب . الجانب الأيسر من المعادلة هو الدالة المولدة لكثيرات حدود ليجيندر. $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x),}$$

على سبيل المثال، يتغير الجهد الكهربائي Φ( r , θ ) (في الإحداثيات الكروية ) الناتج عن شحنة نقطية تقع على المحور z عند z = a (انظر الرسم البياني على اليمين) كما يلي:$${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.}$$

إذا كان نصف قطر نقطة المراقبة P r أكبر من a ، فيمكن توسيع الإمكانات في كثيرات حدود ليجيندر حيث حددنا η = ⁠$${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta ),}$$أ/ر< 1 و x = cos θ . يستخدم هذا التوسع لتطوير التوسع المتعدد الأقطاب الطبيعي .

وعلى العكس من ذلك، إذا كان نصف قطر نقطة المراقبة P r أصغر من a ، فما زال من الممكن توسيع الإمكانات في كثيرات حدود ليجاندر كما هو موضح أعلاه، ولكن مع تبادل a و r . هذا التوسع هو أساس التوسع متعدد الأقطاب الداخلي.

يمكن أيضًا توسيع الدوال المثلثية cos nθ ، والتي يشار إليها أيضًا باسم متعددات حدود تشيبيشيف T _n (cos θ ) ≡ cos nθ ، بشكل متعدد الأقطاب بواسطة متعددات حدود ليجيندر P _n (cos θ ) . تكون الرتب العديدة الأولى كما يلي: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T_{0}(\cos \theta )&=1&&=P_{0}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{1}(\cos \theta )&=\cos \theta &&=P_{1}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{2}(\cos \theta )&=\cos 2\theta &&={\tfrac {1}{3}}{\bigl (}4P_{2}(\cos \theta )-P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{3}(\cos \theta )&=\cos 3\theta &&={\tfrac {1}{5}}{\bigl (}8P_{3}(\cos \theta )-3P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{4}(\cos \theta )&=\cos 4\theta &&={\tfrac {1}{105}}{\bigl (}192P_{4}(\cos \theta )-80P_{2}(\cos \theta )-7P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{5}(\cos \theta )&=\cos 5\theta &&={\tfrac {1}{63}}{\bigl (}128P_{5}(\cos \theta )-56P_{3}(\cos \theta )-9P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{6}(\cos \theta )&=\cos 6\theta &&={\tfrac {1}{1155}}{\bigl (}2560P_{6}(\cos \theta )-1152P_{4}(\cos \theta )-220P_{2}(\cos \theta )-33P_{0}(\cos \theta ){\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

خاصية أخرى هي تعبير sin ( n + 1) θ ، وهو $${\displaystyle {\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}=\sum _{\ell =0}^{n}P_{\ell }(\cos \theta )P_{n-\ell }(\cos \theta ).}$$

يمكن تحسين شبكة عصبية متكررة تحتوي على متجه ذاكرة ذي أبعاد d ، بحيث تخضع أنشطتها العصبية للنظام الخطي الثابت في الزمن المعطى بواسطة تمثيل مساحة الحالة التالي : ${\displaystyle \mathbf {m} \in \mathbb {R} ^{d}}$$${\displaystyle \theta {\dot {\mathbf {m} }}(t)=A\mathbf {m} (t)+Bu(t),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left[a\right]_{ij}\in \mathbb {R} ^{d\times d}{\text{,}}\quad &&a_{ij}=\left(2i+1\right){\begin{cases}-1&i<j\\(-1)^{i-j+1}&i\geq j\end{cases}},\\B&=\left[b\right]_{i}\in \mathbb {R} ^{d\times 1}{\text{,}}\quad &&b_{i}=(2i+1)(-1)^{i}.\end{aligned}}}$$

في هذه الحالة، يتم تقريب نافذة الانزلاق عبر وحدات الزمن الماضية بشكل أفضل من خلال تركيبة خطية من متعددات حدود ليجيندر المحولة الأولى، المرجحة معًا بواسطة عناصر في الوقت : ${\displaystyle u}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbf {m} }$${\displaystyle t}$$${\displaystyle u(t-\theta ')\approx \sum _{\ell =0}^{d-1}{\widetilde {P}}_{\ell }\left({\frac {\theta '}{\theta }}\right)\,m_{\ell }(t),\quad 0\leq \theta '\leq \theta .}$$

عند دمجها مع أساليب التعلم العميق ، يمكن تدريب هذه الشبكات لتتفوق على وحدات الذاكرة طويلة المدى والقصيرة المدى والهندسة المعمارية ذات الصلة، مع استخدام موارد حسابية أقل. ^[5]

تتمتع كثيرات حدود ليجيندر بتكافؤ محدد. أي أنها زوجية أو فردية ، ^[6] وفقًا لـ $${\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x)\,.}$$

هناك خاصية مفيدة أخرى تترتب على النظر في علاقة التعامد مع . ومن المناسب استخدام سلسلة ليجيندر لتقريب دالة أو بيانات تجريبية: حيث يتم ببساطة تحديد متوسط ​​السلسلة على الفاصل الزمني [−1, 1] بواسطة معامل التوسع الرئيسي . $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{n}(x)\,dx=0{\text{ for }}n\geq 1,}$$${\displaystyle P_{0}(x)=1}$${\textstyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}$${\displaystyle a_{0}}$

نظرًا لأن المعادلة التفاضلية وخاصية التعامد مستقلتان عن القياس، فإن تعريفات كثيرات حدود ليجيندر "موحدة" (تسمى أحيانًا "تطبيع"، ولكن المعيار الفعلي ليس 1) من خلال قياسها بحيث $${\displaystyle P_{n}(1)=1\,.}$$

المشتقة عند نقطة النهاية تعطى بواسطة $${\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}\,.}$$

تقرأ متباينة أسكي-غاسبر لمتعددات حدود ليجاندر على النحو التالي: $${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\quad {\text{for }}\quad x\geq -1\,.}$$

يمكن توسيع حدود ليجاندر لمنتج قياسي لمتجهات الوحدة باستخدام التوافقيات الكروية باستخدام حيث يكون لمتجهات الوحدة r و r ′ إحداثيات كروية ( θ ، φ ) و ( θ ′ ، φ ′) على التوالي. $${\displaystyle P_{\ell }\left(r\cdot r'\right)={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,,}$$

حاصل ضرب كثيرتي حدود ليجيندر ^[7] حيث هو التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول . $${\displaystyle \sum _{p=0}^{\infty }t^{p}P_{p}(\cos \theta _{1})P_{p}(\cos \theta _{2})={\frac {2}{\pi }}{\frac {\mathbf {K} \left(2{\sqrt {\frac {t\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}}{t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\right)}{\sqrt {t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\,,}$$${\displaystyle K(\cdot )}$

كما تمت مناقشته أعلاه، تتبع كثيرات حدود ليجيندر علاقة التكرار ثلاثية الحدود المعروفة باسم صيغة التكرار لبونيه المعطاة بواسطة و أو، مع التعبير البديل، والذي ينطبق أيضًا على نقاط النهاية $${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}$$$${\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{n}}{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(n+1)P_{n}(x)+x{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\,.}$$

مفيد لتكامل متعددات حدود ليجيندر هو $${\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={\frac {d}{dx}}{\bigl (}P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x){\bigr )}\,.}$$

ومن ما سبق يمكننا أن نرى أيضًا أن أو ما يعادله حيث ‖ P _n ‖ هو المعيار على الفاصل الزمني −1 ≤ x ≤ 1$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+{\bigl (}2(n-2)+1{\bigr )}P_{n-2}(x)+{\bigl (}2(n-4)+1{\bigr )}P_{n-4}(x)+\cdots }$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)={\frac {2P_{n}(x)}{\left\|P_{n}\right\|^{2}}}+{\frac {2P_{n-2}(x)}{\left\|P_{n-2}\right\|^{2}}}+\cdots }$$ $${\displaystyle \|P_{n}\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}{\bigl (}P_{n}(x){\bigr )}^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}\,.}$$

بشكل مقارب، بالنسبة لـ ، يمكن كتابة كثيرات حدود ليجاندر على النحو التالي ^[8] وبالنسبة للحجج ذات المقدار الأكبر من 1 ^[9] حيث J ₀ و J ₁ و I ₀ هي دوال بيسل . ${\displaystyle \ell \to \infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }(\cos \theta )&={\sqrt {\frac {\theta }{\sin \left(\theta \right)}}}\left\{J_{0}{\left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right]}-{\frac {\left({\frac {1}{\theta }}-\cot \theta \right)}{8(\ell +{\frac {1}{2}})}}J_{1}{\left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right]}\right\}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-2}\right)\\[1ex]&={\sqrt {\frac {2}{\pi \ell \sin \left(\theta \right)}}}\cos \left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta -{\tfrac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-3/2}\right),\quad \theta \in (0,\pi ),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }\left(\cosh \xi \right)&={\sqrt {\frac {\xi }{\sinh \xi }}}I_{0}\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\xi \right)\left(1+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\right)\,,\\P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{\frac {\ell +1}{2}}}{(1-e)^{\frac {\ell }{2}}}}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\end{aligned}}}$$

جميع أصفار هي أصفار حقيقية ومتميزة عن بعضها البعض وتقع في الفترة . وعلاوة على ذلك، إذا اعتبرناها تقسم الفترة إلى فترات فرعية، فإن كل فترة فرعية ستحتوي على صفر واحد بالضبط من . وهذا ما يُعرف باسم خاصية التداخل. وبسبب خاصية التكافؤ، من الواضح أن إذا كان صفرًا لـ ، فإن . تلعب هذه الأصفار دورًا مهمًا في التكامل العددي القائم على التربيع الغاوسي . يُعرف التربيع المحدد القائم على 's باسم تربيع Gauss-Legendre . ${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{n}(x)}$${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle P_{n+1}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle P_{n}(x)}$${\displaystyle -x_{k}}$${\displaystyle P_{n}}$

من هذه الخاصية والحقائق التي ، يتبع ذلك أن لها حد أدنى محلي وأقصى محلي في . وعلى نحو مكافئ، لها أصفار في . ${\displaystyle P_{n}(\pm 1)\neq 0}$${\displaystyle P_{n}(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle dP_{n}(x)/dx}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (-1,1)}$

تتضمن التكافؤ والتطبيع القيم عند الحدود لتكون في الأصل يمكن للمرء أن يظهر أن القيم معطاة بواسطة ${\displaystyle x=\pm 1}$$${\displaystyle P_{n}(1)=1\,,\quad P_{n}(-1)=(-1)^{n}}$$${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle P_{2n}(0)={\frac {(-1)^{n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}}}{\frac {(2n)!}{\left(n!\right)^{2}}}=(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}}$$$${\displaystyle P_{2n+1}(0)=0}$$

يتم تعريف كثيرات الحدود ليجاندر المحولة على النحو التالي: هنا تكون دالة "التحويل" x ↦ 2 x − 1 عبارة عن تحويل تآلفي يرسم بشكل ثنائي الفاصلة [0, 1] إلى الفاصلة [−1, 1] ، مما يعني أن كثيرات الحدود P̃ _n ( x ) متعامدة على [0, 1] : $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)\,.}$$$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\widetilde {P}}_{m}(x){\widetilde {P}}_{n}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}\,.}$$

يتم إعطاء تعبير صريح لمتعددات حدود ليجاندر المحولة بواسطة $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}\,.}$$

النظير لصيغة رودريجيز لمتعددات حدود ليجاندر المحولة هو $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2}-x\right)^{n}\,.}$$

أول عدد قليل من متعددات حدود ليجيندر المحولة هي:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)}$
0	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle 2x-1}$
2	${\displaystyle 6x^{2}-6x+1}$
3	${\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}$
4	${\displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}$
5	${\displaystyle 252x^{5}-630x^{4}+560x^{3}-210x^{2}+30x-1}$

الدوال الكسرية لـ Legendre هي عبارة عن سلسلة من الدوال المتعامدة على [0, ∞). يتم الحصول عليها عن طريق تكوين تحويل كايلي مع كثيرات حدود Legendre.

يتم تعريف دالة ليجاندر النسبية من الدرجة n على النحو التالي:$${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,P_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)\,.}$$

إنها دوال ذاتية لمشكلة ستورم-ليوفيل المفردة : مع القيم الذاتية$${\displaystyle \left(x+1\right){\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\left[\left(x+1\right)v(x)\right]\right)+\lambda v(x)=0}$$$${\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)\,.}$$

• اشتقاق سريع غير رسمي لمتعددة حدود ليجاندر في سياق ميكانيكا الكم للهيدروجين
• "متعددات حدود الأسطورة"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• مدخل Wolfram MathWorld حول متعددات حدود Legendre
• مقالة الدكتور جيمس ب. كالفيرت عن متعددات حدود ليجاندر من مجموعته الشخصية من كتب الرياضيات
• حدود ليجيندر بقلم كارلايل إي مور
• حدود ليجاندر من هايبر فيزياء