نظرية بولك

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 14 صور
الموسوعة الحرة

تُعدّ نظرية بولكه النظرية الأساسية في علم القياس المحوري . وقد وضعها عام 1853 الرسام الألماني ومعلم الهندسة الوصفية كارل فيلهلم بولكه . ونُشر أول برهان لها عام 1864 على يد عالم الرياضيات الألماني هيرمان أماندوس شوارتز ، الذي كان تلميذًا لبولكه. ولذلك تُعرف النظرية أحيانًا باسم نظرية بولكه وشوارتز .

النظرية

نظرية بولك
  • ثلاثة مقاطع خطية عشوائيةيا¯يو¯،يا¯V¯،يا¯دبليو¯{\displaystyle {\overline {O}}{\overline {U}},{\overline {O}}{\overline {V}},{\overline {O}}{\overline {W}}}في مستوى ينشأ عند النقطةيا¯{\displaystyle {\overline {O}}}يمكن اعتبار العناصر التي لا تقع ضمن خط مستقيم بمثابة إسقاط متوازٍ لثلاثة حواف.يايو،ياV،يادبليو{\displaystyle OU,OV,OW}من مكعب .

لرسم خريطة لمكعب وحدة، يجب تطبيق تغيير إضافي في المقياس إما في الفضاء أو في المستوى. ولأن الإسقاط المتوازي وتغيير المقياس يحافظان على النسب، يمكن رسم خريطة لأي نقطة.P=(x،y،z){\displaystyle P=(x,y,z)}باستخدام الإجراء الموضح أدناه.

يمكن صياغة نظرية بولكه باستخدام الجبر الخطي على النحو التالي:

  • يمكن اعتبار أي تحويل خطي للفضاء ثلاثي الأبعاد على مستوى ما بمثابة تركيب لتشابه وإسقاط متوازٍ. [ 1 ]

تطبيق على قياس المحاور

مبدأ الإسقاط المحوري

تُعدّ نظرية بولكه مبرراً للإجراء السهل التالي لإنشاء إسقاط متوازٍ مُقاس لجسم ثلاثي الأبعاد باستخدام الإحداثيات: [ 2 ] [ 3 ]

  1. اختر صور محاور الإحداثيات غير الموجودة في خط مستقيم.
  2. اختر أي محور إحداثيات للتقصيرvx،vy،vz>0.{\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}>0.}
  3. الصورةP¯{\displaystyle {\overline {P}}}نقطةP=(x،y،z){\displaystyle P=(x,y,z)}يتم تحديد ذلك من خلال الخطوات الثلاث، بدءًا من النقطةيا¯{\displaystyle {\overline {O}}}:
يذهبvx⋅x{\displaystyle v_{x}\cdot x}فيx¯{\displaystyle {\overline {x}}}-الاتجاه، ثم
يذهبvy⋅y{\displaystyle v_{y}\cdot y}فيy¯{\displaystyle {\overline {y}}}-الاتجاه، ثم
يذهبvz⋅z{\displaystyle v_{z}\cdot z}فيz¯{\displaystyle {\overline {z}}}-الاتجاه و
4. حدد النقطة على النحو التاليP¯{\displaystyle {\overline {P}}}.

للحصول على صور غير مشوهة، يجب اختيار صور المحاور والتشوهات بعناية (انظر: علم قياس المحاور ). وللحصول على إسقاط متعامد، تكون صور المحاور فقط حرة، بينما تكون التشوهات محددة (انظر : علم قياس المحاور المتعامد ).

ملاحظات على برهان شوارتز

قام شوارتز بصياغة وإثبات العبارة الأكثر عمومية:

واستخدم نظرية لـ L'Huilier :

  • يمكن اعتبار كل مثلث بمثابة إسقاط متعامد لمثلث ذي شكل معين.

ملحوظات

  1. ^ جي بيكرت: Vom Satz von Pohlke zur خطي الجبر ، Didaktik der Mathematik 11 (1983)، 4، الصفحات من 297 إلى 306.
  2. ↑ أولريش غراف، مارتن بارنر: دارستيليند جيوميتري. كويل وماير، هايدلبرغ 1961، ISBN 3-494-00488-9، ص 144.
  3. ^ رولاند ستارك: هندسة Darstellende ، شونينغ، 1978، ISBN 3-506-37443-5، ص 156.
  4. ^ سكليناريكوفا، زيتا؛ بيموفا، مارتا (2007). “نظرية بوهلك – شوارتز وأهميتها في تعليم الرياضيات” (PDF) . Quaderni di Ricerca في الديداتيكا (17). GRIM (قسم الرياضيات، جامعة باليرمو، إيطاليا): 155.

مراجع

  • K. Pohlke : Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. جارتنر-فيرلاغ، برلين 1876 (كتب جوجل.)
  • شوارتز، HA : Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie ، J. reine angew. الرياضيات. 63، 309-314، 1864.
  • أرنولد إمخ: برهان نظرية بولك وتعميماتها عن طريق التقارب ، المجلة الأمريكية للرياضيات، المجلد 40، العدد 4 (أكتوبر 1918)، الصفحات  366-374