الإسقاط المتوازي

في الهندسة ثلاثية الأبعاد ، يُعرف الإسقاط المتوازي (أو الإسقاط المحوري ) بأنه إسقاط جسم في الفضاء ثلاثي الأبعاد على مستوى ثابت ، يُعرف بمستوى الإسقاط أو مستوى الصورة ، حيث تكون الأشعة ، المعروفة بخطوط الرؤية أو خطوط الإسقاط ، متوازية . وهو أداة أساسية في الهندسة الوصفية . يُسمى الإسقاط متعامدًا إذا كانت الأشعة عمودية على مستوى الصورة، ومائلًا إذا لم تكن كذلك.

الإسقاط المتوازي حالة خاصة من الإسقاط في الرياضيات والإسقاط البياني في الرسم الهندسي . يمكن اعتبار الإسقاط المتوازي بمثابة نهاية للإسقاط المركزي أو المنظوري ، حيث تمر الأشعة بنقطة ثابتة تُسمى المركز أو نقطة الرؤية ، بينما تتحرك هذه النقطة نحو اللانهاية. بعبارة أخرى، يتوافق الإسقاط المتوازي مع الإسقاط المنظوري ذي البعد البؤري اللانهائي (المسافة بين العدسة ونقطة التركيز في التصوير الفوتوغرافي ) أو ما يُعرف بـ" التكبير ". علاوة على ذلك، في الإسقاطات المتوازية، تبقى الخطوط المتوازية في الفضاء ثلاثي الأبعاد متوازية في الصورة المسقطة ثنائية الأبعاد.

يُعتبر الإسقاط المنظوري للأجسام أكثر واقعية من الإسقاط المتوازي، لأنه يُحاكي الرؤية البشرية والتصوير الفوتوغرافي بشكل أدق . مع ذلك، تحظى الإسقاطات المتوازية بشعبية في التطبيقات التقنية، إذ تحافظ على توازي خطوط الجسم وأسطحه، وتُمكّن من أخذ قياسات مباشرة من الصورة. ومن بين الإسقاطات المتوازية، تُعدّ الإسقاطات المتعامدة الأكثر واقعية، ويستخدمها المهندسون بكثرة. في المقابل، تتميز بعض أنواع الإسقاطات المائلة (مثل إسقاط كافاليير والإسقاط العسكري ) بسهولة تطبيقها، وتُستخدم لإنشاء صور سريعة وغير رسمية للأجسام.

يُستخدم مصطلح الإسقاط المتوازي في الأدبيات لوصف كل من الإجراء نفسه (دالة تحويل رياضية) بالإضافة إلى الصورة الناتجة عن الإجراء .

لكل إسقاط متوازٍ الخصائص التالية:

• يتم تعريفها بشكل فريد من خلال مستوى إسقاطها Π والاتجاه${\displaystyle {\vec {v}}}$من خطوط الإسقاط (المتوازية). يجب ألا يكون الاتجاه موازياً لمستوى الإسقاط.
• أي نقطة في الفضاء لها صورة فريدة في مستوى الإسقاط Π ، ونقاط Π ثابتة.
• أي خط لا يوازي الاتجاه${\displaystyle {\vec {v}}}$يتم رسمها على خط؛ أي خط موازٍ لـ${\displaystyle {\vec {v}}}$يتم إسقاطها على نقطة.
• يتم رسم الخطوط المتوازية على خطوط متوازية (أو على زوج من النقاط إذا كانت متوازية مع${\displaystyle {\vec {v}}}$).
• تبقى نسبة أطوال قطعتين مستقيمتين على خط مستقيم أو على خطين متوازيين ثابتة. ^{[ 1 ]} وكحالة خاصة، يتم تمثيل نقاط المنتصف على نقاط منتصف أخرى.
• يتم تحويل مركز مجموعة من النقاط في الفضاء إلى مركز صورة تلك النقاط
• يظل طول القطعة المستقيمة الموازية لمستوى الإسقاط ثابتًا. ولا يزداد طول أي قطعة مستقيمة إذا كان الإسقاط متعامدًا .
• أي دائرة تقع في مستوى موازٍ لمستوى الإسقاط تُسقط على دائرة لها نفس نصف القطر. أما أي دائرة أخرى فتُسقط على شكل قطع ناقص (أو قطعة مستقيمة إذا كان الاتجاه${\displaystyle {\vec {v}}}$(موازٍ لمستوى الدائرة).
• لا تُحفظ الزوايا بشكل عام. لكن الزوايا القائمة التي يكون أحد خطوطها موازياً لمستوى الإسقاط تبقى دون تغيير.
• يتم رسم أي مستطيل على متوازي أضلاع (أو قطعة مستقيمة إذا كان${\displaystyle {\vec {v}}}$(موازٍ لمستوى المستطيل).
• أي شكل في مستوى موازٍ لمستوى الصورة يكون مطابقاً لصورته.

إذا كانت معادلة مستوى الصورة معطاة${\displaystyle \Pi$ :~{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-d=0} واتجاه الإسقاط بواسطة${\displaystyle {\vec {v}}}$ثم خط الإسقاط المار بالنقطة${\displaystyle P:~{\vec {p}}}$يتم تحديدها بواسطة

${\displaystyle g:~{\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}$مع${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

الصورة${\displaystyle P'}$ل${\displaystyle P}$هو تقاطع الخط${\displaystyle g}$مع طائرة${\displaystyle \Pi }$ويتم التعبير عنها بالمعادلة

${\displaystyle P':~{\vec {p}}'={\vec {p}}+{\frac {d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}}}\;{\vec {v}}\ .}$

في العديد من الحالات، يمكن تبسيط هذه الصيغ.

(S1) إذا كان بإمكان المرء اختيار المتجهات${\displaystyle {\vec {n}}}$و${\displaystyle {\vec {v}}}$بحيث${\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1}$، وتتبسط صيغة الصورة إلى

${\displaystyle {\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}\ .}$

(S2) في الإسقاط المتعامد، المتجهات${\displaystyle {\vec {n}}}$و${\displaystyle {\vec {v}}}$متوازية. في هذه الحالة، يمكن للمرء أن يختار${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {n}},\;|{\vec {n}}|=1}$ويحصل المرء

${\displaystyle {\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {n}}\ .}$

(S3) إذا كان بإمكان المرء اختيار المتجهات${\displaystyle {\vec {n}}}$و${\displaystyle {\vec {v}}}$بحيث${\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1}$وإذا احتوى مستوى الصورة على نقطة الأصل، فإن المرء يكون${\displaystyle d=0}$والإسقاط المتوازي هو تحويل خطي :

${\displaystyle {\vec {p}}'={\vec {p}}-({\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}={\vec {p}}-({\vec {v}}\otimes {\vec {n}})~{\vec {p}}=(I_{3}-{\vec {v}}\otimes {\vec {n}})\;{\vec {p}}\ .}$

(هنا${\displaystyle I_{3}}$هي مصفوفة الوحدة و${\displaystyle \otimes }$المنتج الخارجي .

من خلال هذا التمثيل التحليلي للإسقاط المتوازي، يمكن استنتاج معظم الخصائص المذكورة في الأقسام السابقة.

نشأ علم القياس المحوري في الصين . ^{[ 4 ]} وكانت وظيفته في الفن الصيني مختلفة عن المنظور الخطي في الفن الأوروبي، إذ لم يكن منظوره موضوعيًا، أو ينظر من الخارج. بدلًا من ذلك، استخدمت أنماطه إسقاطات متوازية داخل اللوحة، مما سمح للمشاهد بالتفكير في كل من المكان والزمن في لوحة واحدة. ^{[ 5 ]} ووفقًا للكاتب العلمي والصحفي في موقع Medium ، يان كريك، فقد اكتسب علم القياس المحوري، والقواعد التصويرية المرتبطة به، أهمية جديدة مع ظهور الحوسبة المرئية والرسم الهندسي . ^{[ 5 ] [ 4 ] [ 6 ] [ 7 ]}

كان مفهوم التساوي في القياس موجودًا بشكل تجريبي تقريبي لقرون، قبل وقت طويل من أن يكون البروفيسور ويليام فاريش (1759-1837) من جامعة كامبريدج أول من وضع قواعد مفصلة للرسم المتساوي القياس. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

نشر فاريش أفكاره في بحثه عام 1822 بعنوان "حول المنظور المتساوي القياس"، حيث أقرّ بـ"الحاجة إلى رسومات تنفيذية فنية دقيقة خالية من التشوه البصري. وهذا ما دفعه إلى صياغة مفهوم التساوي القياس. ويعني التساوي القياس "القياسات المتساوية" لأن المقياس نفسه يُستخدم للارتفاع والعرض والعمق". ^{[ 10 ]}

منذ منتصف القرن التاسع عشر، وفقًا لجان كريك (2006) ^{[ 10 ]،} أصبحت القياسات المتساوية أداةً لا غنى عنها للمهندسين، وسرعان ما أُدرجت القياسات المحورية والقياسات المتساوية في مناهج دورات التدريب المعماري في أوروبا والولايات المتحدة. وقد لاقت القياسات المحورية رواجًا واسعًا في عشرينيات القرن العشرين، عندما تبناها معماريون حداثيون من مدرستي باوهاوس ودي ستايل . ^{[ 10 ]} واستخدم معماريو دي ستايل، مثل ثيو فان دوسبرغ، القياسات المحورية في تصاميمهم المعمارية ، مما أثار ضجةً كبيرةً عند عرضها في باريس عام 1923. ^{[ 10 ]}

منذ عشرينيات القرن الماضي، شكّلت تقنية المنظور المتوازي، أو ما يُعرف بالقياس المحوري، أسلوبًا رسوميًا هامًا للفنانين والمعماريين والمهندسين. وكما هو الحال في المنظور الخطي، يُساعد القياس المحوري في تصوير الفضاء ثلاثي الأبعاد على مستوى صورة ثنائي الأبعاد. وعادةً ما يكون ميزة قياسية في أنظمة التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD) وغيرها من أدوات الحوسبة المرئية. ^{[ 5 ]}

• 
  نموذج محرك الطحن البصري (1822)، مرسوم بمنظور متساوي القياس بزاوية 30 درجة ^{[ 11 ]}
• 
  مثال على رسم منظور ثنائي الأبعاد من براءة اختراع أمريكية (1874)
• 
  مثال على إسقاط ثلاثي الأبعاد يوضح شكل برج بنك الصين في هونغ كونغ .
• 
  مثال على الإسقاط ثنائي الأبعاد في الفن الصيني في طبعة مصورة من رواية الممالك الثلاث ، الصين، حوالي القرن الخامس عشر الميلادي .
• 
  تفاصيل من النسخة الأصلية للوحة " على ضفاف النهر خلال مهرجان تشينغمينغ" المنسوبة إلى تشانغ زيدوان (1085-1145). يُلاحظ أن اللوحة تتنقل بين الإسقاط المحوري والإسقاط المنظوري في أجزاء مختلفة منها، مما يجعلها غير متناسقة.

في هذا الرسم، ترتفع الكرة الزرقاء وحدتين عن الكرة الحمراء. ومع ذلك، لا يظهر هذا الفرق في الارتفاع إذا غطينا النصف الأيمن من الصورة.

تصور سلالم بنروز درجًا يبدو أنه يصعد (عكس اتجاه عقارب الساعة) أو ينزل (مع اتجاه عقارب الساعة) ولكنه يشكل حلقة متصلة.

لا تبدو الأجسام المرسومة بالإسقاط المتوازي أكبر أو أصغر كلما اقتربت أو ابتعدت عن المشاهد. ورغم أن هذه الطريقة مفيدة في الرسومات المعمارية ، حيث تُؤخذ القياسات مباشرةً من الصورة، إلا أنها تُنتج تشويشًا مرئيًا، لأنها، على عكس الإسقاط المنظوري ، لا تُحاكي طريقة الرؤية البشرية أو التصوير الفوتوغرافي. كما أنها قد تُؤدي بسهولة إلى حالات يصعب فيها تقدير العمق والارتفاع، كما هو موضح في الرسم التوضيحي على اليمين.

استُغِلَّ هذا الغموض البصري في فن الأوب آرت ، وكذلك في رسومات "الأجسام المستحيلة". على الرغم من عدم وجود تشابه تام، تُعدّ لوحة " الشلال " (1961) للفنان إم سي إيشر صورةً شهيرة، حيث يبدو فيها مجرى الماء وكأنه يتدفق دون مساعدة على طول مسار هابط، ثم يسقط بشكل متناقض مرة أخرى عند عودته إلى مصدره. وهكذا، يبدو الماء وكأنه يخالف قانون حفظ الطاقة . يُنسب الفضل إلى أوسكار رويترسفارد في اكتشاف الجسم المستحيل، وهو مثال على المثلث المستحيل (أعلى) الموضح في هذه اللوحة الجدارية للفنان بول كونيهولم .

• الإسقاط (الجبر الخطي)

• مخطط شوم: الهندسة الوصفية ، ماكجرو هيل، (1 يونيو 1962)، رقم ISBN 978-0070272903
• جوزيف مالكفيتش (أبريل 2003)، "الرياضيات والفن" ، أرشيف المقالات المميزة ، الجمعية الأمريكية للرياضيات
• إنجريد كارلبوم، جوزيف باشوريك (ديسمبر 1978)، "الإسقاطات الهندسية المستوية وتحويلات العرض"، مجلة ACM Computing Surveys ، 10 (4): 465-502 ، doi : 10.1145/356744.356750 ، S2CID 708008