خريطة بوانكاريه

في الرياضيات ، وخاصةً في الأنظمة الديناميكية ، تُعرف خريطة التكرار الأولى، أو خريطة بوانكاريه ( نسبةً إلى هنري بوانكاريه) ، بأنها تقاطع مدار دوري في فضاء حالة نظام ديناميكي متصل مع فضاء فرعي ذي أبعاد أقل، يُسمى مقطع بوانكاريه ، وهو متعامد مع مسار النظام. بتعبير أدق، يُنظر إلى مدار دوري ذي شروط ابتدائية ضمن مقطع من الفضاء، ثم يغادر هذا المقطع، وتُلاحظ النقطة التي يعود عندها هذا المدار إلى المقطع لأول مرة. بعد ذلك، تُنشأ خريطة لنقل النقطة الأولى إلى الثانية، ومن هنا جاءت تسمية خريطة التكرار الأولى . تعني خاصية التعامد في مقطع بوانكاريه أن المدارات الدورية التي تبدأ من الفضاء الفرعي تمر عبره وليس موازية له.

يمكن تفسير خريطة بوانكاريه على أنها نظام ديناميكي منفصل ذو فضاء حالة أصغر ببعد واحد من النظام الديناميكي الأصلي المتصل. ولأنها تحافظ على العديد من خصائص المدارات الدورية وشبه الدورية للنظام الأصلي، ولأن فضاء حالتها ذو أبعاد أقل، فإنها تُستخدم غالبًا لتحليل النظام الأصلي بطريقة أبسط. عمليًا، لا يكون ذلك ممكنًا دائمًا لعدم وجود طريقة عامة لإنشاء خريطة بوانكاريه.

تختلف خريطة بوانكاريه عن مخطط التكرار في أن المكان، وليس الزمان، هو ما يحدد وقت رسم النقطة. فعلى سبيل المثال، يمثل مسار القمر عندما تكون الأرض في أقرب نقطة لها من الشمس مخطط تكرار؛ بينما يمثل مسار القمر عندما يمر عبر المستوى العمودي على مدار الأرض، ويمر عبر الشمس والأرض عند أقرب نقطة لهما من الشمس، خريطة بوانكاريه. وقد استخدمها ميشيل هينون لدراسة حركة النجوم في المجرة ، لأن مسار النجم المسقط على مستوى يبدو كشبكة معقدة، بينما تُظهر خريطة بوانكاريه البنية بشكل أوضح.

ليكن ( R , M , φ ) نظامًا ديناميكيًا عالميًا ، حيث R هي الأعداد الحقيقية ، و M هي فضاء الطور ، و φ هي دالة التطور . ولتكن γ مدارًا دوريًا يمر بنقطة p ، و S مقطعًا تفاضليًا موضعيًا ومستعرضًا لـ φ يمر بنقطة p ، ويُسمى مقطع بوانكاريه المار بنقطة p .

في حي مفتوح ومتصل${\displaystyle U\subset S}$دالة p​​

${\displaystyle P:U\to S}$

يُطلق عليها اسم خريطة بوانكاريه للمدار γ على مقطع بوانكاريه S المار بالنقطة p إذا

• P ( p ) = p
• P ( U ) هي جوار النقطة p، و P : U → P ( U ) هو تماثل تفاضلي
• لكل نقطة x في U ، يتقاطع نصف المدار الموجب لـ x مع S لأول مرة عند P ( x ).

لنفترض نظام المعادلات التفاضلية التالي في الإحداثيات القطبية،${\displaystyle (\theta ,r)\in \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{+}}$:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\theta }}=1\\{\dot {r}}=(1-r^{2})r\end{cases}}}$

يمكن الحصول على تدفق النظام عن طريق تكامل المعادلة: لـ${\displaystyle \theta }$المكون الذي لدينا ببساطة ${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+t}$ أما بالنسبة لـ${\displaystyle r}$المكون الذي نحتاج إلى فصل المتغيرات ودمجها:

${\displaystyle \int {\frac {1}{(1-r^{2})r}}dr=\int dt\Longrightarrow \log \left({\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}\right)=t+c}$

بعكس التعبير الأخير نحصل على

${\displaystyle r(t)={\sqrt {\frac {e^{2(t+c)}}{1+e^{2(t+c)}}}}}$

ومنذ ذلك الحين

${\displaystyle r(0)={\sqrt {\frac {e^{2c}}{1+e^{2c}}}}}$

نجد

${\displaystyle r(t)={\sqrt {\frac {e^{2t}r_{0}^{2}}{1+r_{0}^{2}(e^{2t}-1)}}}={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}}$

وبالتالي فإن تدفق النظام هو

${\displaystyle \Phi _{t}(\theta ,r)=\left(\theta _{0}+t,{\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}\right)}$

يكون سلوك التدفق كما يلي:

• الزاوية${\displaystyle \theta }$يزداد بشكل رتيب وبمعدل ثابت.
• نصف القطر${\displaystyle r}$يميل إلى التوازن${\displaystyle {\bar {r}}=1}$لكل قيمة.

لذلك، الحل باستخدام البيانات الأولية${\displaystyle (\theta _{0},r_{0}\neq 1)}$يرسم حلزونًا يميل نحو دائرة نصف قطرها 1.

يمكننا اعتبار المحور الأفقي الموجب بمثابة مقطع بوانكاريه لهذا التدفق، أي ${\displaystyle \Sigma =\{(\theta ,r)\$ :\ \theta =0\}} : من الواضح أنه يمكننا استخدام${\displaystyle r}$كإحداثيات على المقطع. كل نقطة في${\displaystyle \Sigma }$يعود إلى القسم بعد فترة${\displaystyle t=2\pi }$(يمكن فهم ذلك من خلال النظر إلى تطور الزاوية): يمكننا اعتبار تقييد خريطة بوانكاريه${\displaystyle \Phi }$إلى القسم${\displaystyle \Sigma }$تم حسابها في ذلك الوقت${\displaystyle 2\pi }$،${\displaystyle \Phi _{2\pi }|_{\Sigma }}$وبالتالي، فإن خريطة بوانكاريه هي  :${\displaystyle \Psi (r)={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-4\pi }\left({\frac {1}{r^{2}}}-1\right)}}}}$

سلوك مدارات النظام الديناميكي المنفصل${\displaystyle (\Sigma ,\mathbb {Z} ,\Psi )}$وهو كالتالي:

• النقطة${\displaystyle r=1}$ثابت، لذلك${\displaystyle \Psi ^{n}(1)=1}$لكل${\displaystyle n}$.
• كل نقطة أخرى تميل بشكل رتيب نحو حالة التوازن،${\displaystyle \Psi ^{n}(z)\to 1}$ل${\displaystyle n\to \pm \infty }$.

يمكن تفسير خرائط بوانكاريه كنظام ديناميكي منفصل . يرتبط استقرار المدار الدوري للنظام الأصلي ارتباطًا وثيقًا باستقرار النقطة الثابتة لخريطة بوانكاريه المقابلة.

ليكن ( R , M , φ ) نظامًا ديناميكيًا قابلًا للتفاضل ذو مدار دوري γ يمر عبر النقطة p .

${\displaystyle P:U\to S}$

لنفترض أن دالة بوانكاريه المناظرة التي تمر عبر النقطة p . نُعرّف

${\displaystyle P^{0}:=\operatorname {id} _{U}}$

${\displaystyle P^{n+1}:=P\circ P^{n}}$

${\displaystyle P^{-n-1}:=P^{-1}\circ P^{-n}}$

و

${\displaystyle P(n,x):=P^{n}(x)}$

إذن، ( Z , U , P ) هو نظام ديناميكي منفصل ذو فضاء حالة U ودالة تطور

${\displaystyle P:\mathbb {Z} \times U\to U.}$

بحسب التعريف، يمتلك هذا النظام نقطة ثابتة عند النقطة p .

يكون المدار الدوري γ للنظام الديناميكي المستمر مستقرًا إذا وفقط إذا كانت النقطة الثابتة p للنظام الديناميكي المنفصل مستقرة.

يكون المدار الدوري γ للنظام الديناميكي المستمر مستقرًا تقاربيًا إذا وفقط إذا كانت النقطة الثابتة p للنظام الديناميكي المنفصل مستقرة تقاربيًا.

• تكرار بوانكاريه
• خريطة هينون
• مخطط التكرار
• وظيفة انعكاس ميرونينكو
• المقياس الثابت

• تيشل، جيرالد . المعادلات التفاضلية العادية والأنظمة الديناميكية . بروفيدنس : الجمعية الرياضية الأمريكية .

• شيفاكومار جولاد، خريطة بوانكاريه وتطبيقها على مشكلة "المغناطيس الدوار" ، (2005)