المدار (الديناميكيات)

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 29 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في دراسة الأنظمة الديناميكية ، يُعرف المدار بأنه مجموعة من النقاط المرتبطة بدالة تطور النظام الديناميكي. ويمكن فهمه على أنه مجموعة فرعية من فضاء الطور التي يغطيها مسار النظام الديناميكي في ظل مجموعة معينة من الشروط الابتدائية ، أثناء تطور النظام. ولأن مسار فضاء الطور يُحدد بشكل فريد لأي مجموعة معينة من إحداثيات فضاء الطور، فإنه لا يمكن أن تتقاطع مدارات مختلفة في فضاء الطور، وبالتالي فإن مجموعة جميع مدارات النظام الديناميكي تُعد تجزئة لفضاء الطور. ويُعد فهم خصائص المدارات باستخدام الأساليب الطوبولوجية أحد أهداف النظرية الحديثة للأنظمة الديناميكية.

بالنسبة للأنظمة الديناميكية ذات الزمن المتقطع ، تكون المدارات عبارة عن متواليات ؛ بالنسبة للأنظمة الديناميكية الحقيقية ، تكون المدارات عبارة عن منحنيات ؛ وبالنسبة للأنظمة الديناميكية الهولومورفية ، تكون المدارات عبارة عن أسطح ريمان .

تعريف

رسم تخطيطي يوضح المدار الدوري لنظام كتلة-نابض في حركة توافقية بسيطة . (تم هنا عكس محوري السرعة والموضع عن الاصطلاح القياسي من أجل محاذاة الرسمين التخطيطيين).

بفرض نظام ديناميكي ( T , M , Φ) حيث T زمرة ، و M مجموعة ، وΦ دالة التطور

Φ:يو→م{\displaystyle \Phi :U\to M}أينيو⊂تي×م{\displaystyle U\subset T\times M}معΦ(0،x)=x{\displaystyle \Phi (0,x)=x}

نحن نحدد

أنا(x):={ت∈تي:(ت،x)∈يو}،{\displaystyle I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\},}

ثم المجموعة

γx:={Φ(ت،x):ت∈أنا(x)}⊂م{\displaystyle \gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M}

يُطلق على المدار الذي يمر عبر النقطة x اسم المدار الثابت. أما المدار الذي يتكون من نقطة واحدة فيُسمى مدارًا ثابتًا . ويُسمى المدار غير الثابت مدارًا مغلقًا أو دوريًا إذا وُجدت نقطة واحدة في المدار الثابت.ت≠0{\displaystyle t\neq 0}فيأنا(x){\displaystyle I(x)}بحيث

Φ(ت،x)=x{\displaystyle \Phi (t,x)=x}.

نظام ديناميكي حقيقي

بالنظر إلى نظام ديناميكي حقيقي ( R , M , Φ)، فإن I ( x ) عبارة عن فترة مفتوحة في الأعداد الحقيقية ، أيأنا(x)=(تx-،تx+){\displaystyle I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})}لأي قيمة x في M

γx+:={Φ(ت،x):ت∈(0،تx+)}{\displaystyle \gamma _{x}^{+}:=\{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}}

يُطلق عليه اسم نصف المدار الموجب المار عبر x و

γx-:={Φ(ت،x):ت∈(تx-،0)}{\displaystyle \gamma _{x}^{-}:=\{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}}

يُطلق عليه اسم نصف المدار السالب المار عبر x .

نظام ديناميكي منفصل الزمن

بالنسبة لنظام ديناميكي منفصل الزمن ذي دالة تطور ثابتة مع الزمنو{\displaystyle f}:

المدار الأمامي لـ x هو المجموعة  :

γx+ =دهـو {وت(x):ت≥0}{\displaystyle \gamma _{x}^{+}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\geq 0\}}

إذا كانت الدالة قابلة للعكس، فإن المدار العكسي لـ x هو المجموعة  :

γx- =دهـو {وت(x):ت≤0}{\displaystyle \gamma _{x}^{-}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\leq 0\}}

ومجموعة مدار x هي  :

γx =دهـو γx-∪γx+{\displaystyle \gamma _{x}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }}{=}}\ \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}}

أين  :

  • و{\displaystyle f}هي دالة التطورو:X→X{\displaystyle f:X\to X}
  • تعيينX{\displaystyle X}الفضاء الديناميكي ،
  • ت{\displaystyle t}عدد التكرارات، وهو عدد طبيعي وت∈تي{\displaystyle t\in T}
  • x{\displaystyle x}هي الحالة الابتدائية للنظام و x∈X{\displaystyle x\in X}

النظام الديناميكي العام

بالنسبة لنظام ديناميكي عام، وخاصة في الديناميكيات المتجانسة، عندما يكون لدينا مجموعة "لطيفة"جي{\displaystyle G}العمل على فضاء احتماليX{\displaystyle X}بطريقة تحافظ على القياس، مدارجي.x⊂X{\displaystyle Gx\subset X}سيُطلق عليه اسم دوري (أو ما يعادله، مغلق) إذا كان المثبتSتأبجي(x){\displaystyle Stab_{G}(x)}شبكة داخليةجي{\displaystyle G}.

بالإضافة إلى ذلك، هناك مصطلح ذو صلة وهو المدار المحدود، عندما تكون المجموعةجي.x{\displaystyle Gx}مضغوط مسبقًا من الداخلX{\displaystyle X}.

يمكن أن يؤدي تصنيف المدارات إلى طرح أسئلة مثيرة للاهتمام تتعلق بمجالات رياضية أخرى، على سبيل المثال، تتناول حدسية أوبنهايم (التي أثبتها مارغوليس) وحدسية ليتلوود (التي أثبتها ليندنشتراوس جزئيًا) مسألة ما إذا كان كل مدار محدود لفعل طبيعي ما على الفضاء المتجانسSل3(R)∖Sل3(Z){\displaystyle SL_{3}(\mathbb {R} )\backslash SL_{3}(\mathbb {Z} )}إنها بالفعل دورية، وهذه الملاحظة تعود إلى راغوناثان، وبصياغة أخرى إلى كاسيلز وسوينرتون-داير. وترتبط هذه المسائل ارتباطًا وثيقًا بنظريات التصنيف والقياس العميق.

ملحوظات

غالباً ما يكون من الممكن فهم دالة التطور على أنها تتكون من عناصر مجموعة ، وفي هذه الحالة تكون المدارات النظرية للمجموعة لفعل المجموعة هي نفس الشيء مثل المدارات الديناميكية.

أمثلة

استقرار المدارات

التصنيف الأساسي للمدارات هو

  • مدارات ثابتة أو نقاط ثابتة
  • المدارات الدورية
  • مدارات غير ثابتة وغير دورية

يمكن أن يفشل المدار في أن يكون مغلقًا بطريقتين. قد يكون مدارًا دوريًا تقاربيًا إذا تقارب إلى مدار دوري. هذه المدارات ليست مغلقة لأنها لا تتكرر فعليًا، ولكنها تقترب بشكل عشوائي من مدار متكرر. كما يمكن أن يكون المدار فوضويًا . تقترب هذه المدارات بشكل عشوائي من النقطة الابتدائية، لكنها لا تتقارب أبدًا إلى مدار دوري. وهي تُظهر اعتمادًا حساسًا على الشروط الابتدائية ، مما يعني أن الاختلافات الطفيفة في القيمة الابتدائية ستؤدي إلى اختلافات كبيرة في النقاط اللاحقة للمدار.

توجد خصائص أخرى للمدارات تسمح بتصنيفات مختلفة. يمكن أن يكون المدار زائديًا إذا اقتربت النقاط القريبة منه أو ابتعدت عنه بسرعة أسية.

انظر أيضاً

مراجع

  • هيل، جاك ك.؛ كوتشاك، حسين (1991). "المدارات الدورية". الديناميكا والتشعبات . نيويورك: سبرينغر. ص 365-388 . ISBN  0-387-97141-6.
  • كاتوك، أناتول؛ هاسيلبلات، بوريس (1996). مقدمة في النظرية الحديثة للأنظمة الديناميكية . كامبريدج. ISBN 0-521-57557-5.
  • بيركو، لورانس (2001). "المدارات الدورية، والدورات الحدية، ودورات الفصل" . المعادلات التفاضلية والأنظمة الديناميكية (  الطبعة الثالثة). نيويورك: سبرينغر. ص 202-211 . ISBN  0-387-95116-4.