التداخلية

في الرياضيات ، يُعدّ التعامد مفهومًا يصف كيفية تقاطع الفضاءات ؛ ويمكن اعتباره نقيضًا للتماس ، ويلعب دورًا في الموضع العام . وهو يُضفي طابعًا رسميًا على فكرة التقاطع العام في الطوبولوجيا التفاضلية . ويُعرَّف من خلال النظر في التخطيطات الخطية للفضاءات المتقاطعة عند نقاط التقاطع.

يُقال إن مشعبين فرعيين من مشعب أملس محدود الأبعاد يتقاطعان عرضيًا إذا كان فضاءاهما المماسيان عند كل نقطة تقاطع يُولِّدان معًا الفضاء المماسي للمشعب المحيط عند تلك النقطة. ^{[ 1 ]} أما المشعبات التي لا تتقاطع فهي متقاطعة عرضيًا بشكل غير منطقي . إذا كان للمشعبين بُعد مُكمِّل (أي أن مجموع أبعادهما يساوي بُعد الفضاء المحيط )، فإن الشرط يعني أن الفضاء المماسي للمشعب المحيط هو المجموع المباشر للفضاءين المماسيين الأصغر. إذا كان التقاطع عرضيًا، فسيكون مشعبًا فرعيًا يكون بُعده المشترك مساويًا لمجموع الأبعاد المشتركة للمشعبين. في حال عدم تحقق شرط العرضية، قد لا يكون التقاطع مشعبًا فرعيًا، إذ قد يحتوي على نقطة شاذة .

يعني هذا تحديدًا أن الفضاءات الفرعية المستعرضة ذات الأبعاد التكميلية تتقاطع في نقاط معزولة (أي فضاء ذو ​​بُعد صفري ). إذا كانت كل من الفضاءات الفرعية والفضاء المحيط موجهة ، فإن تقاطعها يكون موجهًا أيضًا. أما عندما يكون التقاطع ذو بُعد صفري، فإن التوجيه يكون ببساطة موجبًا أو سالبًا لكل نقطة.

إحدى طرق التعبير عن التقاطع العرضي لمتشعبين فرعيين${\displaystyle L_{1}}$و${\displaystyle L_{2}}$من متعدد معين${\displaystyle M}$يكون${\displaystyle L_{1}\pitchfork L_{2}}$يمكن قراءة هذه الرموز بطريقتين: إما على النحو التالي: "${\displaystyle L_{1}}$و${\displaystyle L_{2}}$"يتقاطع بشكل عرضي" أو كترميز بديل للتقاطع في نظرية المجموعات${\displaystyle L_{1}\cap L_{2}}$ل${\displaystyle L_{1}}$و${\displaystyle L_{2}}$عندما يكون هذا التقاطع عرضيًا. في هذه الصيغة، يكون تعريف العرضية كما يلي:

${\displaystyle L_{1}\pitchfork L_{2}\iff \forall p\in L_{1}\cap L_{2},T_{p}M=T_{p}L_{1}\oplus T_{p}L_{2}.}$

يمكن بسهولة توسيع مفهوم التعامد بين زوج من الفضاءات الفرعية ليشمل تعامد فضاء فرعي وخريطة إلى الفضاء المحيط، أو تعامد زوج من الخرائط إلى الفضاء المحيط، وذلك بالتساؤل عما إذا كانت دفعات الفضاءات المماسية على طول الصورة العكسية لنقاط تقاطع الصور تولد الفضاء المماسي الكامل للفضاء المحيط. ^{[ 2 ]} إذا كانت الخرائط عبارة عن تضمينات ، فإن هذا يكافئ تعامد الفضاءات الفرعية.

لنفترض أن لدينا خرائط مستعرضة${\displaystyle f_{1}:L_{1}\to M}$و${\displaystyle f_{2}:L_{2}\to M}$أين${\displaystyle L_{1},L_{2}}$و${\displaystyle M}$هي مشعبات ذات أبعاد${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}}$و${\displaystyle m}$على التوالى.

يختلف معنى التداخلية اختلافًا كبيرًا تبعًا للأبعاد النسبية لـ${\displaystyle M,L_{1}}$و${\displaystyle L_{2}}$تتضح العلاقة بين العرضية والمماسية بشكل أكبر عندما${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}=m}$.

يمكننا النظر في ثلاث حالات منفصلة:

1. متى${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}<m}$من المستحيل أن تكون صورة${\displaystyle L_{1}}$و${\displaystyle L_{2}}$مساحات التماس التي تمتد${\displaystyle M}$الفضاء المماسي عند أي نقطة. وبالتالي أي تقاطع بين${\displaystyle f_{1}}$و${\displaystyle f_{2}}$لا يمكن أن تكون متقاطعة. ومع ذلك، فإن المتشعبات غير المتقاطعة تحقق الشرط بشكل بديهي، لذلك يمكن القول إنها تتقاطع بشكل متقاطع.
2. متى${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}=m}$صورة${\displaystyle L_{1}}$و${\displaystyle L_{2}}$يجب أن يكون مجموع مساحات التماس 's مباشرًا إلى${\displaystyle M}$الفضاء المماسي عند أي نقطة تقاطع. وبالتالي، يتكون تقاطعهما من نقاط معزولة، أي أنه متعدد الشعب ذو بُعد صفري. إذا${\displaystyle L_{1}}$و${\displaystyle L_{2}}$إذا تم توجيهها، فيمكن للمرء أن يخصص إشارة لكل نقطة من هذه النقاط.
3. متى${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}>m}$لا يشترط أن يكون هذا المجموع مباشراً. في الواقع، لا يمكن أن يكون مباشراً إذا${\displaystyle f_{1}}$و${\displaystyle f_{2}}$تُعتبر هذه الخرائط غمرًا عند نقطة تقاطعها، كما هو الحال في حالة الفضاءات الفرعية المضمنة. إذا كانت الخرائط غمرًا، فسيكون تقاطع صورها فضاءً متعدد الأبعاد.${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}-m.}$

بفرض وجود أي فضاءين فرعيين أملسين، يمكن إحداث اضطراب في أحدهما بمقدار صغير كيفيًا بحيث يتقاطع الفضاء الفرعي الناتج عرضيًا مع الفضاء الفرعي الثابت. لا تؤثر هذه الاضطرابات على فئة التماثل للفضاءات أو على تقاطعاتها. على سبيل المثال، إذا تقاطعت فضاءات ذات أبعاد متكاملة عرضيًا، فإن المجموع الموجه لعدد نقاط تقاطعها لا يتغير حتى لو قمنا بتحويل الفضاءات إلى تقاطع عرضي آخر. (يمكن حساب نقاط التقاطع بتردد 2، مع تجاهل الإشارات، للحصول على ثابت أكثر دقة). يؤدي هذا إلى حاصل ضرب تقاطع ثنائي الخطية على فئات التماثل لأي بُعد، وهو ثنائي بوانكاريه لحاصل الضرب الكأسي على التماثل المشترك . ومثل حاصل الضرب الكأسي، فإن حاصل الضرب التقاطعي متدرج التبادل .

أبسط مثال غير بديهي على التعامد هو الأقواس في سطح ما . تكون نقطة تقاطع قوسين متعامدة إذا وفقط إذا لم تكن تماسًا، أي أن خطوطهما المماسية داخل المستوى المماس للسطح متميزة.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، لا يمكن أن يكون منحنيان متقاطعين إلا إذا كان تقاطعهما خالياً، لأن فضاءات التماس بينهما لا يمكن أن تولد أكثر من فضاء ثنائي الأبعاد. تتقاطع المنحنيات المتقاطعة مع الأسطح في نقاط، وتتقاطع الأسطح المتقاطعة مع بعضها في منحنيات. أما المنحنيات التي تمس سطحاً عند نقطة (مثل المنحنيات الواقعة على سطح) فلا تتقاطع مع السطح بشكل عرضي.

إليك مثال أكثر تخصصًا: لنفترض أن${\displaystyle G}$هي مجموعة لي بسيطة و${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي جبر لي الخاص بها. وبحسب نظرية جاكوبسون-موروزوف، فإن كل عنصر عديم القوة${\displaystyle e\in {\mathfrak {g}}}$يمكن تضمينها في${\displaystyle {\mathfrak {sl_{2}}}}$-ثلاثي${\displaystyle (e,h,f)}$نظرية التمثيل لـ${\displaystyle {\mathfrak {sl_{2}}}}$يخبرنا ذلك${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},e]\oplus {\mathfrak {g}}_{f}}$المساحة${\displaystyle [{\mathfrak {g}},e]}$الفضاء المماسي عند${\displaystyle e}$إلى المدار المرافق${\displaystyle {\rm {{Ad}(G)e}}}$وهكذا الفضاء الأفيني${\displaystyle e+{\mathfrak {g}}_{f}}$يتقاطع مع مدار${\displaystyle e}$بشكل عرضي. الفضاء${\displaystyle e+{\mathfrak {g}}_{f}}$تُعرف باسم "شريحة سلودوي" نسبة إلى بيتر سلودوي .

كلمة "Transversal" اسم؛ والصفة هي "transverse".

اقتباس من جيه إتش سي وايتهيد ، 1959 ^{[ 3 ]}

موجود في كتلة Unicode للمعاملات الرياضية :

• U+22D4 ⋔ PITCHFORK ^{[ 4 ] [ 5 ]}

موجود في كتلة Unicode الخاصة بالمعاملات الرياضية التكميلية : ^{[ 6 ]}

• U+2ADB ⫛ TRANSVERSAL INTERSECTION ^{[ 7 ] : iii, 74} ( LaTeX :in the stix package ^{[ 8 ]} )\mlcp
• U+2ADA ⫚ مذراة ذات رأس على شكل حرف T ^{[ 9 ] : xv, 28}

• نظرية التعامد

• توم ، رينيه (1954). "Quelques propriétés globales des variétés Differentiables". تعليق. الرياضيات. هيلف. 28 (1): 17– 86. دوى : 10.1007/BF02566923 . S2CID 120243638 . 
• غيليمين، فيكتور؛ بولاك، آلان (1974). الطوبولوجيا التفاضلية . برنتيس هول. ISBN 0-13-212605-2.
• هيرش، موريس (1976). الطوبولوجيا التفاضلية . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-90148-5.