الحي (الرياضيات)

في علم الطوبولوجيا والتحليل الرياضي ، تُعدّ الجوار (أو الجوار ) أحد المفاهيم الأساسية في الفضاء الطوبولوجي . وهي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمفهومي المجموعة المفتوحة والداخل . وبشكلٍ مبسط، فإن جوار نقطة ما هو مجموعة من النقاط التي تحتوي على تلك النقطة ، حيث يمكن التحرك مسافة معينة في أي اتجاه بعيدًا عن تلك النقطة دون الخروج من المجموعة.

في فضاء متري${\displaystyle M=(X,d),}$مجموعة${\displaystyle V}$هي منطقة مجاورة لنقطة${\displaystyle p}$إذا كان هناك عدد حقيقي موجب${\displaystyle r}$بحيث تكون الكرة المفتوحة$${\displaystyle B(p;r)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$ مع المركز${\displaystyle p}$ونصف القطر${\displaystyle r}$موجود في${\displaystyle V.}$

${\displaystyle V}$هي جوار لمجموعة${\displaystyle S}$إذا، لكل عنصر${\displaystyle p}$ل${\displaystyle S,}$يوجد عدد موجب${\displaystyle r}$بحيث${\displaystyle B(p;r)}$موجود في${\displaystyle V.}$${\displaystyle V}$يُطلق عليها اسم الجوار المنتظم لمجموعة${\displaystyle S}$إذا كان هناك عدد موجب${\displaystyle r}$بحيث يكون ذلك لجميع العناصر${\displaystyle p}$ل${\displaystyle S,}$الكرة المفتوحة${\displaystyle B(p;r)}$موجود في${\displaystyle V.}$

في ظل نفس شرط الحي المتجانس مع${\displaystyle r>0,}$ال${\displaystyle r}$-حيّ${\displaystyle S_{r}}$من مجموعة${\displaystyle S}$هو اتحاد جميع الكرات المفتوحة ذات نصف القطر${\displaystyle r}$والتي تتمركز عند كل نقطة في${\displaystyle S}$:$${\displaystyle S_{r}=\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p).}$$

ويترتب على ذلك مباشرة أن${\displaystyle r}$الجوار هو جوار منتظم، وتكون المجموعة جوارًا منتظمًا إذا وفقط إذا كانت تحتوي على${\displaystyle r}$- الحي لقيمة معينة من${\displaystyle r.}$

بالنظر إلى مجموعة الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$باستخدام المقياس الإقليدي المعتاد ، المجموعة الفرعية${\displaystyle V}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,1/n\right),}$$ هو حي للمجموعة${\displaystyle \mathbb {N} }$من الأعداد الطبيعية ، لكنها ليست جوارًا منتظمًا لهذه المجموعة لأنه لكل عدد حقيقي موجب${\displaystyle r}$،${\displaystyle B\left(\left\lceil {\frac {1}{r}}\right\rceil +1\,;\,r\right)}$ليست مجموعة فرعية من${\displaystyle V}$(لاحظ أن${\displaystyle \left\lceil {\frac {1}{r}}\right\rceil +1}$(عدد طبيعي).

يُعدّ التعريف أعلاه مفيدًا إذا كان مفهوم المجموعة المفتوحة مُعرّفًا مسبقًا. وهناك طريقة بديلة لتعريف الطوبولوجيا، وذلك بتعريف نظام الجوار أولًا ، ثم تعريف المجموعات المفتوحة على أنها تلك المجموعات التي تحتوي على جوار لكل نقطة من نقاطه.

نظام الأحياء${\displaystyle X}$هو تعيين مرشح${\displaystyle N(x)}$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$لكل${\displaystyle x}$في${\displaystyle X,}$بحيث

1. النقطة${\displaystyle x}$هو عنصر من كل${\displaystyle U}$في${\displaystyle N(x)}$
2. كل${\displaystyle U}$في${\displaystyle N(x)}$يحتوي على بعض${\displaystyle V}$في${\displaystyle N(x)}$بحيث يكون لكل${\displaystyle y}$في${\displaystyle V,}$${\displaystyle U}$هو في${\displaystyle N(y).}$

يمكن للمرء أن يثبت أن كلا التعريفين متوافقان، أي أن الطوبولوجيا التي تم الحصول عليها من نظام الجوار المحدد باستخدام المجموعات المفتوحة هي الطوبولوجيا الأصلية، والعكس صحيح عند البدء من نظام الجوار.

في مساحة موحدة${\displaystyle S=(X,\Phi ),}$${\displaystyle V}$يُطلق عليه اسم الحي المتجانس لـ${\displaystyle P}$إذا كان هناك حاشية${\displaystyle U\in \Phi }$بحيث${\displaystyle V}$يحتوي على جميع نقاط${\displaystyle X}$التي هي${\displaystyle U}$-قريب من نقطة ما من${\displaystyle P;}$إنه،${\displaystyle U[x]\subseteq V}$للجميع${\displaystyle x\in P.}$

حي محذوف لنقطة${\displaystyle p}$(يُطلق عليها أحيانًا اسم الحي المثقوب ) هو حي من${\displaystyle p,}$بدون${\displaystyle \{p\}.}$على سبيل المثال، الفترة${\displaystyle (-1,1)=\{y:-1<y<1\}}$هو حي من${\displaystyle p=0}$في خط الأعداد الحقيقية ، لذا فإن المجموعة${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}}$حي محذوف من${\displaystyle 0.}$إن الجوار المحذوف لنقطة معينة ليس في الواقع جواراً لتلك النقطة. يظهر مفهوم الجوار المحذوف في تعريف نهاية الدالة وفي تعريف نقاط النهاية (من بين أمور أخرى). ^{[ 4 ]}

• النقطة المعزولة – نقطة في مجموعة جزئية S لا توجد حولها أي نقاط أخرى من S 
• نظام الجوار – مفهوم في الرياضيات 
• المنطقة (في الرياضيات) - مجموعة فرعية مفتوحة متصلة من فضاء طوبولوجي. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• الحي الأنبوبي - حي مشعب فرعي 

• بريدون، جلين إي. (1993). الطوبولوجيا والهندسة . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-97926-3.
• إنجلكينج، ريزارد (1989). الطوبولوجيا العامة . دار هيلديرمان، برلين. رقم ISBN 3-88538-006-4.
• كابلانسكي، إيرفينغ (2001). نظرية المجموعات والفضاءات المترية . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 0-8218-2694-8.
• كيلي، جون ل. (1975). الطوبولوجيا العامة . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-90125-6.
• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة . مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .