مصفوفة متعددة الأطوار

تُسمى خاصية إعادة بناء الإشارة المُعالجة من البيانات المُفلترة باستخدام مصفوفة متعددة الأطوار بخاصية إعادة البناء المثالية . رياضياً، يُعادل هذا الخاصية خاصية الانعكاس. وفقاً لنظرية انعكاس المصفوفة على حلقة، تكون المصفوفة متعددة الأطوار قابلة للانعكاس إذا وفقط إذا كان مُحددها دالة دلتا كرونكر ، والتي تساوي صفرًا في كل مكان باستثناء قيمة واحدة.

${\displaystyle {\begin{aligned}\det P&=h_{\mbox{e}}\cdot g_{\mbox{o}}-h_{\mbox{o}}\cdot g_{\mbox{e}}\\\exists A\ A\cdot P&=I\iff \exists c\ \exists k\ \det P=c\cdot \delta \rightarrow k\end{aligned}}}$

بحسب قاعدة كرامر، فإن معكوس${\displaystyle \scriptstyle P}$يمكن إعطاؤها فوراً.

${\displaystyle P^{-1}\cdot \det P={\begin{pmatrix}g_{\mbox{o}}\rightarrow 1&-h_{\mbox{o}}\rightarrow 1\\-g_{\mbox{e}}&h_{\mbox{e}}\end{pmatrix}}}$

التعامد يعني أن المصفوفة المرافقة${\displaystyle \scriptstyle P^{*}}$وهي أيضًا المصفوفة العكسية لـ${\displaystyle \scriptstyle P}$المصفوفة المرافقة هي المصفوفة المنقولة مع المرشحات المرافقة .

${\displaystyle P^{*}={\begin{pmatrix}h_{\mbox{e}}^{*}&g_{\mbox{e}}^{*}\\h_{\mbox{o}}^{*}\leftarrow 1&g_{\mbox{o}}^{*}\leftarrow 1\end{pmatrix}}}$

وهذا يعني أن المعيار الإقليدي لإشارات الإدخال محفوظ. أي أن تحويل المويجة المقابل هو تحويل متساوي القياس .

${\displaystyle \left\|a_{1}\right\|_{2}^{2}+\left\|d_{1}\right\|_{2}^{2}=\left\|a_{0}\right\|_{2}^{2}}$

شرط التعامد

${\displaystyle P\cdot P^{*}=I}$

يمكن كتابتها

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mbox{e}}^{*}\cdot h_{\mbox{e}}+h_{\mbox{o}}^{*}\cdot h_{\mbox{o}}&=\delta \\g_{\mbox{e}}^{*}\cdot g_{\mbox{e}}+g_{\mbox{o}}^{*}\cdot g_{\mbox{o}}&=\delta \\h_{\mbox{e}}^{*}\cdot g_{\mbox{e}}+h_{\mbox{o}}^{*}\cdot g_{\mbox{o}}&=0\end{aligned}}}$

بالنسبة للمصفوفات متعددة الأطوار غير المتعامدة، يبرز التساؤل حول المعايير الإقليدية التي يمكن أن يأخذها الناتج. ويمكن تحديد هذا المعيار باستخدام معيار المؤثر .

${\displaystyle \forall x\ \left\|P\cdot x\right\|_{2}\in \left[\left\|P^{-1}\right\|_{2}^{-1}\cdot \|x\|_{2},\|P\|_{2}\cdot \|x\|_{2}\right]}$

لـ${\displaystyle \scriptstyle 2\,\times \,2}$يمكن تحديد معيار المؤثر الإقليدي لمصفوفة متعددة الأطوار بشكل صريح باستخدام معيار فروبينيوس.${\displaystyle \scriptstyle \|\cdot \|_{F}}$والتحويل z${\displaystyle \scriptstyle Z}$: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}p(z)&={\frac {1}{2}}\cdot \left\|ZP(z)\right\|_{F}^{2}\\q(z)&=\left|\det[ZP(z)]\right|^{2}\\\|P\|_{2}&=\max \left\{{\sqrt {p(z)+{\sqrt {p(z)^{2}-q(z)}}}}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\\\left\|P^{-1}\right\|_{2}^{-1}&=\min \left\{{\sqrt {p(z)-{\sqrt {p(z)^{2}-q(z)}}}}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\end{aligned}}}$

هذه حالة خاصة من${\displaystyle n\times n}$المصفوفة حيث يمكن الحصول على معيار المؤثر عبر تحويل z ونصف القطر الطيفي للمصفوفة أو المعيار الطيفي المقابل .

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|P\right\|_{2}&={\sqrt {\max \left\{\lambda _{\text{max}}\left[ZP^{*}(z)\cdot ZP(z)\right]:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}}}\\&=\max \left\{\left\|ZP(z)\right\|_{2}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\\[3pt]\left\|P^{-1}\right\|_{2}^{-1}&={\sqrt {\min \left\{\lambda _{\text{min}}\left[ZP^{*}(z)\cdot ZP(z)\right]:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}}}\end{aligned}}}$

يمكن اشتقاق إشارة، حيث يتم افتراض هذه الحدود، من المتجه الذاتي المقابل للقيمة الذاتية القصوى والدنيا.

يُتيح مفهوم المصفوفة متعددة الأطوار تحليل المصفوفات . فعلى سبيل المثال، يؤدي التحليل إلى مصفوفات الجمع إلى مخطط الرفع . ^{[ 3 ]} ومع ذلك، لا يمكن تطبيق تحليلات المصفوفات الكلاسيكية مثل تحليل LU وتحليل QR مباشرةً، لأن المرشحات تُشكّل حلقةً بالنسبة للالتفاف، وليس حقلاً .