قوة النقطة

لأي نقطة${\displaystyle P}$خارج الدائرة${\displaystyle c}$توجد نقطتان مماستان ${\displaystyle T_{1},T_{2}}$في الدائرة${\displaystyle c}$والتي لها مسافة متساوية إلى${\displaystyle P}$ومن هنا الدائرة${\displaystyle o}$مع المركز${\displaystyle P}$خلال${\displaystyle T_{1}}$تمريرات${\displaystyle T_{2}}$وكذلك، ويتقاطع${\displaystyle c}$متعامد:

• الدائرة ذات المركز${\displaystyle P}$ونصف القطر${\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}}$يتقاطع مع الدائرة${\displaystyle c}$متعامد .

إذا كان نصف القطر${\displaystyle \rho }$من الدائرة التي مركزها عند${\displaystyle P}$يختلف عن${\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}}$يحصل المرء على زاوية التقاطع${\displaystyle \varphi }$بين الدائرتين بتطبيق قانون جيب التمام (انظر الرسم التوضيحي):

${\displaystyle \rho ^{2}+r^{2}-2\rho r\cos \varphi =|PO|^{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ \cos \varphi ={\frac {\rho ^{2}+r^{2}-|PO|^{2}}{2\rho r}}={\frac {\rho ^{2}-\Pi (P)}{2\rho r}}}$

(${\displaystyle PS_{1}}$و${\displaystyle OS_{1}}$(الأعمدة على الدائرة هي مماسات .)

لو${\displaystyle P}$يقع داخل الدائرة الزرقاء، ثم${\displaystyle \Pi (P)<0}$و${\displaystyle \varphi }$يختلف دائمًا عن${\displaystyle 90^{\circ }}$.

إذا كانت الزاوية${\displaystyle \varphi }$إذا تم تحديد نصف القطر، فسيتم الحصول عليه.${\displaystyle \rho }$عن طريق حل المعادلة التربيعية

${\displaystyle \rho ^{2}-2\rho r\cos \varphi -\Pi (P)=0}$.

بالنسبة لنظرية القواطع المتقاطعة ونظرية الوتر، تلعب قوة النقطة دور الثابت :

• نظرية القواطع المتقاطعة : بالنسبة لنقطة${\displaystyle P}$خارج دائرة${\displaystyle c}$ونقاط التقاطع${\displaystyle S_{1},S_{2}}$لخط قاطع${\displaystyle g}$مع${\displaystyle c}$العبارة التالية صحيحة:${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=\Pi (P)}$وبالتالي فإن الناتج مستقل عن الخط${\displaystyle g}$. لو${\displaystyle g}$إذا كان مماسًا${\displaystyle S_{1}=S_{2}}$والبيان هو نظرية المماس والقاطع .
• نظرية الأوتار المتقاطعة : بالنسبة لنقطة${\displaystyle P}$داخل دائرة${\displaystyle c}$ونقاط التقاطع${\displaystyle S_{1},S_{2}}$لخط قاطع${\displaystyle g}$مع${\displaystyle c}$العبارة التالية صحيحة:${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-\Pi (P)}$وبالتالي فإن الناتج مستقل عن الخط${\displaystyle g}$.

يترك${\displaystyle P}$كن نقطة و${\displaystyle c_{1},c_{2}}$دائرتان غير متحدتي المركز لهما مراكز${\displaystyle O_{1},O_{2}}$ونصف القطر${\displaystyle r_{1},r_{2}}$. نقطة${\displaystyle P}$يمتلك القوة${\displaystyle \Pi _{i}(P)}$بالنسبة للدائرة${\displaystyle c_{i}}$مجموعة جميع النقاط${\displaystyle P}$مع${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P)}$هو خط يُسمى المحور الجذري . يحتوي على النقاط المشتركة المحتملة للدوائر وهو عمودي على الخط${\displaystyle {\overline {O_{1}O_{2}}}}$.

تُعد نقاط التشابه أداة أساسية في تحقيقات شتاينر حول الدوائر. ^{[ 5 ]}

بافتراض وجود دائرتين

${\displaystyle \ c_{1}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=0,\quad c_{2}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2}=0\ .}$

التماثل ( التشابه )​${\displaystyle \sigma }$، التي ترسم الخرائط${\displaystyle c_{1}}$على${\displaystyle c_{2}}$نصف قطر التمدد (الصدمات)${\displaystyle r_{1}}$ل${\displaystyle r_{2}}$وله مركزه${\displaystyle Z:{\vec {z}}}$على الخط${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$، لأن${\displaystyle \sigma (M_{1})=M_{2}}$إذا كان المركز${\displaystyle Z}$هو بين${\displaystyle M_{1},M_{2}}$عامل المقياس هو${\displaystyle s=-{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$أما في الحالة الأخرى${\displaystyle s={\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$. على أي حال:

${\displaystyle \sigma ({\vec {m}}_{1})={\vec {z}}+s({\vec {m}}_{1}-{\vec {z}})={\vec {m}}_{2}}$.

إدخال${\displaystyle s=\pm {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$وحل لـ${\displaystyle {\vec {z}}}$ينتج عنه:

${\displaystyle {\vec {z}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}\mp r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}\mp r_{2}}}}$.

نقطة$${\displaystyle E:{\vec {e}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}-r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}-r_{2}}}}$$تُسمى نقطة التشابه الخارجي و$${\displaystyle I:{\vec {i}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}+r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}$$وتسمى نقطة التشابه الداخلية .

في حالة${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$يحصل المرء${\displaystyle E=I=M_{i}}$في حالة${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$:${\displaystyle E}$هي النقطة الواقعة في اللانهاية من الخط${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$و${\displaystyle I}$هو مركز${\displaystyle M_{1},M_{2}}$في حالة${\displaystyle r_{1}=|EM_{1}|}$تتلامس الدوائر عند نقطة واحدة.${\displaystyle E}$داخل الدائرة (كلتا الدائرتين على نفس جانب خط المماس المشترك). في حالة${\displaystyle r_{1}=|IM_{1}|}$تتلامس الدوائر عند نقطة واحدة.${\displaystyle I}$في الخارج (الدائرتان على جانبين مختلفين من خط المماس المشترك).

بالإضافة إلى:

• إذا كانت الدوائر منفصلة (أي لا توجد نقاط مشتركة بين الأقراص)، فإن المماسات الخارجية المشتركة تلتقي عند${\displaystyle E}$والداخلية منها في${\displaystyle I}$.
• إذا كانت إحدى الدائرتين محصورة داخل الأخرى ، فإن النقاط${\displaystyle E,I}$تقع داخل الدائرتين.
• الأزواج${\displaystyle M_{1},M_{2};E,I}$هما مترافقان توافقيان إسقاطيان : نسبة التبادل بينهما هي${\displaystyle (M_{1},M_{2};E,I)=-1}$.

تنص نظرية مونج على ما يلي: تقع نقاط التشابه الخارجية لثلاث دوائر منفصلة على خط مستقيم.

يترك${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ليكن دائرتين،${\displaystyle E}$نقطة التشابه الخارجية بينهما و${\displaystyle g}$خط يمر عبر${\displaystyle E}$، والتي تلتقي بالدائرتين في أربع نقاط${\displaystyle G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}}$من الخاصية المميزة للنقطة${\displaystyle E}$يحصل المرء

${\displaystyle {\frac {|EG_{1}|}{|EG_{2}|}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {|EH_{1}|}{|EH_{2}|}}\ }$

${\displaystyle \rightarrow \ |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\ }$

وبناءً على نظرية القاطع (انظر أعلاه)، فإن المعادلتين

${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{1}|=\Pi _{1}(E),\quad |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|=\Pi _{2}(E).}$

بدمج هذه المعادلات الثلاث نحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)&=|EG_{1}|\cdot |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|\\&=|EG_{1}|^{2}\cdot |EH_{2}|^{2}=|EG_{2}|^{2}\cdot |EH_{1}|^{2}\ .\end{aligned}}}$$ لذلك:$${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EG_{2}|\cdot |EH_{1}|={\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}}}$$(بشكل مستقل عن الخط)${\displaystyle g}$ !). العبارة المماثلة لنقطة التشابه الداخلية${\displaystyle I}$وهذا صحيح أيضاً.

الثوابت${\textstyle {\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}},\ {\sqrt {\Pi _{1}(I)\cdot \Pi _{2}(I)}}}$يطلق عليها شتاينر القوة المشتركة للدائرتين ( gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte ). ^{[ 6 ]}

الأزواج${\displaystyle G_{1},H_{2}}$و${\displaystyle H_{1},G_{2}}$النقاط هي نقاط مضادة للتجانس . الأزواج${\displaystyle G_{1},G_{2}}$و${\displaystyle H_{1},H_{2}}$متماثلة . ^{[ 7 ] [ 8 ]}​

للقاطع الثاني المار ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|=|EH'_{1}|\cdot |EG'_{2}|}$

من نظرية القاطع نحصل على:

النقاط الأربع${\displaystyle H_{1},G_{2},H'_{1},G'_{2}}$استلقِ على دائرة.

وبالمثل:

النقاط الأربع${\displaystyle G_{1},H_{2},G'_{1},H'_{2}}$استلقِ على دائرة أيضًا.

لأن الخطوط الجذرية لثلاث دوائر تلتقي عند الجذر (انظر: مقالة الخط الجذري)، نحصل على:

القواطع${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},\;{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$تلتقي النقاط على المحور الجذري للدائرتين المعطيتين.

بتحريك القاطع السفلي (انظر الرسم التوضيحي) باتجاه القاطع العلوي، تصبح الدائرة الحمراء دائرة مماسة للدائرتين المعطيتين. مركز الدائرة المماسية هو نقطة تقاطع الخطوط${\displaystyle {\overline {M_{1}H_{1}}},{\overline {M_{2}G_{2}}}}$القواطع${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$تصبح مماسات عند النقاط${\displaystyle H_{1},G_{2}}$تتقاطع المماسات عند خط الجذر${\displaystyle p}$(باللون الأصفر في الرسم التخطيطي).

تُنتج اعتبارات مماثلة دائرة مماسية ثانية، تتقاطع مع الدوائر المعطاة عند النقاط${\displaystyle G_{1},H_{2}}$(انظر الرسم التوضيحي).

يمكن إيجاد جميع الدوائر المماسية للدوائر المعطاة عن طريق تغيير الخط${\displaystyle g}$.

مواقع المراكز

لو${\displaystyle X}$هو المركز و${\displaystyle \rho }$نصف قطر الدائرة، أي المماس للدوائر المعطاة عند النقاط${\displaystyle H_{1},G_{2}}$، ثم:

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|-r_{1}=|XM_{2}|-r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=r_{2}-r_{1}.}$

وبالتالي: تقع المراكز على قطع زائد مع

بؤر التركيز${\displaystyle M_{1},M_{2}}$،

المسافة بين الرؤوس${\displaystyle 2a=r_{2}-r_{1}}$،

مركز${\displaystyle M}$هو مركز ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$،

اللامركزية الخطية${\displaystyle c={\tfrac {|M_{1}M_{2}|}{2}}}$و

${\displaystyle \ b^{2}=e^{2}-a^{2}={\tfrac {|M_{1}M_{2}|^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}}{4}}}$.

تؤدي الاعتبارات المتعلقة بالدوائر المماسية الخارجية إلى النتيجة التناظرية:

لو${\displaystyle X}$هو المركز و${\displaystyle \rho }$نصف قطر الدائرة، أي المماس للدوائر المعطاة عند النقاط${\displaystyle G_{1},H_{2}}$، ثم:

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|+r_{1}=|XM_{2}|+r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=-(r_{2}-r_{1}).}$

تقع المراكز على نفس القطع الزائد، ولكن على الفرع الأيمن.

انظر أيضاً إلى مشكلة أبولونيوس .