النسبة التبادلية

في الهندسة ، النسبة التبادلية ، وتُسمى أيضًا النسبة المزدوجة والنسبة غير التوافقية ، هي عدد يرتبط بقائمة من أربع نقاط تقع على خط مستقيم واحد ، وتحديدًا نقاط على خط إسقاطي . إذا كانت لدينا أربع نقاط A و B و C و D على خط مستقيم، فإن نسبتها التبادلية تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}}$

حيث يحدد اتجاه الخط إشارة كل مسافة، وتُقاس المسافة كمسقط في الفضاء الإقليدي . (إذا كانت إحدى النقاط الأربع هي نقطة الخط عند اللانهاية، تُحذف المسافتان اللتان تشملان تلك النقطة من الصيغة). النقطة D هي المرافق التوافقي للنقطة C بالنسبة إلى A و B تحديدًا إذا كانت النسبة التبادلية للرباعية تساوي -1 ، وتُسمى النسبة التوافقية . بالتالي، يمكن اعتبار النسبة التبادلية مقياسًا لانحراف الرباعية عن هذه النسبة؛ ومن هنا جاء اسم النسبة غير التوافقية .

يتم الحفاظ على النسبة التبادلية بواسطة التحويلات الكسرية الخطية . وهي في الأساس الثابت الإسقاطي الوحيد لمجموعة رباعية من النقاط المتوازية؛ وهذا ما يؤكد أهميتها في الهندسة الإسقاطية .

تم تعريف النسبة التبادلية في العصور القديمة، وربما كان إقليدس قد عرّفها بالفعل ، وقد تناولها بابوس ، الذي أشار إلى خاصية ثباتها الأساسية. وقد خضعت لدراسة مستفيضة في القرن التاسع عشر. ^{[ 1 ]}

توجد صيغ مختلفة لهذا المفهوم لرباعية من الخطوط المتلاقية على المستوى الإسقاطي ورباعية من النقاط على كرة ريمان . في نموذج كايلي-كلاين للهندسة الزائدية ، تُعبّر المسافة بين النقاط بدلالة نسبة تقاطع معينة.

استخدم بابوس الإسكندري ضمنيًا مفاهيم مكافئة للنسبة التبادلية في كتابه " المجموعة: الكتاب السابع" . ومن أوائل مستخدمي بابوس: إسحاق نيوتن ، وميشيل تشالس ، وروبرت سيمسون . وفي عام 1986، ترجم ألكسندر جونز النص الأصلي لبابوس، ثم كتب تعليقًا حول كيفية ارتباط مقولات بابوس بالمصطلحات الحديثة. ^{[ 2 ]}

بدأ الاستخدام الحديث للنسبة المتقاطعة في الهندسة الإسقاطية مع لازار كارنو في عام 1803 مع كتابه Géométrie de Position . ^{[ 3 ]} صاغ شاسل المصطلح الفرنسي rapport anharmonique [النسبة غير التوافقية] في عام 1837. ^{[ 4 ]} ويطلق عليها علماء الهندسة الألمان اسم das Doppelverhältnis [النسبة المزدوجة].

لم يكن كارل فون شتاودت راضيًا عن التعريفات السابقة للنسبة التبادلية التي تعتمد على التلاعب الجبري بالمسافات الإقليدية بدلًا من الاستناد كليًا إلى مفاهيم الهندسة الإسقاطية التركيبية. في عام 1847، برهن فون شتاودت على أن البنية الجبرية ضمنية في الهندسة الإسقاطية، وذلك بإنشاء جبر قائم على بناء المرافق التوافقي الإسقاطي ، والذي أطلق عليه اسم " رمية" (بالألمانية: Wurf ): فعند إعطاء ثلاث نقاط على خط مستقيم، يكون المرافق التوافقي هو النقطة الرابعة التي تجعل النسبة التبادلية تساوي -1 . يوفر جبر الرميات الذي وضعه فون شتاودت منهجًا للمسائل العددية، التي تُعتبر عادةً بديهيات، ولكنها تُثبت في الهندسة الإسقاطية. ^{[ 5 ]}

تم تقديم المصطلح الإنجليزي "cross-ratio" في عام 1878 بواسطة ويليام كينغدون كليفورد . ^{[ 6 ]}

إذا كانت A و B و C و D أربع نقاط على خط أفيني موجه ، فإن نسبة التقاطعات بينها هي:

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC:BC}{AD:BD}},}$

مع التدوين${\displaystyle WX:YZ}$يُعرَّف بأنه النسبة الموقعة للإزاحة من W إلى X إلى الإزاحة من Y إلى Z. بالنسبة للإزاحات الخطية، تكون هذه كمية لا بُعدية .

إذا اعتبرنا الإزاحات نفسها أعدادًا حقيقية ذات إشارة، فيمكن كتابة النسبة التبادلية بين النقاط على النحو التالي:

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC}{BC}}{\bigg شاد\frac {AD}{BD}}={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}.}$

لو${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$هو الخط الحقيقي الممتد إسقاطيًا ، النسبة التبادلية لأربعة أعداد مختلفة${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$في${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle (x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}}{\bigg واصل\frac {x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-x_{1})}}.}$

عندما يكون أحد${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$هي النقطة عند اللانهاية (${\displaystyle \infty }$، وهذا يختزل إلى على سبيل المثال

${\displaystyle (\infty ,x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {(x_{3}-\infty )(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-\infty )}}={\frac {(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})}}.}$

يمكن تطبيق الصيغ نفسها على أربعة أعداد مركبة مختلفة ، أو بشكل أعم، على عناصر أي حقل ، ويمكن أيضًا توسيعها إسقاطيًا كما هو مذكور أعلاه إلى الحالة التي يكون فيها أحدها${\displaystyle \infty ={\tfrac {1}{0}}.}$

يمكن تعريف النسبة التبادلية، على سبيل المثال، لحزم الخطوط أو الدوائر أو القطوع المخروطية. على سبيل المثال، النسبة التبادلية لـ${\displaystyle 4}$يمكن تعريف الدوائر المحورية بطرق متكافئة عديدة:

• يترك${\displaystyle A}$إذا وُجدت نقطة تقاطع للدوائر على محورها الجذري، فيمكن تعريف النسبة التبادلية للدوائر بأنها النسبة التبادلية للمماسات للدوائر المارة بهذه النقطة.${\displaystyle A}$.
• وبشكل أعم، عند النظر إلى أي نقطة في المستوى، فإن${\displaystyle 4}$تتقاطع الاستقطابات القطبية لهذه النقطة بالنسبة لتلك الدوائر، ولا تعتمد نسبة تقاطعها على النقطة المختارة.
• بأخذ الخطوط المتعامدة مع المماسات عند${\displaystyle A}$وبإسقاطها على الخط الذي تقع عليه مراكز الدوائر، نستنتج أنها تساوي النسبة التبادلية لمراكز الدوائر.
• يمكن إثبات ذلك من خلال عملية عكسية، حيث يمكن تعريف النسبة التبادلية لهذه الدوائر بشكل مكافئ على أنها النسبة التبادلية لنقاط التقاطع الثانية المختلفة عن${\displaystyle A}$دائرة (وفي حالة متدهورة خط) تمر عبر${\displaystyle A}$.

يمكن كتابة النسبة التبادلية للنقاط الأربع الواقعة على خط مستقيم واحد A و B و C و D على النحو التالي:

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC:CB}{AD:DB}}}$

أين${\textstyle AC:CB}$يصف النسبة التي تقسم بها النقطة C القطعة المستقيمة AB ، و${\textstyle AD:DB}$يصف هذا المصطلح النسبة التي تقسم بها النقطة D نفس القطعة المستقيمة. وتظهر النسبة التبادلية كنسبة بين نسبتين، تصف موقع النقطتين C و D بالنسبة للقطعة المستقيمة AB . طالما أن النقاط A و B و C و D مختلفة، فإن النسبة التبادلية ( A , B ; C , D ) ستكون عددًا حقيقيًا غير صفري. يمكننا استنتاج ذلك بسهولة.

• ( A , B ; C , D ) < 0 إذا وفقط إذا كانت إحدى النقطتين C أو D تقع بين النقطتين A و B والأخرى لا تقع بينهما.
• ( أ ، ب ؛ ج ، د ) = 1 / ( أ ، ب ؛ د ، ج )
• ( أ ، ب ؛ ج ، د ) = ( ج ، د ؛ أ ، ب )
• ( أ ، ب ؛ ج ، د ) ≠ ( أ ، ب ؛ ج ، هـ ) ⇔ د ≠ هـ

النسبة التبادلية هي ثابت إسقاطي بمعنى أنها محفوظة بواسطة التحويلات الإسقاطية لخط إسقاطي.

على وجه الخصوص، إذا كانت أربع نقاط تقع على خط مستقيم${\textstyle L}$في${\textstyle {\mathbf {R}}^{2}}$عندئذٍ تكون نسبة التبادل بينهما كمية محددة جيدًا، لأن أي اختيار للأصل وحتى المقياس على الخط سيؤدي إلى نفس قيمة نسبة التبادل.

علاوة على ذلك، دع${\textstyle \{L_{i}\mid 1\leq i\leq 4\}}$أربعة خطوط متميزة في المستوى تمر بنفس النقطة${\textstyle Q}$ثم أي سطر${\textstyle L}$عدم المرور${\textstyle Q}$يتقاطع مع هذه الخطوط في أربع نقاط متميزة${\textstyle P_{i}}$(لو${\textstyle L}$موازٍ لـ​${\textstyle L_{i}}$عندئذٍ تكون نقطة التقاطع المقابلة "عند اللانهاية". ويتضح أن النسبة التبادلية لهذه النقاط (المأخوذة بترتيب ثابت) لا تعتمد على اختيار الخط.${\textstyle L}$وبالتالي فهو ثابت من ثوابت الرباعية من الخطوط${\textstyle L_{i}.}$

يمكن فهم ذلك على النحو التالي: إذا${\textstyle L}$و${\textstyle L'}$هناك خطان لا يمران من خلال${\textstyle Q}$ثم تحويل المنظور من${\textstyle L}$ل${\textstyle L'}$مع المركز${\textstyle Q}$هو تحويل إسقاطي يأخذ الرباعية${\textstyle \{P_{i}\}}$نقاط على${\textstyle L}$إلى الرباعي${\textstyle \{P_{i}'\}}$نقاط على${\textstyle L'}$.

لذلك، فإن ثبات النسبة التبادلية تحت التحويلات الإسقاطية للخط يستلزم (بل هو مكافئ) استقلال النسبة التبادلية للنقاط الأربع الواقعة على خط مستقيم واحد${\textstyle \{P_{i}\}}$على الخطوط${\textstyle \{L_{i}\}}$من خلال اختيار السطر الذي يحتوي عليها.

إذا تم تمثيل أربع نقاط تقع على خط مستقيم واحد في إحداثيات متجانسة بواسطة متجهات${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$بحيث${\displaystyle \gamma =a\alpha +b\beta }$و${\displaystyle \delta =c\alpha +d\beta }$إذن فإن نسبة التبادل بينهما هي${\displaystyle (b/a)/(d/c)}$[ ^{7 ]​}

وجد آرثر كايلي وفيليكس كلاين تطبيقًا للنسبة التبادلية على الهندسة غير الإقليدية . بالنظر إلى قطع مخروطي غير منفرد${\displaystyle C}$في المستوى الإسقاطي الحقيقي ، مثبته${\displaystyle G_{C}}$في المجموعة الإسقاطية${\displaystyle G=\operatorname {PGL} (3,\mathbb {R} )}$يؤثر بشكل متعدٍ على النقاط الموجودة في داخل${\displaystyle C}$ومع ذلك، هناك ثابت لفعل${\displaystyle G_{C}}$على أزواج من النقاط. في الواقع، يمكن التعبير عن كل ثابت من هذا القبيل كدالة للنسبة التبادلية المناسبة. ^{[ 8 ]}

يمكن تعريف النسبة التبادلية بأي من هذه التعبيرات الأربعة:

${\displaystyle (A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A).}$

تختلف هذه المتغيرات بالتباديل التالية للمتغيرات (باستخدام رمز الدورة ):

${\displaystyle 1,\ (\,A\,B\,)(\,C\,D\,),\ (\,A\,C\,)(\,B\,D\,),\ (\,A\,D\,)(\,B\,C\,).}$

يمكننا اعتبار تباديل المتغيرات الأربعة بمثابة تأثير للمجموعة المتناظرة S⁴ على دوال هذه المتغيرات. وبما أن هذه التباديل الأربعة لا تُغير نسبة التبادل، فإنها تُشكل المُثبِّت K لهذه النسبة تحت هذا التأثير، مما يُؤدي إلى تأثير فعّال لمجموعة القسمة _.${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K}$على مدار النسبة التبادلية. توفر التبديلات الأربعة في K تحقيقًا لمجموعة كلاين الرباعية في S ₄ ، والناتج${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K}$متماثل مع المجموعة المتناظرة S ₃ .

وبالتالي، فإن التبديلات الأخرى للمتغيرات الأربعة تُغير النسبة التبادلية لتعطي القيم الست التالية، والتي تمثل مدار المجموعة السداسية العناصر.${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K\cong \mathrm {S} _{3}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(A,B;C,D)&=\lambda &(A,B;D,C)&={\frac {1}{\lambda }},\\[4mu](A,C;D,B)&={\frac {1}{1-\lambda }}&(A,C;B,D)&=1-\lambda ,\\[4mu](A,D;C,B)&={\frac {\lambda }{\lambda -1}}&(A,D;B,C)&={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.\end{aligned}}}$

كوظائف لـ${\displaystyle \lambda ,}$هذه أمثلة على تحويلات موبيوس ، التي تُشكّل، عند تركيب الدوال، زمرة موبيوس PGL(2, C ) . تُشكّل التحويلات الستة زمرة فرعية تُعرف باسم الزمرة غير التوافقية ، وهي متماثلة أيضًا مع S3 . وهي عناصر الالتواء ( التحويلات الإهليلجية ) في PGL ( ₂ , C ) .${\textstyle {\tfrac {1}{\lambda }}}$،${\displaystyle 1-\lambda \,}$، و${\textstyle {\tfrac {\lambda }{\lambda -1}}}$هي من الرتبة 2 مع نقاط ثابتة خاصة بها${\displaystyle -1,}$${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$و${\displaystyle 2,}$(أي مدار النسبة التوافقية المتقاطعة). في هذه الأثناء، العناصر ${\textstyle {\tfrac {1}{1-\lambda }}}$و${\textstyle {\tfrac {\lambda -1}{\lambda }}}$هي من الرتبة 3 في PGL(2, C ) ، وكل منها يحدد كلا القيمتين${\textstyle e^{\pm i\pi /3}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$نسبة التقاطع "الأكثر تناظرًا" (حلول لـ${\displaystyle x^{2}-x+1}$، الجذور السادسة الأولية للوحدة ). تتبادل عناصر الرتبة 2 هذين العنصرين (كما تفعل مع أي زوج آخر غير نقاطها الثابتة)، وبالتالي فإن تأثير المجموعة غير التوافقية على${\displaystyle e^{\pm i\pi /3}}$يعطي خريطة القسمة للمجموعات المتناظرة${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\to \mathrm {S} _{2}}$.

علاوة على ذلك، فإن النقاط الثابتة للدورات الثنائية الفردية هي، على التوالي،${\displaystyle -1,}$${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$و${\displaystyle 2,}$ويتم الحفاظ على هذه المجموعة وتبديلها بواسطة الدورات الثلاثية . هندسيًا، يمكن تصور ذلك على أنه مجموعة دوران ثنائي السطوح المثلثي ، المتماثل مع مجموعة ثنائي السطوح للمثلث D3 _، كما هو موضح على اليمين. جبريًا، يتوافق هذا مع تأثير S3 على الدورات الثنائية ( مجموعاتها الفرعية الثنائية من نوع سيلو ) عن طريق الاقتران _، ويحقق التماثل مع مجموعة التشاكلات الداخلية .${\textstyle \mathrm {S} _{3}\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \operatorname {Inn} (\mathrm {S} _{3})\cong \mathrm {S} _{3}.}$

تتولد المجموعة غير التوافقية بواسطة${\textstyle \lambda \mapsto {\tfrac {1}{\lambda }}}$و${\textstyle \lambda \mapsto 1-\lambda .}$إجراءاتها بشأن${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$يُعطي تماثلاً مع S _3. ويمكن تحقيقه أيضاً باستخدام تحويلات موبيوس الستة المذكورة ^{[ 9 ]} ، والتي تُنتج تمثيلاً إسقاطياً لـ S ₃ على أي حقل (لأنه مُعرَّف بمدخلات صحيحة)، وهو دائماً أمين/مُتعدد (لأنه لا يوجد حدان يختلفان فقط بمقدار 1/−1 ). على الحقل ذي العنصرين، يحتوي الخط الإسقاطي على ثلاث نقاط فقط، لذا فإن هذا التمثيل هو تماثل، وهو التماثل الاستثنائي.${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\approx \mathrm {PGL} (2,\mathbb {Z} _{2})}$في الخاصية 3 ، يؤدي هذا إلى استقرار النقطة${\displaystyle -1=[-1:1]}$وهذا يتوافق مع كون مدار النسبة التوافقية نقطة واحدة فقط، لأن${\textstyle 2={\tfrac {1}{2}}=-1}$في الحقل ذي العناصر الثلاثة، يحتوي الخط الإسقاطي على 4 نقاط فقط و${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\approx \mathrm {PGL} (2,\mathbb {Z} _{3})}$وبالتالي فإن التمثيل هو بالضبط مُثبِّت النسبة التوافقية المتقاطعة، مما ينتج عنه تضمين${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}$يساوي مُثبِّت النقطة${\displaystyle -1}$.

تظل النسبة التبادلية ثابتة تحت التحويلات الإسقاطية للخط. في حالة الخط الإسقاطي المركب ، أو كرة ريمان ، تُعرف هذه التحويلات بتحويلات موبيوس . يأخذ تحويل موبيوس العام الشكل التالي:

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\;,\quad {\mbox{where }}a,b,c,d\in \mathbb {C} {\mbox{ and }}ad-bc\neq 0.}$

تشكل هذه التحويلات مجموعة تعمل على كرة ريمان ، وهي مجموعة موبيوس .

يعني الثبات الإسقاطي للنسبة التبادلية أن

${\displaystyle (f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}).\ }$

تكون النسبة التبادلية حقيقية إذا وفقط إذا كانت النقاط الأربع إما على خط مستقيم أو على دائرة واحدة ، مما يعكس حقيقة أن كل تحويل موبيوس يحول الدوائر المعممة إلى دوائر معممة.

إن تأثير مجموعة موبيوس هو ببساطة تأثير متعدٍ على مجموعة الثلاثيات المكونة من نقاط متميزة على كرة ريمان: بالنظر إلى أي ثلاثية مرتبة من نقاط متميزة،${\displaystyle (z_{2},z_{3},z_{4})}$، هناك تحول موبيوس فريد${\displaystyle f(z)}$وهذا يربطها بالثلاثية${\displaystyle (0,1,\infty )}$يمكن وصف هذا التحويل بسهولة باستخدام النسبة التبادلية: بما أن${\displaystyle (z,z_{2};z_{3},z_{4})}$يجب أن يساوي${\displaystyle (f(z),1;0,\infty )}$وهذا بدوره يساوي${\displaystyle f(z)}$، نحصل

${\displaystyle f(z)=(z,z_{2};z_{3},z_{4}).}$

يستند تفسير بديل لثبات النسبة التبادلية إلى حقيقة أن مجموعة التحويلات الإسقاطية لخط ما تتولد من خلال عمليات الإزاحة، والتماثل، والانعكاس الضربي.${\displaystyle z_{j}-z_{k}}$ثابتة تحت التحويلات

${\displaystyle z\mapsto z+a}$

أين${\displaystyle a}$ثابت في المجال الأرضي${\displaystyle \mathbb {F} }$علاوة على ذلك، فإن نسب القسمة ثابتة تحت التماثل .

${\displaystyle z\mapsto bz}$

لثابت غير صفري${\displaystyle b}$في${\displaystyle \mathbb {F} }$لذلك، فإن النسبة التبادلية ثابتة تحت التحويلات الأفينية .

من أجل الحصول على خريطة انعكاس محددة جيدًا

${\displaystyle T:z\mapsto z^{-1},}$

يجب إضافة النقطة عند اللانهاية إلى الخط الأفيني ، ويرمز لها بـ${\displaystyle \infty }$، لتشكيل الخط الإسقاطي${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$كل تحويل خطي${\displaystyle f:\mathbb {F} \to \mathbb {F} }$يمكن توسيعها بشكل فريد لتشمل رسم خرائط لـ${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$إلى نفسها التي تثبت النقطة عند اللانهاية. الخريطة${\displaystyle T}$المقايضات${\displaystyle 0}$و${\displaystyle \infty }$يتم توليد المجموعة الإسقاطية بواسطة${\displaystyle T}$والتحويلات الأفينية الممتدة إلى${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$في هذه الحالة${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$، المستوى المركب ، ينتج عن ذلك مجموعة موبيوس . بما أن النسبة التبادلية ثابتة أيضًا تحت${\displaystyle T}$، وهو ثابت تحت أي إسقاط لـ${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$إلى ذاتها.

يعتمد مفهوم النسبة التبادلية فقط على عمليات الحلقة : الجمع والضرب والمعكوس (مع أن معكوس عنصر معين ليس مؤكدًا في الحلقة). يُفسَّر أحد مناهج النسبة التبادلية على أنها تحويل متجانس يأخذ ثلاث نقاط محددة إلى 0 و1 و∞ . في ظل قيود تتعلق بالمعكوسات، يُمكن توليد مثل هذا التحويل باستخدام عمليات الحلقة على الخط الإسقاطي فوق الحلقة . النسبة التبادلية لأربع نقاط هي تقييم هذا التحويل المتجانس عند النقطة الرابعة.

تتخذ النظرية منحى حساب التفاضل والتكامل عندما تتقارب النقاط الأربع. وهذا يقود إلى نظرية مشتقة شوارز ، وبشكل أعم إلى نظرية الاتصالات الإسقاطية .

لا يمكن تعميم النسبة المتقاطعة بطريقة بسيطة إلى أبعاد أعلى، وذلك بسبب الخصائص الهندسية الأخرى لتكوينات النقاط، ولا سيما الاستقامة - تكون مساحات التكوين أكثر تعقيدًا، ولا تكون مجموعات النقاط k المتميزة في وضع عام .

بينما تكون المجموعة الخطية الإسقاطية للخط الإسقاطي متعدية من الدرجة 3 (يمكن تحويل أي ثلاث نقاط مختلفة إلى أي ثلاث نقاط أخرى)، بل هي ببساطة متعدية من الدرجة 3 (يوجد تحويل إسقاطي فريد ينقل أي ثلاثية إلى ثلاثية أخرى)، وبالتالي فإن النسبة التبادلية هي الثابت الإسقاطي الفريد لمجموعة من أربع نقاط، إلا أن هناك ثوابت هندسية أساسية في الأبعاد الأعلى. المجموعة الخطية الإسقاطية للفضاء ذي البعد n${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}=\mathbf {P} (K^{n+1})}$له ( ن + ١) ^٢ − ١ أبعاد (لأنه${\displaystyle \mathrm {PGL} (n,K)=\mathbf {P} (\mathrm {GL} (n+1,K)),}$(إزالة بُعد واحد من الإسقاط)، ولكن في الأبعاد الأخرى تكون المجموعة الخطية الإسقاطية متعدية من الدرجة 2 فقط - لأنه يجب تعيين ثلاث نقاط متوازية إلى ثلاث نقاط متوازية (وهو ليس قيدًا في الخط الإسقاطي) - وبالتالي لا توجد "نسبة متقاطعة معممة" توفر الثابت الفريد لـ n ² نقطة.

لا يُعدّ التوازي على خط مستقيم الخاصية الهندسية الوحيدة التي يجب الحفاظ عليها في تكوينات النقاط؛ فعلى سبيل المثال، تُحدّد خمس نقاط قطعًا مخروطيًا ، بينما لا تقع ست نقاط عامة على هذا القطع، لذا فإنّ وقوع أي مجموعة سداسية من النقاط على قطع مخروطي يُعدّ أيضًا ثابتًا إسقاطيًا. يمكن دراسة مدارات النقاط في وضع عام - في الخط، يُعادل "الوضع العام" التميّز، بينما في الأبعاد الأعلى يتطلّب الأمر اعتبارات هندسية، كما ذُكر سابقًا - ولكن، كما يُشير ما سبق، فإنّ هذا الأمر أكثر تعقيدًا وأقلّ فائدة.

ومع ذلك، يوجد تعميم لأسطح ريمان ذات الجنس الموجب ، باستخدام خريطة أبيل-جاكوبي ووظائف ثيتا .

• نظام هيلبرت المتري

• لارس أهلفورس (1953، 1966، 1979)، التحليل المركب ، الطبعة الأولى، صفحة 25؛ الطبعتان الثانية والثالثة، صفحة 78، ماكجرو هيل، رقم ISBN 0-07-000657-1.
• فيكتور بلاسيو (2009)، “التنمية المنهجية لجاكوب شتاينر: ذروة الهندسة الكلاسيكية”، الذكاء الرياضي ، 31 (1): 21–29 ، دوى : 10.1007 / s00283-008-9012-z.
• جون ج. ميلن (1911)، رسالة تمهيدية في هندسة النسب المتقاطعة مع ملاحظات تاريخية ، مطبعة جامعة كامبريدج .
• بيتر ج. أولفر (2001)، "التوقيعات الثابتة المشتركة" ، أسس الرياضيات الحسابية ، 1 (1): 3-68 ، doi : 10.1007/s10208001001.
• ديرك ستريك (1953)، محاضرات في الهندسة التحليلية والإسقاطية ، الصفحة 7، أديسون-ويسلي .
• آي آر شافاريفيتش وإيه أو ريميزوف (2012)، الجبر الخطي والهندسة ، سبرينغر، رقم ISBN 978-3-642-30993-9.

• MathPages – يشرح كيفن براون النسبة التبادلية في مقالته حول الشكل السداسي الغامض لباسكال
• النسبة المتقاطعة عند قطع العقدة
• وايسشتاين، إريك دبليو ، "النسبة التبادلية" ، عالم الرياضيات.
• أرديلا، فيديريكو (6 يوليو 2018)، "النسبة المتقاطعة" (فيديو) ، يوتيوب ، برادي هاران ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 يوليو 2018.