نظرية بريسمان

في الهندسة الريمانية ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، تُعدّ نظرية بريسمان عبارة عن بيان يقيد الطوبولوجيا الممكنة لمتشعب ريماني مضغوط ذي انحناء سالب . وقد سُميت نسبةً إلى ألكسندر بريسمان، الذي نشر برهانًا لها في عام 1943. ^{[ 1 ]}

لنفترض فضاءً مغلقًا ذا مقياس ريماني ذي انحناء قطاعي سالب. تنص نظرية بريسمان على أن كل زمرة جزئية أبيلية غير تافهة من الزمرة الأساسية يجب أن تكون متماثلة مع الزمرة الجمعية للأعداد الصحيحة ، ℤ . ^{[ 2 ]} يمكن تفسير ذلك بشكل عام على أنه يعني أن الزمرة الأساسية لهذا الفضاء يجب أن تكون غير أبيلية بدرجة كبيرة. علاوة على ذلك، لا يمكن أن تكون الزمرة الأساسية نفسها أبيلية. ^{[ 3 ]}

على سبيل المثال، تنص نظرية بريسمان على أن الطارة ذات البعد n لا تقبل أي مقياس ريماني ذي انحناء قطاعي سالب تمامًا. وبشكل أعم، فإن حاصل ضرب مشعبين مغلقين ذوي أبعاد موجبة لا يقبل مقياس ريماني ذي انحناء قطاعي سالب تمامًا.

يتناول البرهان القياسي لنظرية بريسمان القيود التي يفرضها الانحناء السالب على أطوال وزوايا الخطوط الجيوديسية. ومع ذلك، يمكن أيضًا إثباتها باستخدام تقنيات المعادلات التفاضلية الجزئية ، كنتيجة مباشرة لنظرية جيمس إيلز وجوزيف سامبسون الأساسية حول الخرائط التوافقية . ^{[ 4 ]}

تُعدّ نظرية بريسمان حالةً خاصةً من تصنيف غروموف للمجموعات الجزئية في المجموعات الزائدية. ^{[ 5 ]} في الواقع، المجموعة الأساسية لمتشعب مضغوط ذي انحناء قطاعي سالب خالية من الالتواء، ^{[ 6 ]} وتأثيرها على الغطاء الشامل للمتشعب يستلزم أنها مجموعة غروموف زائدية (الغطاء الشامل نفسه هو CAT( -ε ) لبعض ε > 0 ، وبالتالي فهو فضاء غروموف زائدي). ومن ثمّ فإن مجموعاتها الجزئية الأبيلية اللانهائية متماثلة عمليًا مع ℤ ، وبما أنها خالية من الالتواء فهي متماثلة مع ℤ .

يمكن اعتبار نظرية بريسمان حالة خاصة من نظرية الطارة المسطحة الأكثر قوة، والتي توصل إليها ديتليف غرومول وجوزيف أ. وولف ، وبشكل مستقل من قبل بلين لوسون وشينغ -تونغ ياو . وتثبت هذه النظرية أنه في ظل عدم إيجابية انحناء المقطع، تُمثَّل الزمر الفرعية الأبيلية للمجموعة الأساسية بمتشعبات فرعية ذات خصائص هندسية خاصة: وهي غمر متساوي القياس جيوديسي تمامًا لطارة مسطحة. ^{[ 7 ]}

توجد نظرية متطورة لفضاءات ألكسندروف، تُوسّع نظرية الحدود العليا لانحناء القطاعات لتشمل سياق الفضاءات المترية . ويمكن وضع نظرية الطارة المسطحة، إلى جانب الحالة الخاصة لنظرية بريسمان، في هذا السياق الأوسع. ^{[ 8 ]}

كتب.