الهندسة الريمانية

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 2 صور
الموسوعة الحرة

الهندسة الريمانية هي فرع من الهندسة التفاضلية يُعنى بدراسة المشعبات الريمانية . ومن أمثلة المشعبات الريمانية الأسطح ، حيث تُقاس المسافات بطول المنحنيات على السطح. تُعنى الهندسة الريمانية بدراسة الأسطح ونظائرها ذات الأبعاد الأعلى ( المشعبات )، حيث تُحسب المسافات على طول المنحنيات التي تنتمي إلى المشعب. وبشكل رسمي، تُعنى الهندسة الريمانية بدراسة المشعبات الملساء ذات المقياس الريماني (وهو حاصل ضرب داخلي على الفضاء المماسي عند كل نقطة يتغير بسلاسة من نقطة إلى أخرى). وهذا يُعطي، على وجه الخصوص، مفاهيم محلية للزاوية ، وطول المنحنيات ، ومساحة السطح ، والحجم . ومن هذه المفاهيم، يُمكن اشتقاق بعض الكميات الكلية الأخرى عن طريق تكامل المساهمات المحلية.

نشأت الهندسة الريمانية من رؤية برنارد ريمان التي عبّر عنها في محاضرته الافتتاحية " Über die Hupothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen " ("حول الفرضيات التي تقوم عليها الهندسة"). [ 1 ] وهي تعميم واسع ومجرد للغاية للهندسة التفاضلية للأسطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد R³ . وقد أدى تطور الهندسة الريمانية إلى توليف نتائج متنوعة تتعلق بهندسة الأسطح وسلوك الخطوط الجيوديسية عليها، مع تقنيات يمكن تطبيقها على دراسة المشعبات التفاضلية ذات الأبعاد الأعلى. وقد مكّنت من صياغة نظرية النسبية العامة لأينشتاين ، وكان لها تأثير عميق على نظرية الزمر ونظرية التمثيل ، فضلاً عن التحليل ، وحفّزت تطوير الطوبولوجيا الجبرية والتفاضلية .

مقدمة

برنارد ريمان

طُرحت الهندسة الريمانية لأول مرة بشكل عام على يد برنارد ريمان في القرن التاسع عشر. وهي تتناول نطاقًا واسعًا من الهندسات التي تختلف خصائصها المترية من نقطة إلى أخرى، بما في ذلك الأنواع القياسية للهندسة غير الإقليدية . الفكرة الأساسية هي أن الفضاء، كسطح في الفضاء الإقليدي، يحمل ما يُعرف بالمقياس الريماني ، والذي ينشأ بتقييد الضرب القياسي المحيط بالمتجهات المماسية للسطح . أدرك ريمان أن العنصر الأساسي هنا هو هذا الشكل التربيعي على المتجهات المماسية، وأنه يمكن تعميمه. الأمر المهم، أي الطريقة الجوهرية لقياس المسارات على السطح، لم يكن كيفية استقرار السطح في الفضاء، بل كيفية تغير هذا الشكل التربيعي من نقطة إلى أخرى. لنأخذ مثالًا بسيطًا للأسطوانة : يمكن لفّ قطعة ورق مسطحة على شكل أسطوانة، لكن "المسافة الجوهرية"، أي المسافة التي يجب أن تزحفها الحشرة للوصول من نقطة إلى أخرى، لا تتغير بانحناء الورقة المسطحة إلى ثلاثة أبعاد. ومن الأمثلة الأكثر تعقيدًا، والتي عرفها ريمان، أن الشكل الحلزوني يمكن (بعد قصه على طول مولد) أن يتحول إلى شكل سلسلي دون تغيير هندسته الجوهرية (ما تراه النملة).

رسوم متحركة متواصلة تُظهر شكلاً حلزونياً يمينياً يتحول إلى شكل سلسلي، ثم إلى شكل حلزوني يساري، ثم يعود إلى شكله الأصلي.
تحويل حلزون يميني إلى حلزون يساري ثم العودة مرة أخرى عبر شكل سلسلة، مع الحفاظ على هذا المقياس الجوهري (طول أضلاع الشبكة).

كانت فكرة ريمان أن الشكل التربيعي هو الأهم، وليس الطريقة التي يمكن بها تمثيل السطح في الفضاء (كالأسطوانة مقابل قطعة الورق، على سبيل المثال). ولذلك، يدرس علم الهندسة الريماني الهندسة الجوهرية للمتشعب، المزودة بشكل تربيعي على متجهات المماس عند كل نقطة. ومن الأفكار المهمة أن المتشعبات، على عكس الأسطح، لا يلزم وصفها بأنها مغمورة في أي فضاء إقليدي محدد: بل يمكن وصفها في رقع إحداثيات محلية. في كل رقعة إحداثيات، يكون للمقياس تعبير واحد، وعند الانتقال إلى رقعة أخرى، يتغير المقياس وفقًا لقواعد محددة جيدًا ( قاعدة السلسلة أساسًا ).

تنص إحدى النظريات الحديثة على أن كل مشعب أملس يقبل مقياسًا ريمانيًا (في الواقع، العديد من المقاييس الريمانية). وتُعد خصائص هذه المقاييس مفيدة لتقييد طوبولوجيا المشعب الأصلي.

في الهندسة الريمانية، كما في الهندسة الإقليدية، تكون الصيغة التربيعية موجبة تمامًا . يؤدي تخفيف هذا الشرط، والسماح بأن تكون بعض المتجهات غير الصفرية معدومة تحت الصيغة التربيعية، إلى بنية مشعبات ريمان الزائفة ، والتي تُعدّ (في أربعة أبعاد) الموضوعات الرئيسية لنظرية النسبية العامة . من جهة أخرى، يؤدي استبدال الصيغة التربيعية بدالة غير تربيعية أكثر عمومية إلى هندسة فينسلر .

توجد علاقة وثيقة بين الهندسة التفاضلية والبنية الرياضية للعيوب في البلورات المنتظمة. تُنتج الانخلاعات والتشوهات التواءات وانحناءات . [ 2 ] [ 3 ]

توفر المقالات التالية بعض المواد التمهيدية المفيدة:

النظريات الكلاسيكية

فيما يلي قائمة غير مكتملة لأهم النظريات الكلاسيكية في الهندسة الريمانية. وقد تم اختيارها بناءً على أهميتها ودقة صياغتها. ويمكن الاطلاع على معظم النتائج في الدراسة الكلاسيكية لجيف شيغر ودي. إيبين (انظر أدناه).

إنّ الصيغ المذكورة ليست دقيقة تماماً ولا شاملة. هذه القائمة موجهة لمن يعرفون التعريفات الأساسية ويرغبون في معرفة مضمونها.

النظريات العامة

  1. تنص نظرية غاوس-بونيه على أن تكامل انحناء غاوس على مشعب ريماني ثنائي الأبعاد مضغوط يساوي 2πχ ( M ) ، حيث χ ( M ) هي خاصية أويلر للمشعب M. ويمكن تعميم هذه النظرية لتشمل أي مشعب ريماني زوجي الأبعاد مضغوط، انظر نظرية غاوس-بونيه المعممة .
  2. نظريات تضمين ناش . تنص هذه النظريات على أنهيمكن تضمين كل مشعب ريماني بشكل متساوي القياس في فضاء إقليدي R n .

الهندسة على نطاق واسع

في جميع النظريات التالية نفترض بعض السلوك المحلي للفضاء (عادة ما تتم صياغته باستخدام افتراض الانحناء) لاستخلاص بعض المعلومات حول البنية العالمية للفضاء، بما في ذلك إما بعض المعلومات حول النوع الطوبولوجي للمتشعب أو حول سلوك النقاط على مسافات "كبيرة بما فيه الكفاية".

انحناء مقطعي مضغوط

  1. نظرية الكرة . إذا كانت M عبارة عن مشعب ريماني بسيط الاتصال مضغوط ذو أبعاد n مع انحناء مقطعي محصور بدقة بين 1/4 و 1 فإن M متماثل مع كرة.
  2. نظرية شيغر للنهائية. بالنظر إلى الثوابت C و D و V ، يوجد عدد محدود فقط (حتى التماثل التفاضلي) من مشعبات ريمان المدمجة ذات البعد n والتي يكون فيها انحناء المقطع | K | ≤ C ، والقطر ≤ D ، والحجم ≥ V.
  3. مشعبات غروموف شبه المسطحة . يوجد ε n > 0 بحيث إذا كان لمشعب ريماني ذي n بُعد مقياس ذو انحناء قطاعي | K | ≤ ε n وقطر ≤ 1 فإن غطائه المحدود يكون متماثلًا مع مشعب صفري .

انحناء مقطعي محدود أدناه

  1. نظرية الروح لشيغر-غرومول . إذا كانت M مشعبة ريمانية n- بعدية كاملة غير متراصة ذات انحناء غير سالب ، فإن M تحتوي على مشعبة فرعية S متراصة وجيوديسية تمامًا، بحيث تكون M متماثلة مع الحزمة العمودية لـ S ( وتُسمى S روح M ) . على وجه الخصوص، إذا كانت M ذات انحناء موجب تمامًا في كل مكان، فإنها تكون متماثلة مع R n . قدم ج. بيرلمان في عام 1994 برهانًا أنيقًا ومختصرًا بشكل مذهل لتخمين الروح: M متماثلة مع R n إذا كانت ذات انحناء موجب عند نقطة واحدة فقط.
  2. تنص نظرية أعداد بيتي لغروموف على أنه يوجد ثابت C = C ( n ) بحيث إذا كانت M عبارة عن مشعب ريماني مضغوط متصل ذو n بُعد مع انحناء قطاعي موجب ، فإن مجموع أعداد بيتي الخاصة به لا يتجاوز C.
  3. نظرية غروف-بيترسن للنهائية. بالنظر إلى الثوابت C و D و V ، يوجد عدد محدود فقط من أنواع التماثل للمشعبات الريمانية المدمجة ذات الأبعاد n مع انحناء مقطعي K ≥ C ، وقطر ≤ D وحجم ≥ V.

انحناء مقطعي محدود من الأعلى

  1. تنص نظرية كارتان-هادامارد على أن أي فضاء ريماني كامل متصل ببساطة M ذي انحناء قطاعي غير موجب يكون متماثلاً مع الفضاء الإقليدي Rⁿ حيث n = dim M عبر الدالة الأسية عند أي نقطة. ويترتب على ذلك أن أي نقطتين على أي فضاء ريماني كامل متصل ببساطة ذي انحناء قطاعي غير موجب متصلتان بخط جيوديسي وحيد.
  2. إن التدفق الجيوديسي لأي مشعب ريماني مضغوط ذي انحناء مقطعي سالب هو تدفق إرجودي .
  3. إذا كانت M فضاءً ريمانيًا كاملًا ذو انحناء قطاعي محدود من الأعلى بثابت سالب تمامًا k، فإنها فضاء CAT( k ) . وبالتالي، فإن مجموعتها الأساسية Γ = π 1 ( M ) هي مجموعة غروموف الزائدية . وهذا له آثار عديدة على بنية المجموعة الأساسية. 

انحناء ريتشي محدود من الأسفل

  1. نظرية مايرز . إذا كان لمتشعب ريماني كامل انحناء ريتشي موجب، فإن مجموعته الأساسية تكون منتهية.
  2. صيغة بوخنر . إذا كان لمتشعب ريماني مضغوط من الرتبة n انحناء ريتشي غير سالب، فإن عدد بيتي الأول له يكون على الأكثر n ، مع المساواة إذا وفقط إذا كان المتشعب الريماني عبارة عن طارة مسطحة.
  3. نظرية التقسيم . إذا كان لمتشعب ريماني كامل ذي n بُعد انحناء ريتشي غير سالب وخط مستقيم (أي خط جيوديسي يقلل المسافة على كل فترة) فإنه متساوي القياس مع حاصل ضرب مباشر للخط الحقيقي ومتشعب ريماني كامل ذي ( n -1) بُعد له انحناء ريتشي غير سالب.
  4. متباينة بيشوب-جروموف . حجم كرة مترية نصف قطرها r في مشعب ريماني كامل ذي n بُعد مع انحناء ريتشي موجب يكون حجمه على الأكثر حجم كرة لها نفس نصف القطر r في الفضاء الإقليدي.
  5. نظرية غروموف للتراص . مجموعة جميع المشعبات الريمانية ذات انحناء ريتشي الموجب وقطر لا يتجاوز D هي مشعبات شبه متراصة في مقياس غروموف-هاوسدورف .

انحناء ريتشي السلبي

  1. مجموعة التماثل لشعبة ريمانية مضغوطة ذات انحناء ريتشي سالب منفصلة .
  2. أي فضاء متعدد الشعب أملس ذو بُعد n ≥ 3 يقبل مقياسًا ريمانيًا بانحناء ريتشي سالب. [ 4 ] ( هذا لا ينطبق على الأسطح .)

انحناء قياسي موجب

  1. لا يقبل الطارة ذات الأبعاد n مقياسًا ذا انحناء قياسي موجب .
  2. إذا كان نصف قطر الحقن لمتشعب ريماني مضغوط ذي أبعاد n هو ≥ π فإن متوسط ​​الانحناء القياسي هو على الأكثر n ( n -1 ).

ملحوظات

  1. ↑ maths.tcd.ie
  2. ↑ كلاينرت، هاجن (1989)، حقول القياس في المادة المكثفة، المجلد الثاني ، وورلد ساينتيفيك، الصفحات 743-1440 ، مؤرشف من الأصل في 22-08-2022 ، تم استرجاعه في 17-07-2011 
  3. ↑ كلاينرت، هاجن (2008)، الحقول متعددة القيم في المادة المكثفة، والكهرومغناطيسية، والجاذبية (ملف PDF) ، وورلد ساينتيفيك، الصفحات 1-496 ، رمز Bibcode : 2008mfcm.book.....K ، مؤرشف من النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 20 يناير 2022 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 يوليو 2011 
  4. ↑ أظهر يواكيم لوكامب (حوليات الرياضيات، 1994) أن أي متعدد الشعب ذو البعد الأكبر من اثنين يقبل مقياسًا لانحناء ريتشي السلبي.

مراجع

الكتب
  • بيرغر، مارسيل (2000)، الهندسة الريمانية خلال النصف الثاني من القرن العشرين ، سلسلة محاضرات جامعية، المجلد  17، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 0-8218-2052-4( يقدم مراجعة تاريخية ومسحاً شاملاً، بما في ذلك مئات المراجع.)
  • شيغر، جيف ؛ إيبين، ديفيد ج. (2008)، نظريات المقارنة في الهندسة الريمانية ، بروفيدنس، رود آيلاند: دار نشر تشيلسي التابعة للجمعية الأمريكية للرياضيات.; طبعة منقحة من النسخة الأصلية لعام 1975.
  • جالوت، سيلفستر. هولين, دومينيك ; لافونتين ، جاك (2004)، الهندسة الريمانية ، Universitext (  الطبعة الثالثة)، برلين: Springer-Verlag.
  • جوست، يورغن (2002)، الهندسة الريمانية والتحليل الهندسي ، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 3-540-42627-2.
  • بيترسن، بيتر (2006)، الهندسة الريمانية ، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-98212-4
  • من ريمان إلى الهندسة التفاضلية والنسبية (تحرير: ليزين جي ، أثاناس بابادوبولوس، وسوميو يامادا). سبرينغر، 2017، 34، 647 صفحة. ISBN 978-3-319-60039-0
أوراق