إتش. بلين لوسون

في عام 1970، ابتكر لوسون تضمينات دنيا لكل سطح مضغوط في الكرة الإقليدية ثلاثية الأبعاد (باستثناء المستوى الإسقاطي الحقيقي، الذي لا يمكن تضمينه بهذه الطريقة). ^{[ 11 ]} وقد أدى ذلك، على سبيل المثال، إلى تضمين مخاريط ثلاثية الأبعاد في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد من كل نوع طوبولوجي ممكن. كما أدى ذلك إلى ظهور أسطح دورية مثيرة للاهتمام ذات انحناء متوسط ​​ثابت في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. واستمر عمله في هذا المجال لسنوات. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} ومن النتائج المميزة التي توصل إليها بالتعاون مع جيم سيمونز ^{[ 15 ]،} حيث بيّنا كيفية استخدام التيارات التكاملية الدنيا للهندسة الريمانية الأساسية، وأثبتا أن التيار الأدنى المستقر (الذي يكون تغير كتلته الثاني ≥ 0) في الفضاء الإسقاطي المركب ، هو دورة جبرية موجبة.

وجد لوسون توريقات ذات بُعد مشترك واحد للكرات ذات الأبعاد الأعلى، ^{[ 16 ]} والتي أجابت على سؤال طويل الأمد وأدت إلى الكثير من العمل اللاحق.

بالتعاون مع إس. تي. ياو ^{[ 17 ]} ، توصل لوسون إلى نظريات أساسية حول هذه المتشعبات، مثل نظرية الانقسام التي تنص على أنه إذا انقسمت المجموعة الأساسية كحاصل ضرب مجموعات، فإن المتشعب ينقسم أساسًا كحاصل ضرب متري مباشر للمتشعبات. وقد توصل ديتليف غرومول وجوزيف أ. وولف ^{[ 18 ] بشكل مستقل إلى هذه النتائج.}

بالتعاون مع ف. ريس هارفي ^{[ 19 ] [ 20 ]} ، وصف لوسون الفضاءات الفرعية الموجهة المدمجة في الفضاء الإقليدي المركب التي تحد الأصناف التحليلية المركبة. قد تحتوي هذه الفضاءات الفرعية على نقاط شاذة، وللنتيجة نظائر في الفضاء الإسقاطي المركب باستثناء فضاء فرعي خطي ذي بُعد مشترك أعلى. كان هذا تعميمًا هندسيًا واسعًا لنتيجة كلاسيكية لـ س. بوخنر . ^{[ 21 ]}

في ورقة بحثية نُشرت عام ١٩٨٢ في مجلة Acta Mathematica، وجد ف. ريس هارفي وبلاين لوسون ^{[ ٢٢ ]} فئات واسعة من الفضاءات الجزئية (حتى تلك التي تحتوي على نقاط شاذة) التي تُقلل حجمها دائمًا وفقًا للتجانس. وهذا يعني أنه إذا أخذنا قطعة مضغوطة M ذات حدود، فإن حجم M يكون أقل من أو يساوي حجم أي M' بحيث يكون M - M' حدًا لشيء ذي بُعد أعلى . وقد انبثقت هذه الورقة البحثية من عمل هربرت فيدرر ^{[ ٢٣ ]} . وطُبقت على الفضاءات الجزئية لبعض الفضاءات الإقليدية، وكذلك على فضاءات أكثر عمومية ذات هندسات خاصة. وقد ألهمت روبرت براينت لاكتشاف فضاءات G(2) وSpin(7) ^{[ ٢٤ ]} ، مجيبةً بذلك على سؤالٍ طال أمده. واتضح أن الهندسات المُعايرة التي اكتشفها هارفي-لوسون تلعب دورًا في نظرية M في فيزياء الجسيمات الحديثة. ونتيجةً لذلك، بُذلت جهودٌ بحثيةٌ هائلة في هذا المجال.

في سلسلة من ثلاث أوراق بحثية ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} ، استخدم ميخائيل غروموف ولوسون مؤثر ديراك وتقنيات أخرى لإثبات نتائج شاملة حول المشعبات ذات الانحناء القياسي الموجب  θ > 0. وقد قام ريك شوين وس . ت. ياو بأول عمل في هذا المجال ^{[ 28 ]} . ومن بين أمور أخرى، أظهر غروموف ولوسون أنه بالنسبة للمشعبات الدورانية، فإن وجود مقياس مع  θ > 0 يعتمد فقط على فئة التماثل الدوراني للمشعب. وافترضا أن الشرط الضروري والكافي لـ  θ > 0 هو نظير نظرية KO للمتغير Aˆ. وقد أثبت ستيفان ستولتز هذا الافتراض ^{[ 29 ] .}

في بحثه المنشور عام ١٩٨٩ في مجلة حوليات الرياضيات بعنوان "الدورات الجبرية ونظرية التماثل"، ^{[ ٣٠ ]} أثبت لوسون نظريةً تُبين أن نهاية الدورات الجبرية ذات البُعد المشترك q في الفضاء الإسقاطي المركب ذي البُعد n، Pn، هي حاصل ضرب منتهٍ للفضاءات التي تُصنف التماثل الصحيح في الدرجات ٢، ٤، ...، ٢q. لهذه النظرية الأساسية نظائر على أي صنف إسقاطي، وتُقدم زمر التماثل للفضاء الناتج نظرية تماثل جديدة في الهندسة الجبرية. وقد بيّن لوسون، بالتعاون مع ماري لويز ميشلسون ^{[ ٣١ ]،} أن تضمين الدورات الخطية في الفضاء الإسقاطي يُؤدي إلى خريطة من نظرية K إلى التماثل، وهي فئة تشيرن الكلية. كما تم، بالتعاون مع إريك فريدلاندر، إرساء تماثل شكلي للأصناف الجبرية، استنادًا إلى الخرائط الجبرية في فضاءات الدورات على Pn، وقد ثبت أن نظرية التماثل هذه ثنائية لنظرية التماثل المذكورة أعلاه. ^{[ 32 ] [ 33 ]}

أثبت لوسون وفريدلاندر أيضًا ليمّة متحركة لعائلات الدورات الجبرية. ^{[ 34 ]}

كان لهذه النظرية الدورية تطبيقات عديدة ومثيرة للاهتمام في نظرية التماثل، والتي تم تطويرها بالتعاون مع ميكلسون، وباولو ليما فيلهو، وتشارلز بوير، وبن مان. ^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}

ألف لوسون وميشيلسون كتابًا ^{[ 40 ]} نشرته مطبعة برينستون، عرضا فيه نظريات المؤشر العميق التي أثبتها أتياه وسينغر. تناول الكتاب أساسيات مشعبات الدوران، ونظرية K ونظرية KO، وجبر كليفورد وعلاقته بدورية بوت، وبناء مؤثرات أتياه-سينغر-ديراك، وبراهين مفصلة لنظريات مؤشر متنوعة، بالإضافة إلى العديد من التطبيقات. وقد استُخدم هذا الكتاب على نطاق واسع عالميًا لسنوات عديدة.

درس كلٌّ من إف. ريس هارفي ولوسون الاتصالات على حزم المتجهات غير الملساء، ولذا أصبحت الأشكال المميزة تياراتٍ شاذة. ^{[ 41 ]} وقد أدى ذلك إلى سلسلة طويلة من النتائج المهمة. ^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]}

في ^{[ 46 ] و[ 47 ]،} وضع لوسون وهارفي وزويك ثنائية بوانكاريه-بونترياجين للخصائص التفاضلية لشيغر وسيمونز . ^{[ 48 ] و[ 49 ]} كما قدموا نظرية دي رام-فيدرر للخصائص التفاضلية، أي أنهم قدموا صياغات متنوعة للنظرية باستخدام التيارات والأشكال. وقد عُممت هذه النظرية إلى ما يُسمى بمجمعات الشرارة ^{[ 50 ]} التي تُنتج الخصائص التفاضلية. وقد أدت هذه النظرية إلى إثبات تكافؤ العديد من مجمعات الشرارة المختلفة تمامًا. لم ينظر هذا النهج البديهي إلى بنية الضرب، ولذلك سمح بنقل الضرب العميق لجيف شيغر ^{[ 51 ] إلى سياقات مختلفة تمامًا.}

^وقد أشارت هذه النتائج ^{[ 52 ]} إلى وجود نظير إسقاطي معقد لنظرية جون ويرمر [ ^{53 ]} والتي تم إثباتها في عدد من الحالات.

اكتشف هارفي ولوسون أنه على الرغم من أن المتشعبات المعايرة لا تمتلك نظائر للدوال الهولومورفية، أو الدوال التوافقية المتعددة، الموجودة في حالة كاهلر، إلا أنها تمتلك دائمًا دوالًا توافقية فرعية متعددة ، وفي الواقع، لكل متشعب نظرية جهد (تؤدي إلى ظهور هذه الدوال) تُعتبر، بمعنى ما، ثنائية للبنية المعايرة. ^{[ 54 ] [ 55 ]} يمكن تعظيم الدوال التوافقية الفرعية المتعددة على نطاق معين، مع مراعاة قيود الحدود، لإعطاء حلول لنظائر معادلة مونج-أمبير.

أدرك هارفي ولوسون في نهاية المطاف أن هذه الحالة على المشعبات المعايرة لها تعميم واسع يؤدي إلى نظريات محتملة مرتبطة بمعادلات تفاضلية غير خطية عامة تمامًا. ^{[ 56 ] [ 57 ] [ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]} وقد أدى ذلك إلى إيجاد حلول لزوجة لمعادلات تفاضلية عامة على المشعبات، واكتشاف بعض المعادلات التفاضلية الهندسية الجديدة. على سبيل المثال، أدى ذلك إلى ظهور مؤثر لاغرانجي جديد من نوع مونج-أمبير على المشعبات التبسيطية باستخدام مقياس غروموف. ^{[ 61 ]} تمكن المؤلفون من حل مسألة ديريشليه غير المتجانسة للمعادلات غير المتجانسة، ^{[ 62 ] [ 63 ]} تمكنوا من حل معادلة مونج-أمبير المعقدة على مشعبات شبه معقدة، ^{[ 64 ]} طوروا نظرية للمماسات للحلول الفرعية، ^{[ 65 ] [ 66 ]} وأكثر من ذلك بكثير.