نظرية المثالي الرئيسي

في الرياضيات ، تنص نظرية المثالي الرئيسي في نظرية حقل الأصناف ، وهي فرع من نظرية الأعداد الجبرية ، على أن توسيع المثاليات يُعطي تطبيقًا على زمرة أصناف حقل عدد جبري إلى زمرة أصناف حقل أصناف هيلبرت الخاص به ، مما يُرسل جميع أصناف المثاليات إلى صنف مثالي رئيسي. وقد سُميت هذه الظاهرة أيضًا بالترسيم ، أو أحيانًا بالاستسلام .

لأي حقل أعداد جبري K وأي مثالي I في حلقة الأعداد الصحيحة لـ K ، إذا كان L هو حقل فئات هيلبرت لـ K ، فإن

${\displaystyle IO_{L}\ }$

هو مثالي رئيسي α O _L ، حيث O _L هي حلقة الأعداد الصحيحة لـ L وبعض العناصر α فيها.

تم وضع نظرية المثالي الرئيسي بواسطة ديفيد هيلبرت ( 1902 ) ، وكانت آخر جانب متبقٍ من برنامجه حول حقول الفئات الذي تم إكماله في عام 1929. 

قام إميل أرتين ( 1927 ، 1929 ) باختزال نظرية المثالي الرئيسي إلى سؤال حول الزمر الأبيلية المنتهية: فقد بيّن أنه سيترتب على ذلك إذا كان الانتقال من زمرة منتهية إلى زمرتها الفرعية المشتقة تافهاً. وقد أثبت فيليب فورتفانغلر هذه النتيجة (1929). 

• أرتين ، إميل (1927)، “Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes”، Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität هامبورغ ، 5 (1): 353–363 ، دوى : 10.1007 / BF02952531 ، S2CID 123050778 
• أرتين، إميل (1929)، “Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz”، Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität هامبورغ ، 7 (1): 46–51 ، دوى : 10.1007 / BF02941159 ، S2CID 121475651 
• فورتوانغلر، فيليب (1929). "Beweis des Hauptidealsatzes für Klassenkörper algebraischer Zahlkörper". Abhandlungen aus dem Mathatischen Seminar der Universität هامبورغ . 7 (1): 14-36 . دوى : 10.1007 / BF02941157 . جي اف ام 55.0699.02 . S2CID 123544263 .  
• غراس، جورج (2003). نظرية الحقول الطبقية: من النظرية إلى التطبيق . سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 3-540-44133-6. Zbl 1019.11032 . 
• هيلبرت ، ديفيد (1902) [1898]، “Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper”، اكتا ماثيماتيكا ، 26 (1): 99– 131، دوى : 10.1007 / BF02415486
• كوخ، هيلموت (1997). نظرية الأعداد الجبرية . موسوعة العلوم الرياضية، المجلد  62 (الطبعة الثانية من الطبعة الأولى  ). سبرينغر-فيرلاغ . ص  104. ISBN 3-540-63003-1. Zbl 0819.11044 . 
• سير، جان بيير (1979). الحقول المحلية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  67. ترجمة مارفن جاي غرينبيرغ . سبرينغر-فيرلاغ . الصفحات 120-122 . ISBN  0-387-90424-7. Zbl 0423.12016 .