النقل (نظرية الزمر)

في مجال نظرية الزمر الرياضية ، يُعرّف التحويل ، عند إعطاء زمرة G وزمرة جزئية H ذات دليل منتهٍ ، تشاكلاً زمرياً من G إلى عملية التبديل لـ H. ويمكن استخدامه بالاقتران مع نظريات سيلو للحصول على نتائج عددية معينة حول وجود الزمر البسيطة المنتهية.

تم تعريف عملية النقل بواسطة إيساي شور ( 1902 ) وأعيد اكتشافها بواسطة إميل أرتين ( 1929 ) . ^{[ 1 ]}  

يتم إنشاء الخريطة على النحو التالي: ^{[ 2 ]} ليكن [ G : H ] = n ، ولنختر ممثلين للمجموعة المشاركة ، على سبيل المثال

${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},\,}$

بالنسبة لـ H في G ، يمكن كتابة G كاتحاد منفصل

${\displaystyle G=\bigcup \ x_{i}H.}$

إذا كان y ينتمي إلى G ، فإن كل yx _i ينتمي إلى مجموعة مشاركة x _j H، وبالتالي

${\displaystyle yx_{i}=x_{j}h_{i}}$

لبعض الفهارس j وبعض العناصر hᵢ من H. تُعرَّف قيمة النقل لـ y بأنها صورة الناتج _.

${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{n}h_{i}}$

في H / H ′، حيث H ′ هي المجموعة الفرعية التبادلية لـ H. ترتيب العوامل غير مهم لأن H / H ′ هي مجموعة تبديلية.

من السهل إثبات أنه على الرغم من أن قيمة hᵢ الفردية _تعتمد على اختيار ممثلي المجموعة المشاركة، فإن قيمة التحويل لا تعتمد على ذلك. ومن السهل أيضًا إثبات أن التطبيق المعرف بهذه الطريقة هو تشاكل.

إذا كانت G دورية فإن النقل يأخذ أي عنصر y من G إلى y ^{[ ​​G : H ]} .

من الأمثلة البسيطة على ذلك ما ورد في مبرهنة غاوس حول البواقي التربيعية ، والتي تحسب في الواقع عملية النقل للمجموعة الضربية لفئات البواقي غير الصفرية بتردد عدد أولي p ، بالنسبة للمجموعة الفرعية {1، -1 }. ^{[ 1 ]} إحدى مزايا النظر إلى الأمر بهذه الطريقة هي سهولة إيجاد التعميم الصحيح، على سبيل المثال للبواقي التكعيبية في حالة كون p - 1 قابلاً للقسمة على ثلاثة.

يمكن وضع هذا التشاكل في سياق تماثل الزمر . بشكل عام، بالنظر إلى أي زمرة جزئية H من G وأي وحدة نمطية A من G ، توجد خريطة تقييد مشتركة لزمر التماثل.${\displaystyle \mathrm {Cor} :H_{n}(H,A)\to H_{n}(G,A)}$ناتج عن خريطة التضمين${\displaystyle i:H\to G}$لكن إذا كان لدينا أن H له دليل محدود في G ، فهناك أيضًا خرائط تقييد.${\displaystyle \mathrm {Res} :H_{n}(G,A)\to H_{n}(H,A)}$في حالة n = 1 و${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$باستخدام بنية G -module البسيطة ، لدينا الخريطة${\displaystyle \mathrm {Res} :H_{1}(G,\mathbb {Z} )\to H_{1}(H,\mathbb {Z} )}$مع ملاحظة أن${\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )}$يمكن تحديدها بواسطة${\displaystyle G/G'}$أين${\displaystyle G'}$هي مجموعة التبديل الفرعية، وهذا يعطي خريطة النقل عبر${\displaystyle G\xrightarrow {\pi } G/G'\xrightarrow {\mathrm {Res} } H/H'}$، مع${\displaystyle \pi }$يشير إلى الإسقاط الطبيعي. ^{[ 3 ]} كما يُلاحظ هذا النقل في الطوبولوجيا الجبرية ، عندما يتم تعريفه بين فضاءات تصنيف المجموعات.

إن نقل الاسم يترجم المصطلح الألماني Verlagerung ، الذي صاغه هيلموت هاسه .

إذا كانت G مولدة توليدًا منتهيًا، وكانت المجموعة الجزئية التبادلية G ′ من G ذات فهرس منتهٍ في G، و H=G ′، فإن دالة النقل المقابلة تكون تافهة. بعبارة أخرى، تُحوّل هذه الدالة G إلى 0 في عملية التبديل لـ G ′. وهذا مهم في إثبات نظرية المثالي الرئيسي في نظرية حقول الأصناف . ^{[ 1 ]} انظر ملاحظات إميل آرتن وجون تيت حول نظرية حقول الأصناف .

• نظرية المجموعة الفرعية البؤرية ، تطبيق مهم للنقل
• بحسب قانون التبادلية لآرتين، يصف نقل آرتين عملية تحويل الفئات المثالية إلى مبادئ في امتدادات حقول الأعداد الجبرية.

• أرتين، إميل (1929)، “Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz”، Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität هامبورغ ، 7 (1): 46–51 ، دوى : 10.1007 / BF02941159 ، S2CID 121475651 
• Schur، Issai (1902)، “Neuer Beweis eines Satzes über endliche Gruppen”، Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 1013–1019 ، JFM 33.0146.01 
• سكوت، دبليو آر (1987) [1964]. نظرية الزمر . دوفر. ص  60 وما بعدها. ISBN 0-486-65377-3. Zbl 0641.20001 . 
• سير، جان بيير (1979). الحقول المحلية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  67. ترجمة مارفن جاي غرينبيرغ . سبرينغر-فيرلاغ . الصفحات 120-122 . ISBN  0-387-90424-7. Zbl 0423.12016 .