ملكية باير

مجموعة فرعية${\displaystyle A}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$تتمتع المجموعة بخاصية باير ( خاصية باير ، نسبةً إلى رينيه لويس باير )، أو تُسمى مجموعة شبه مفتوحة ، إذا كانت تختلف عن المجموعة المفتوحة بمجموعة ضئيلة ؛ أي إذا كانت هناك مجموعة مفتوحة${\displaystyle U\subseteq X}$بحيث${\displaystyle A\bigtriangleup U}$ضئيل (حيث${\displaystyle \bigtriangleup }$يشير إلى الفرق المتناظر ). ^{[ 1 ]}

مجموعة فرعية${\displaystyle A\subseteq X}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يُطلق عليها اسم شبه مفتوحة، ويُقال إنها تمتلك خاصية باير أو خاصية باير إذا كانت هناك مجموعة مفتوحة${\displaystyle U\subseteq X}$بحيث${\displaystyle A\bigtriangleup U}$هي مجموعة جزئية ضئيلة ، حيث${\displaystyle \bigtriangleup }$يشير إلى الفرق المتناظر . ^{[ 1 ]} علاوة على ذلك،${\displaystyle A}$تتمتع بخاصية باير بالمعنى المقيد إذا كان لكل مجموعة جزئية${\displaystyle E}$ل${\displaystyle X}$التقاطع${\displaystyle A\cap E}$يمتلك خاصية باير بالنسبة إلى${\displaystyle E}$[ ^{2 ]​}

تُشكّل عائلة المجموعات التي تتمتع بخاصية باير جبرًا سيجما . أي أن مُتمِّمة أي مجموعة شبه مفتوحة هي مجموعة شبه مفتوحة، وأي اتحاد أو تقاطع قابل للعد بين مجموعات شبه مفتوحة هو أيضًا مجموعة شبه مفتوحة. ^{[ 1 ]} وبما أن كل مجموعة مفتوحة هي مجموعة شبه مفتوحة (المجموعة الفارغة هي مجموعة ضئيلة)، فإنه يترتب على ذلك أن كل مجموعة بوريل هي مجموعة شبه مفتوحة.

إذا كانت مجموعة جزئية من فضاء بولندي تمتلك خاصية باير، فإن لعبة باناش-مازور المقابلة لها تكون محددة . لكن العكس غير صحيح؛ إذا كانت كل لعبة في فئة نقاط كافية معينة${\displaystyle \Gamma }$يتم تحديد ذلك، ثم كل مجموعة في${\displaystyle \Gamma }$تتمتع بخاصية باير. لذلك، يترتب من الحتمية الإسقاطية ، التي بدورها تترتب من الأعداد الأصلية الكبيرة الكافية ، أن كل مجموعة إسقاطية (في فضاء بولندي) تتمتع بخاصية باير. ^{[ 3 ]}

يستنتج من بديهية الاختيار وجود مجموعات من الأعداد الحقيقية لا تمتلك خاصية باير. وعلى وجه الخصوص، لا تمتلك مجموعة فيتالي خاصية باير. ^{[ 4 ]} تكفي صيغ أضعف من بديهية الاختيار: تنص نظرية المثالي الأولي البولياني على وجود مرشح فائق غير رئيسي على مجموعة الأعداد الطبيعية ؛ كل مرشح فائق من هذا النوع يُنتج، عبر التمثيلات الثنائية للأعداد الحقيقية، مجموعة من الأعداد الحقيقية لا تمتلك خاصية باير. ^{[ 5 ]}

• خريطة شبه مفتوحة - خريطة تستوفي شرطًا مشابهًا لشرط كونها خريطة مفتوحة 
• نظرية باير للفئات – حول الفضاءات الطوبولوجية حيث يكون تقاطع عدد لا نهائي من المجموعات المفتوحة الكثيفة كثيفًا 
• المجموعة المفتوحة – مجموعة فرعية أساسية من فضاء طوبولوجي 

• موسوعة سبرينغر للرياضيات مقالة عن خاصية باير