نظرية فئة باير

تُعدّ نظرية باير للفئات ( BCT ) نتيجةً مهمةً في الطوبولوجيا العامة والتحليل الوظيفي . تتخذ النظرية شكلين، يُقدّم كلٌّ منهما شروطًا كافيةً لكي يكون الفضاء الطوبولوجي فضاء باير ( أي فضاءً طوبولوجيًا يكون فيه تقاطع عددٍ قابلٍ للعد من المجموعات المفتوحة الكثيفة كثيفًا ). تُستخدم هذه النظرية في إثبات نتائج في العديد من مجالات التحليل والهندسة ، بما في ذلك بعض النظريات الأساسية في التحليل الوظيفي .

تم إثبات نسخ من نظرية فئة باير لأول مرة بشكل مستقل في عام 1897 بواسطة أوسجود للخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$وفي عام 1899 بواسطة باير ^{[ 1 ]} للفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$[ ^{2 ]} تم عرض البيان الأكثر عمومية للفضاءات القابلة للقياس بشكل كامل ^لأول مرة بواسطة هاوسدورف ^{[ 3 ]} في عام 1914.

فضاء باير هو فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$حيث يكون كل تقاطع قابل للعد لمجموعات مفتوحة كثيفة كثيفًا في${\displaystyle X.}$ راجع المقالة ذات الصلة للاطلاع على قائمة بالخصائص المكافئة، حيث أن بعضها أكثر فائدة من غيرها حسب التطبيق.

• ( BCT1 ) كل فضاء طوبولوجي قابل للقياس تمامًا هو فضاء باير. ^{[ 4 ]} وبشكل أعم، كل فضاء شبه متري كامل هو فضاء باير. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}
• ( BCT2 ) كل فضاء هاوسدورف متراص محليًا هو فضاء باير. ^{[ 8 ] [ 4 ]} وبشكل أعم، كل فضاء منتظم متراص محليًا هو فضاء باير. ^{[ 5 ] [ 9 ]}

لا يستلزم أيٌّ من هذين البيانين الآخرَ مباشرةً، إذ توجد فضاءات مترية كاملة غير متراصة محليًا ( الأعداد غير النسبية ذات المقياس المُعرَّف أدناه؛ وكذلك أي فضاء باناخ ذي بُعد لانهائي )، وتوجد فضاءات هاوسدورف متراصة محليًا غير قابلة للقياس (على سبيل المثال، أي حاصل ضرب غير قابل للعد لفضاءات هاوسدورف متراصة غير تافهة؛ وكذلك العديد من فضاءات الدوال المستخدمة في التحليل الوظيفي؛ وفضاء فورت غير القابل للعد ). انظر ستين وسيباخ في المراجع أدناه.

يتطلب برهان BCT1 للفضاءات المترية الكاملة التعسفية شكلاً من أشكال بديهية الاختيار ؛ وفي الواقع، فإن BCT1 مكافئ على ZF لبديهية الاختيار التابع ، وهي شكل ضعيف من بديهية الاختيار. ^{[ 10 ]}

يمكن إثبات شكل مقيد من نظرية فئة باير، حيث يُفترض أن الفضاء المتري الكامل قابل للفصل ، في ZF دون الحاجة إلى مبادئ اختيار إضافية. ^{[ 11 ]} ينطبق هذا الشكل المقيد بشكل خاص على الخط الحقيقي ، أي فضاء باير.${\displaystyle \أوميغا ^{\أوميغا },}$مساحة كانتور${\displaystyle 2^{\omega },}$ومساحة هيلبرت قابلة للفصل مثل${\displaystyle L^{p}}$-فضاء${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$.

في التحليل الوظيفي ، يمكن استخدام BCT1 لإثبات نظرية التطبيق المفتوح ، ونظرية الرسم البياني المغلق ، ومبدأ التقييد المنتظم .

يُظهر BCT1 أيضًا أن كل فضاء متري كامل غير فارغ بدون نقطة معزولة هو فضاء غير قابل للعد . (إذا${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً متريًا قابلًا للعد وغير فارغ بدون نقطة معزولة، فإن كل عنصر منفرد${\displaystyle \{x\}}$في${\displaystyle X}$ليست كثيفة في أي مكان ، و${\displaystyle X}$(هزيلة في حد ذاتها.) على وجه الخصوص، يثبت هذا أن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد.

يوضح BCT1 أن كلًا مما يلي هو فضاء باير:

• المساحة${\displaystyle \mathbb {R} }$من الأعداد الحقيقية
• الأعداد غير النسبية ، بمقياس محدد بواسطة${\displaystyle d(x,y)={\tfrac {1}{n+1}},}$أين${\displaystyle n}$هو أول مؤشر تكون فيه توسعات الكسور المستمرة لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يختلف (هذا فضاء متري كامل)
• مجموعة كانتور

بحسب نظرية BCT2 ، فإن كل مشعب هاوسدورف محدود الأبعاد هو فضاء باير، لأنه متراص محليًا وهاوسدورف. وينطبق هذا حتى على المشعبات غير المتراصة (وبالتالي غير القابلة للقياس) مثل الخط الطويل .

تُستخدم نظرية BCT لإثبات نظرية هارتوغز ، وهي نتيجة أساسية في نظرية المتغيرات المركبة المتعددة.

تُستخدم BCT1 لإثبات أن فضاء باناخ لا يمكن أن يكون له بُعد لانهائي قابل للعد.

( BCT1 ) فيما يلي برهان قياسي على أن الفضاء شبه المتري الكامل${\displaystyle X}$هو فضاء باير. ^{[ 7 ]}

يترك${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$لتكن مجموعة قابلة للعد من المجموعات الجزئية المفتوحة والكثيفة. نريد أن نبين أن التقاطع${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \ldots }$تكون المجموعة الجزئية كثيفة إذا وفقط إذا تقاطعت معها كل مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة. وبالتالي، لإثبات أن التقاطع كثيف، يكفي إثبات أن أي مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة${\displaystyle W}$ل${\displaystyle X}$له بعض المغزى${\displaystyle x}$على غرار جميع${\displaystyle U_{n}}$. لأن${\displaystyle U_{1}}$كثيف،${\displaystyle W}$يتقاطع${\displaystyle U_{1};}$وبالتالي، توجد نقطة${\displaystyle x_{1}}$وعدد${\displaystyle 0<r_{1}<1}$بحيث: $${\displaystyle {\overline {B}}\left(x_{1},r_{1}\right)\subseteq W\cap U_{1}}$$ أين${\displaystyle B(x,r)}$و${\displaystyle {\overline {B}}(x,r)}$يرمز إلى كرة مفتوحة وكرة مغلقة، على التوالي، مركزها عند${\displaystyle x}$بنصف قطر${\displaystyle r.}$ بما أن كل${\displaystyle U_{n}}$إذا كانت كثيفة، فيمكن مواصلة هذا البناء بشكل متكرر لإيجاد زوج من المتتاليات${\displaystyle x_{n}}$و${\displaystyle 0<r_{n}<{\tfrac {1}{n}}}$بحيث: $${\displaystyle {\overline {B}}\left(x_{n},r_{n}\right)\subseteq B\left(x_{n-1},r_{n-1}\right)\cap U_{n}.}$$

(تعتمد هذه الخطوة على بديهية الاختيار وحقيقة أن التقاطع المحدود للمجموعات المفتوحة هو تقاطع مفتوح، وبالتالي يمكن إيجاد كرة مفتوحة داخله مركزها عند النقطة ).${\displaystyle x_{n}}$.) التسلسل${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$كوشي لأن​${\displaystyle x_{n}\in B\left(x_{m},r_{m}\right)}$حينما${\displaystyle n>m,}$وبالتالي${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$يتقارب إلى حد معين${\displaystyle x}$بالكمال. إذا${\displaystyle n}$إذا كان عددًا صحيحًا موجبًا${\displaystyle x\in {\overline {B}}\left(x_{n},r_{n}\right)}$(لأن هذه المجموعة مغلقة). وبالتالي${\displaystyle x\in W}$و${\displaystyle x\in U_{n}}$للجميع${\displaystyle n.}$${\displaystyle \blacksquare }$

يوجد برهان بديل باستخدام لعبة شوكيه . ^{[ 12 ]}

( BCT2 ) برهان أن الفضاء المنتظم المضغوط محليًا${\displaystyle X}$فضاء باير مشابه. ^{[ 9 ]} يعتمد هذا على حقيقتين: (1) في هذا الفضاء، لكل نقطة قاعدة محلية من جوارات مغلقة ومتراصة ؛ و(2) في الفضاء المتراص، أي مجموعة من المجموعات المغلقة ذات خاصية التقاطع المحدود لها تقاطع غير فارغ. وتُعدّ النتيجة لفضاءات هاوسدورف المتراصة محليًا حالة خاصة، لأن هذه الفضاءات منتظمة.

• بورباكي، نيكولا (1989) [1967]. الطوبولوجيا العامة 2: الفصول 5-10 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . المجلد.  4. برلين نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063 . 
• إنجيلكينج، ريزارد (1989). الطوبولوجيا العامة . دار هيلديرمان، برلين. رقم ISBN 3-88538-006-4.
• كيلي، جون ل. (1975) [1955]. الطوبولوجيا العامة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  27 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 1365153 . 
• ليفي، عزريل (2002) [نُشر لأول مرة عام 1979]. نظرية المجموعات الأساسية (  طبعة مُعاد طباعتها). دوفر. ISBN 0-486-42079-5.
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 . 
• ستين، لين آرثر ؛ سيباخ، ج. آرثر الابن (1978). أمثلة مضادة في علم الطوبولوجيا . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ.أُعيد طبعه بواسطة دار نشر دوفر، نيويورك، 1995. رقم ISBN 0-486-68735-X(طبعة دوفر).
• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة . مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 . 

• مقالة موسوعة الرياضيات عن نظرية باير
• تاو، ت. (1 فبراير 2009). "245ب، ملاحظات 9: نظرية فئة باير ونتائجها في فضاء باناخ" .