نظرية المثالي الأولي البولياني

في الرياضيات ، تنص نظرية المثالي الأولي البولياني على إمكانية توسيع المثاليات في الجبر البولياني لتشمل المثاليات الأولية . ويُعرف شكلٌ آخر من هذه النظرية، خاص بالمرشحات على المجموعات، باسم مبرهنة المرشح الفائق . وتُستنتج نظريات أخرى من خلال دراسة بنى رياضية مختلفة بمفاهيم مناسبة للمثاليات، مثل الحلقات والمثاليات الأولية (في نظرية الحلقات)، أو الشبكات التوزيعية والمثاليات القصوى (في نظرية الترتيب ). وتركز هذه المقالة على نظريات المثالي الأولي من نظرية الترتيب.

على الرغم من أن نظريات المثاليات الأولية المختلفة قد تبدو بسيطة وبديهية، إلا أنه لا يمكن استنتاجها عمومًا من بديهيات نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات دون بديهية الاختيار (المختصرة بـ ZF). في الواقع، بعض هذه البديهيات مكافئة لبديهية الاختيار (AC)، بينما تمثل أخرى - كنظرية المثاليات الأولية البوليانية على سبيل المثال - خاصية أضعف من بديهية الاختيار. ونظرًا لهذا الوضع الوسيط بين ZF و ZF  +  AC (ZFC)، تُعتبر نظرية المثاليات الأولية البوليانية في كثير من الأحيان بديهية في نظرية المجموعات. ويُستخدم الاختصاران BPI أو PIT (للجبر البولياني) أحيانًا للإشارة إلى هذه البديهية الإضافية.

المثالي المرتب هو مجموعة سفلية موجهة (غير فارغة) . إذا كانت المجموعة المرتبة جزئيًا (poset) المدروسة تحتوي على قيم عليا ثنائية (أو ما يُعرف بالوصلات )، كما هو الحال في المجموعات المرتبة جزئيًا المذكورة في هذه المقالة، فإنها تُوصف بشكل مكافئ بأنها مجموعة سفلية غير فارغة I مغلقة بالنسبة للقيم العليا الثنائية (أي،${\displaystyle x,y\in I}$يشير إلى${\displaystyle x\vee y\in I}$يكون المثالي I أوليًا إذا كان مكمله النظري في المجموعة المرتبة جزئيًا عبارة عن مرشح (أي،${\displaystyle x\wedge y\in I}$يشير إلى${\displaystyle x\in I}$أو${\displaystyle y\in I}$). تكون المُثُل صحيحة إذا لم تكن مساوية للمجموعة المرتبة الكاملة.

تاريخيًا، كانت أولى العبارات المتعلقة بنظريات المثاليات الأولية اللاحقة تشير في الواقع إلى المرشحات - وهي مجموعات جزئية تُعدّ مثاليات بالنسبة للترتيب الثنائي . تنصّ مبرهنة المرشح الفائق على أن كل مرشح على مجموعة ما يقع ضمن مرشح أقصى (حقيقي) ما - وهو مرشح فائق . تجدر الإشارة إلى أن المرشحات على المجموعات هي مرشحات حقيقية للجبر البولياني لمجموعة القوى الخاصة بها . في هذه الحالة الخاصة، تتطابق المرشحات القصوى (أي المرشحات التي لا تُعدّ مجموعات جزئية صارمة لأي مرشح حقيقي) مع المرشحات الأولية (أي المرشحات التي تحتوي، مع كل اتحاد للمجموعتين الجزئيتين X و Y ، على X أو Y أيضًا ). وبالتالي، يضمن الترتيب الثنائي لهذه العبارة أن كل مثالي لمجموعة القوى يقع ضمن مثالي أولي.

أدت العبارة السابقة إلى ظهور العديد من نظريات المثاليات الأولية المعممة، ولكل منها صيغة ضعيفة وأخرى قوية. تنص نظريات المثاليات الأولية الضعيفة على أن كل جبر غير تافه من فئة معينة يحتوي على مثالي أولي واحد على الأقل. في المقابل، تتطلب نظريات المثاليات الأولية القوية أن كل مثالي منفصل عن مرشح معين يمكن تمديده إلى مثالي أولي لا يزال منفصلاً عن ذلك المرشح. في حالة الجبر غير المرتبة جزئيًا، تُستخدم بنى فرعية مختلفة بدلًا من المرشحات. من المعروف أن العديد من صيغ هذه النظريات متكافئة، لذا يُعتبر الادعاء بصحة "PIT" عادةً بمثابة الادعاء بصحة العبارة المقابلة للجبر البولياني (BPI).

يُمكن الحصول على صيغة أخرى من النظريات المماثلة باستبدال كل ظهور للمثالي الأولي بالمثالي الأعظمي . وغالبًا ما تكون نظريات المثالي الأعظمي المقابلة (MIT) - وإن لم يكن دائمًا - أقوى من نظيراتها من نظريات المثالي الأولي (PIT).

تُعرف نظرية المثالي الأولي البولياني بأنها نظرية المثالي الأولي القوي للجبر البولياني. وبالتالي، فإن الصيغة الرسمية هي:

تنص نظرية المثالي الأولي الضعيف للجبر البولياني ببساطة على ما يلي:

نشير إلى هذه العبارات باسم BPI الضعيفة والقوية . وهما متكافئتان، حيث أن BPI القوية تستلزم بوضوح BPI الضعيفة، ويمكن تحقيق الاستلزام العكسي باستخدام BPI الضعيفة لإيجاد المثاليات الأولية في جبر القسمة المناسب.

يمكن التعبير عن مؤشر أداء الأعمال (BPI) بطرق مختلفة. ولتحقيق هذا الغرض، تذكر النظرية التالية:

بالنسبة لأي مثالي I في جبر بولياني B ، فإن ما يلي متكافئ:

• أنا مثال مثالي.
• I هو مثال أعظمي، أي لأي مثال صحيح J ، إذا كان I موجودًا في J فإن I = J.
• لكل عنصر a من B ، يحتوي I على واحد فقط من { a ، ¬ a }.

تُعدّ هذه النظرية حقيقةً معروفةً في الجبر البولياني. وتُثبت نظيرتها تكافؤ المرشحات الأولية والمرشحات الفائقة. تجدر الإشارة إلى أن الخاصية الأخيرة هي في الواقع خاصية ذاتية التناظر، إذ يكفي افتراض أن I مثاليٌّ للحصول على التوصيف الكامل. ويمكن إثبات جميع النتائج المترتبة على هذه النظرية في ZF.

وبالتالي فإن نظرية المثالية القصوى (القوية) التالية للجبر البولياني تعادل نظرية المثالية القصوى (BPI):

لاحظ أن المرء يحتاج إلى الحد الأقصى "العالمي"، وليس فقط الحد الأقصى فيما يتعلق بكونه منفصلاً عن F. ومع ذلك، فإن هذا التباين ينتج عنه توصيف مكافئ آخر لـ BPI:

يمكن إثبات تكافؤ هذه العبارة مع نظرية BPI بسهولة من خلال ملاحظة النظرية التالية: لأي شبكة توزيعية L ، إذا كان المثالي I أعظميًا بين جميع مثاليات L المنفصلة عن مرشح معين F ، فإن I مثالي أولي. يتضمن المقال الخاص بالمثاليات برهان هذه العبارة (والذي يمكن إجراؤه أيضًا في نظرية مجموعات ZF). وبما أن أي جبر بولياني هو شبكة توزيعية، فإن هذا يُظهر الاستلزام المطلوب.

يتضح الآن بسهولة أن جميع العبارات المذكورة أعلاه متكافئة. بل ويمكننا، بالتعمق أكثر، استغلال حقيقة أن الترتيبات الثنائية للجبر البولياني هي الجبر البولياني نفسه. وبالتالي، عند أخذ الترتيبات الثنائية المتكافئة لجميع العبارات السابقة، نحصل على عدد من النظريات التي تنطبق بالتساوي على الجبر البولياني، ولكن مع استبدال كل ظهور للمثالي بكلمة "مرشح" . ومن الجدير بالذكر أنه في الحالة الخاصة التي يكون فيها الجبر البولياني قيد الدراسة عبارة عن مجموعة قوى بترتيب المجموعات الجزئية ، تُسمى "نظرية المرشح الأقصى" بـ"معضلة المرشح الفائق".

باختصار، بالنسبة للجبر البولياني، فإنّ كلاً من مبدأ الاختيار الأدنى الضعيف والقوي، ومبدأ الاختيار الأدنى الضعيف والقوي، وهذه العبارات التي تستخدم المرشحات بدلاً من المُثُل، متكافئة. من المعروف أن جميع هذه العبارات هي نتائج بديهية الاختيار ( AC) (يستخدم البرهان السهل مبرهنة زورن )، ولكن لا يمكن إثباتها في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ( ZF ) (بدون مبدأ الاختيار الأدنى )، إذا كانت ZF متسقة . مع ذلك، فإنّ مبدأ الاختيار الأدنى أضعف من بديهية الاختيار، على الرغم من أن برهان هذه العبارة، الذي وضعه جيه دي هالبرن وأزرييل ليفي ، ليس بالأمر الهيّن.

يمكن بسهولة تعديل الخصائص النموذجية التي نوقشت للجبر البولياني في القسم السابق لتشمل شبكات أكثر عمومية ، مثل الشبكات التوزيعية أو جبر هيتينغ . مع ذلك، في هذه الحالات، تختلف المُثُل القصوى عن المُثُل الأولية، والعلاقة بين المُثُل الأولية المُثُل القصوى غير واضحة.

في الواقع، اتضح أن ثوابت الحد الأدنى للشبكات التوزيعية، وحتى لجبر هايتينغ، تُكافئ بديهية الاختيار. من جهة أخرى، من المعروف أن شرط التكافؤ القوي للشبكات التوزيعية يُكافئ شرط التكافؤ الثنائي (أي شرط الحد الأدنى وشرط التكافؤ للجبر البولياني). لذا، فإن هذه العبارة أضعف من بديهية الاختيار. علاوة على ذلك، تجدر الإشارة إلى أن جبر هايتينغ ليس ثنائيًا ذاتيًا، وبالتالي فإن استخدام المرشحات بدلًا من المُثُل يُنتج نظريات مختلفة في هذا السياق. ولعل من المُثير للدهشة أن شرط الحد الأدنى لثنائيات جبر هايتينغ ليس أقوى من شرط التكافؤ الثنائي، وهو ما يتناقض تمامًا مع شرط الحد الأدنى المذكور أعلاه لجبر هايتينغ.

أخيرًا، توجد أيضًا نظريات المثاليات الأولية لجبريات مجردة أخرى (غير نظرية الترتيب). على سبيل المثال، تستلزم نظرية المثاليات الأولية للحلقات بديهية الاختيار. يتطلب هذا استبدال مصطلح "المرشح" في نظرية الترتيب بمفاهيم أخرى، فبالنسبة للحلقات، يُعد مصطلح "مجموعة فرعية مغلقة ضربيًا" مناسبًا.

المرشح على مجموعة X هو مجموعة غير فارغة من مجموعات جزئية غير فارغة من X ، مغلقة تحت التقاطع المنتهي وتحت المجموعة الشاملة. المرشح الفائق هو مرشح أقصى. تنص مبرهنة المرشح الفائق على أن كل مرشح على مجموعة X هو مجموعة جزئية من مرشح فائق ما على X. ^{[ 1 ]} يُطلق على المرشح الفائق الذي لا يحتوي على مجموعات منتهية اسم " غير رئيسي". يمكن إثبات مبرهنة المرشح الفائق، وخاصة وجود المرشحات الفائقة غير الرئيسية (انظر مرشح جميع المجموعات ذات المكملات المنتهية)، من مبرهنة زورن .

تُكافئ مبرهنة المرشح الفائق مبرهنة المثالي الأولي البولياني، ويمكن إثبات هذا التكافؤ في نظرية مجموعات ZF دون الحاجة إلى بديهية الاختيار. وتقوم فكرة البرهان على أن المجموعات الجزئية لأي مجموعة تُشكل جبرًا بوليانيًا مُرتبًا جزئيًا بالاحتواء، وأن أي جبر بولياني يُمكن تمثيله كجبر مجموعات وفقًا لمبرهنة ستون للتمثيل .

إذا كانت المجموعة X منتهية، فيمكن إثبات مبرهنة المرشح الفائق من بديهيات ZF. لكن هذا لا ينطبق على المجموعات غير المنتهية؛ إذ يجب افتراض بديهية إضافية . ويمكن استخدام مبرهنة زورن ، وبديهية الاختيار ، ونظرية تيكونوف لإثبات مبرهنة المرشح الفائق. وتُعدّ مبرهنة المرشح الفائق أضعف من بديهية الاختيار.

تُستخدم مبرهنة المرشح الفائق في العديد من التطبيقات في علم الطوبولوجيا . ويمكن استخدامها لإثبات مبرهنة هان-باناخ ومبرهنة ألكسندر للقاعدة الفرعية .

بشكل بديهي، تنص نظرية المثالي الأولي البولياني على وجود عدد "كافٍ" من المثاليات الأولية في الجبر البولياني، بمعنى أنه يمكننا توسيع كل مثالي إلى مثالي أقصى. لهذا أهمية عملية في إثبات نظرية ستون للتمثيل في الجبر البولياني ، وهي حالة خاصة من ازدواجية ستون ، حيث يتم تزويد مجموعة جميع المثاليات الأولية بطوبولوجيا معينة، ويمكن بالفعل استعادة الجبر البولياني الأصلي ( حتى التشاكل ) من هذه البيانات. علاوة على ذلك، يتضح أنه في التطبيقات، يمكن للمرء أن يختار بحرية إما العمل مع المثاليات الأولية أو مع المرشحات الأولية، لأن كل مثالي يحدد مرشحًا بشكل فريد: مجموعة جميع المكملات البوليانية لعناصره. كلا النهجين موجودان في المراجع.

العديد من النظريات الأخرى في الطوبولوجيا العامة، والتي يُقال غالبًا إنها تعتمد على بديهية الاختيار، هي في الواقع مكافئة لنظرية BPI. على سبيل المثال، النظرية التي تنص على أن حاصل ضرب فضاءات هاوسدورف المدمجة هو فضاء مدمج، مكافئة لها. إذا حذفنا كلمة "هاوسدورف"، نحصل على نظرية مكافئة لبديهية الاختيار كاملةً.

في نظرية المخططات ، تُعدّ نظرية دي بروين-إردوش مكافئًا آخر لنظرية BPI. وتنص على أنه إذا كان مخطط لانهائي معين يتطلب على الأقل عددًا محدودًا k في أي تلوين للمخطط ، فإنه يحتوي على مخطط فرعي محدود يتطلب أيضًا k . ^{[ 2 ]}

من التطبيقات غير المعروفة لنظرية المثالي الأولي البولياني وجود مجموعة غير قابلة للقياس ^{[ 3 ]} (المثال الشائع هو مجموعة فيتالي ، التي تتطلب بديهية الاختيار). وبناءً على ذلك، وحقيقة أن نظرية المثالي الأولي البولياني أضعف من بديهية الاختيار، فإن وجود مجموعات غير قابلة للقياس أضعف من بديهية الاختيار.

في الجبر الخطي، يمكن استخدام نظرية المثالي الأولي البولياني لإثبات أن أي قاعدتين لفضاء متجه معين لهما نفس العدد الأصلي .

• قائمة بمواضيع الجبر البولياني

• ديفي، بكالوريوس؛ بريستلي، هـ. أ. (2002)، مقدمة في الشبكات والترتيب (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-78451-1

مقدمة سهلة القراءة، توضح تكافؤ PIT للجبر البولياني والشبكات التوزيعية.

• جونستون، بيتر (1982)، فضاءات ستون ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  3، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-33779-3

تتطلب النظرية الواردة في هذا الكتاب في كثير من الأحيان مبادئ الاختيار. وتناقش الملاحظات في الفصول المختلفة العلاقة العامة بين النظريات ونظريتي PIT وMIT لمختلف البنى (وإن كانت في الغالب شبكات)، وتقدم إشارات إلى مزيد من المراجع.

• باناشيفسكي، ب. (1983)، "قوة نظرية المرشح الفائق"، مجلة جمعية لندن الرياضية ، السلسلة الثانية، 27 (2): 193-202 ، doi : 10.1112/jlms/s2-27.2.193

يناقش هذا البحث وضع معضلة المرشح الفائق.

• إرني، م. (2000)، "نظرية المثالي الأولي للجبر العام"، الهياكل الفئوية التطبيقية ، 8 : 115-144 ، doi : 10.1023/A:1008611926427 ، S2CID 31605587 

يُقدّم هذا المرجع العديد من العبارات المكافئة لنظرية BPI، بما في ذلك نظريات المثالي الأولي لبنى جبرية أخرى. وتُعتبر نظريات المثالي الأولي حالات خاصة من لِمات الفصل.