متباينة بو

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 40 صور
الموسوعة الحرة
رسم متحرك للسطح الروماني الذي يمثل RP 2 في R 3

في الهندسة التفاضلية ، تربط متباينة بو ، التي أثبتها باو مينغ بو ، مساحة سطح ريماني عشوائي متماثل مع المستوى الإسقاطي الحقيقي بأطوال المنحنيات المغلقة الموجودة فيه.

إفادة

أثبت بو، وهو أحد طلاب تشارلز لوينر ، في أطروحته عام 1950 ( بو 1952 ) أن كل سطح ريمانيم{\displaystyle M}متماثل الشكل مع المستوى الإسقاطي الحقيقي يحقق المتباينة

منطقة⁡(م)≥2πالانقباض⁡(م)2،{\displaystyle \operatorname {Area} (M)\geq {\frac {2}{\pi }}\operatorname {Systole} (M)^{2},}

أينالانقباض⁡(م){\displaystyle \operatorname {Systole} (M)}، الانقباض​م{\displaystyle M}، هو طول أقصر حلقة في M التي لا يمكن تقليصها إلى نقطة في الفضاء المحيط X.

تتحقق المساواة تحديداً عندما يكون للمقياس انحناء غاوسي ثابت .

بمعنى آخر، إذا كانت جميع الحلقات غير القابلة للانكماش فيم{\displaystyle M}يجب أن يكون طولها على الأقلل{\displaystyle L}، ثممنطقة⁡(م)≥2πل2،{\displaystyle \operatorname {Area} (M)\geq {\frac {2}{\pi }}L^{2},}وتتحقق المساواة إذا وفقط إذام{\displaystyle M}يتم الحصول عليها من كرة إقليدية نصف قطرهار=ل/π{\displaystyle r=L/\pi }عن طريق تحديد كل نقطة بنظيرتها المقابلة.

كما ذكرت ورقة بو لأول مرة متباينة لوفنر ، وهي نتيجة مماثلة للمقاييس الريمانية على الطارة .

دليل

يعتمد برهان بو الأصلي على نظرية التوحيد ويستخدم حجة المتوسط، كما يلي.

عن طريق التوحيد، سطح ريمان(م،ز){\displaystyle (M,g)}هو متماثل شكليًا مع مستوى إسقاطي دائري. هذا يعني أنه يمكننا افتراض أن السطحم{\displaystyle M}يتم الحصول عليها من كرة الوحدة الإقليديةS2{\displaystyle S^{2}}من خلال تحديد النقاط المتقابلة، وعنصر طول ريمان عند كل نقطةx{\displaystyle x}يكون

دلهـنزتح=و(x)دلهـنزتحإقليدي،{\displaystyle \mathrm {dLength} =f(x)\mathrm {dLength} _{\text{Euclidean}},}

أيندلهـنزتحإقليدي{\displaystyle \mathrm {dLength} _{\text{Euclidean}}}هو عنصر الطول الإقليدي والدالةو:S2→(0،+∞){\displaystyle f:S^{2}\to (0,+\infty )}، والذي يُسمى عامل المطابقة ، يحققو(-x)=و(x){\displaystyle f(-x)=f(x)}.

وبشكل أدق، التغطية الشاملة لـم{\displaystyle M}يكونS2{\displaystyle S^{2}}حلقةγ⊆م{\displaystyle \gamma \subseteq M}لا يكون قابلاً للانقباض إذا وفقط إذا كان مصعدهγ~⊆S2{\displaystyle {\widetilde {\gamma }}\subseteq S^{2}}ينتقل من نقطة إلى النقطة المقابلة لها، وطول كل منحنىγ{\displaystyle \gamma }يكون

طول⁡(γ)=∫γ~ودلهـنزتحإقليدي.{\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )=\int _{\widetilde {\gamma }}f\,\mathrm {dLength} _{\text{Euclidean}}.}

مع مراعاة الشرط الذي ينص على أن كل طول من هذه الأطوال لا يقل عنل{\displaystyle L}نريد أن نجدو{\displaystyle f}مما يقلل من

منطقة⁡(م،ز)=∫S+2و(x)2دأرهـأإقليدي(x)،{\displaystyle \operatorname {Area} (M,g)=\int _{S_{+}^{2}}f(x)^{2}\,\mathrm {dArea} _{\text{Euclidean}}(x),}

أينS+2{\displaystyle S_{+}^{2}}هو النصف العلوي من الكرة.

تتمثل إحدى الملاحظات الرئيسية في أنه إذا قمنا بحساب متوسط ​​عدة قيم مختلفةوأنا{\displaystyle f_{i}}التي تستوفي شرط الطول ولها نفس المساحةأ{\displaystyle A}ثم نحصل على عامل توافق أفضلوجديد=1ن∑0≤أنا<نوأنا{\displaystyle f_{\text{new}}={\frac {1}{n}}\sum _{0\leq i<n}f_{i}}، والذي يفي أيضًا بشرط الطول وله

منطقة⁡(م،زجديد)=∫S+2(1ن∑أناوأنا(x))2دأرهـأإقليدي(x){\displaystyle \operatorname {Area} (M,g_{\text{new}})=\int _{S_{+}^{2}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i}f_{i}(x)\right)^{2}\mathrm {dArea} _{\text{Euclidean}}(x)}
≤1ن∑أنا(∫S+2وأنا(x)2دأرهـأإقليدي(x))=أ،{\displaystyle \qquad \qquad \leq {\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\int _{S_{+}^{2}}f_{i}(x)^{2}\mathrm {dArea} _{\text{Euclidean}}(x)\right)=A,}

ويكون التباين صارمًا ما لم تكن الدوالوأنا{\displaystyle f_{i}}متساويان.

طريقة لتحسين أي شيء غير ثابتو{\displaystyle f}الهدف هو الحصول على الوظائف المختلفةوأنا{\displaystyle f_{i}}منو{\displaystyle f}باستخدام دوران الكرةRأنا∈Sيا3{\displaystyle R_{i}\in SO^{3}}، تعريفوأنا(x)=و(Rأنا(x)){\displaystyle f_{i}(x)=f(R_{i}(x))}إذا قمنا بحساب المتوسط ​​لجميع الدورات الممكنة ، فسنحصل علىوجديد{\displaystyle f_{\text{new}}}وهذا ثابت على كامل الكرة. ويمكننا تقليل هذا الثابت إلى أدنى قيمة ممكنة.ر=لπ{\displaystyle r={\frac {L}{\pi }}}يسمح بذلك قيد الطول. ثم نحصل على المقياس الفريد الذي يحقق الحد الأدنى للمساحة2πر2=2πل2{\displaystyle 2\pi r^{2}={\frac {2}{\pi }}L^{2}}.

إعادة الصياغة

أو بدلاً من ذلك، كل مقياس على الكرةS2{\displaystyle S^{2}}ثابت تحت الخريطة المتقابلة يسمح بزوج من النقاط المتقابلةص،q∈S2{\displaystyle p,q\in S^{2}}على مسافة ريماند=د(ص،q){\displaystyle d=d(p,q)}مُرضٍد2≤π4منطقة⁡(S2).{\displaystyle d^{2}\leq {\frac {\pi }{4}}\operatorname {area} (S^{2}).}

يمكن الاطلاع على شرح أكثر تفصيلاً لوجهة النظر هذه في صفحة مقدمة في الهندسة الانقباضية .

فرضية ملء المساحة

يُمكن صياغة متباينة بو بشكل بديل كما يلي: من بين جميع التعبئات الممكنة لدائرة ريمان ذات الطول2π{\displaystyle 2\pi }بواسطة2{\displaystyle 2}القرص ذو الأبعاد n ذو الخاصية المتساوية القياس بقوة، نصف الكرة المستديرة له أقل مساحة.

لشرح هذه الصيغة، نبدأ بملاحظة أن الدائرة الاستوائية للوحدة2{\displaystyle 2}-جسم كرويS2⊂R3{\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}هي دائرة ريمانيةS1{\displaystyle S^{1}}من الطول2π{\displaystyle 2\pi }وبشكل أدق، دالة المسافة الريمانية لـS1{\displaystyle S^{1}}يُستنتج هذا من المسافة الريمانية المحيطة على الكرة. تجدر الإشارة إلى أن هذه الخاصية لا تتحقق في التضمين القياسي لدائرة الوحدة في المستوى الإقليدي. في الواقع، المسافة الإقليدية بين نقطتين متقابلتين على الدائرة هي فقط2{\displaystyle 2}بينما في دائرة ريمان يكونπ{\displaystyle \pi }.

نعتبر جميع الحشواتS1{\displaystyle S^{1}}بواسطة2{\displaystyle 2}قرص ذو أبعاد n، بحيث يكون المقياس الناتج عن تضمين الدائرة كحدود للقرص هو المقياس الريماني لدائرة طولها n.2π{\displaystyle 2\pi }. ويُطلق على تضمين الدائرة كحدود اسم التضمين المتساوي القياس القوي للدائرة.

افترض غروموف أن نصف الكرة المستديرة يعطي "أفضل" طريقة لملء الدائرة حتى عندما يُسمح لسطح الملء بأن يكون له جنس موجب ( غروموف 1983 ) .

متباينة المحيط المتساوي

تُظهر متباينة بو تشابهاً غريباً مع متباينة المحيط المتساوي الكلاسيكية

ل2≥4πأ{\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A}

بالنسبة لمنحنيات جوردان في المستوى، حيثل{\displaystyle L}يمثل طول المنحنى بينماأ{\displaystyle A}هي مساحة المنطقة التي تحدها. أي أنه في كلتا الحالتين، تكون الكمية ثنائية الأبعاد (المساحة) محصورةً بكمية أحادية الأبعاد (الطول) (مربعها). ومع ذلك، فإن المتباينة تسير في الاتجاه المعاكس. لذا، يمكن اعتبار متباينة بو بمثابة متباينة محيطية "معاكسة".

انظر أيضاً

مراجع