مجموعة وراثية

في نظرية المجموعات ، تُعرف المجموعة الوراثية (أو المجموعة النقية ) بأنها مجموعة جميع عناصرها مجموعات وراثية. أي أن جميع عناصر المجموعة هي مجموعات بحد ذاتها، وكذلك جميع عناصر العناصر، وهكذا.

على سبيل المثال، من البديهي أن المجموعة الفارغة هي مجموعة وراثية، وبالتالي فإن المجموعة${\displaystyle \{\varnothing \}}$تحتوي فقط على المجموعة الفارغة${\displaystyle \varnothing }$هي مجموعة وراثية. وبالمثل، مجموعة${\displaystyle \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$المجموعة التي تحتوي على عنصرين: المجموعة الفارغة والمجموعة التي تحتوي فقط على المجموعة الفارغة، هي مجموعة وراثية.

في صياغات نظرية المجموعات التي يُراد تفسيرها في عالم فون نيومان أو التعبير عن محتوى نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، تُعتبر جميع المجموعات وراثية، لأن النوع الوحيد من الكائنات الذي يُمكن أن يكون مرشحًا ليكون عنصرًا في مجموعة ما هو مجموعة أخرى. وبالتالي، فإن مفهوم المجموعة الوراثية لا يكون ذا أهمية إلا في سياق قد توجد فيه عناصر غير وراثية .

يفترض التعريف الاستقرائي للمجموعات الوراثية أن عضوية المجموعة راسخة (أي، بديهية الانتظام )، وإلا فقد لا يكون للعلاقة التكرارية حل وحيد. مع ذلك، يمكن إعادة صياغته بطريقة غير استقرائية كما يلي: تكون المجموعة وراثية إذا وفقط إذا كان إغلاقها المتعدي يحتوي على مجموعات فقط. وبهذه الطريقة، يمكن توسيع مفهوم المجموعات الوراثية ليشمل نظريات المجموعات غير الراسخة التي يمكن أن تكون فيها المجموعات أعضاءً في نفسها. على سبيل المثال، المجموعة التي تحتوي على نفسها فقط هي مجموعة وراثية.

• مجموعة قابلة للعد وراثيًا
• مجموعة وراثية محدودة
• مجموعة ذات أساس متين

• كونين، كينيث (1980). نظرية المجموعات: مقدمة في براهين الاستقلال . نورث هولاند. ISBN 0-444-85401-0.