عنصر اليوريا

في نظرية المجموعات ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، يُعرف العنصر الأولي ( من البادئة الألمانية ur- ، والتي تعني "الأولي") بأنه كائن ليس مجموعة ، ولكنه قد يكون عنصرًا من مجموعة. ويُشار إليه أيضًا بالذرة أو الفرد . كما أن العناصر الأولية لا تُطابق المجموعة الفارغة.

توجد عدة طرق مختلفة ولكنها متكافئة بشكل أساسي لمعالجة العناصر اليوريلية في نظرية من الدرجة الأولى .

إحدى الطرق هي العمل في نظرية من الدرجة الأولى مع نوعين، المجموعات والعناصر غير المحددة، حيث يكون a ∈ b معرفًا فقط عندما تكون b مجموعة. في هذه الحالة، إذا كان U عنصرًا غير محدد، فلا معنى لقول${\displaystyle X\in U}$، بالرغم من${\displaystyle U\in X}$هذا أمر مشروع تماماً.

ثمة طريقة أخرى تتمثل في العمل ضمن نظرية أحادية التصنيف باستخدام علاقة أحادية لتمييز المجموعات عن العناصر الأولية. ولأن المجموعات غير الفارغة تحتوي على عناصر بينما لا تحتوي العناصر الأولية على عناصر، فإن العلاقة الأحادية تُستخدم فقط لتمييز المجموعة الفارغة عن العناصر الأولية. تجدر الإشارة إلى أنه في هذه الحالة، يجب صياغة بديهية الامتداد بحيث تنطبق فقط على الكائنات التي ليست عناصر أولية.

هذا الوضع مشابه لمعالجات نظريات المجموعات والفئات . في الواقع، تُعتبر العناصر الأولية، بمعنى ما، ثنائية للفئات الحقيقية : لا يمكن أن تحتوي العناصر الأولية على عناصر، بينما لا يمكن أن تكون الفئات الحقيقية عناصر. بعبارة أخرى، العناصر الأولية هي كائنات دنيا، بينما الفئات الحقيقية هي كائنات قصوى، وذلك بحسب علاقة الانتماء (وهي، بالطبع، ليست علاقة ترتيب، لذا لا ينبغي أخذ هذا التشبيه حرفيًا).

تضمنت نظرية زيرميلو للمجموعات لعام 1908 عناصر أولية، ولذا تُعرف الآن باسم ZFA أو ZFCA (أي ZFA مع بديهية الاختيار ). ^{[ 1 ]} وسرعان ما تبيّن أنه في سياق هذه النظرية ونظريات المجموعات البديهية ذات الصلة الوثيقة ، لم تكن العناصر الأولية ضرورية لأنه يمكن نمذجتها بسهولة في نظرية مجموعات بدون عناصر أولية. ^{[ 2 ]} وبالتالي، فإن الشروح القياسية لنظريتي المجموعات البديهيتين المتعارف عليهما ZF و ZFC لا تذكر العناصر الأولية (للاطلاع على استثناء، انظر سوبس ^{[ 3 ]} ). تشمل بديهيات نظرية المجموعات التي تستخدم العناصر الأولية نظرية كريپكي-بلاتيك للمجموعات مع العناصر الأولية ، ومتغير نظرية فون نيومان-بيرنايز-غودل للمجموعات الذي وصفه مندلسون. ^{[ 4 ]} في نظرية الأنواع ، يمكن تسمية كائن من النوع 0 عنصرًا أوليًا؛ ومن هنا جاء اسم "الذرة".

أصرّ زيرميلو على الإبقاء على العناصر الأولية في نظرية المجموعات، واعتبر المجموعة الفارغة حالة خاصة من العنصر الأولي. ^{[ 5 ] : البديهية U.} في عام 1930، أنشأ تسلسلًا هرميًا تكراريًا متساميًا، وهو سلف لتسلسل فون نيومان الحديث ، ولكنه يتضمن عناصر أولية. ^{[ 5 ] : 36-40.} لا تزال العناصر الأولية مفيدة في نظرية النماذج ، وخاصة في نماذج فرانكل-موستوفسكي . ^{[ 6 ]}

إن إضافة العناصر الأولية إلى نظام الأسس الجديدة (NF) لإنتاج نظرية الأسس الجديدة المحسّنة (NFU) له نتائج مفاجئة. على وجه الخصوص، أثبت جنسن ^{[ 7 ]} اتساق نظرية الأسس الجديدة المحسّنة بالنسبة إلى حساب بيانو ؛ في حين أن اتساق الأسس الجديدة بالنسبة إلى أي شيء آخر لا يزال مشكلة مفتوحة، في انتظار التحقق من برهان هولمز على اتساقها بالنسبة إلى نظرية الأسس الصفرية (ZF). علاوة على ذلك، تظل نظرية الأسس الجديدة المحسّنة متسقة نسبيًا عند إضافة بديهية اللانهاية وبديهية الاختيار إليها . في الوقت نفسه، يُعد نفي بديهية الاختيار نظرية من نظريات الأسس الجديدة. يتخذ هولمز (1998) هذه الحقائق دليلًا على أن نظرية الأسس الجديدة المحسّنة تُشكّل أساسًا رياضيًا أكثر نجاحًا من الأسس الجديدة. ويجادل هولمز أيضًا بأن نظرية المجموعات أكثر طبيعية مع العناصر الأولية منها بدونها، حيث يمكننا اعتبار كائنات أي نظرية أو الكون المادي عناصر أولية . ^{[ 8 ]} في نظرية المجموعات المنتهية ، يتم تعيين العناصر الأولية إلى المكونات ذات المستوى الأدنى للظاهرة المستهدفة، مثل المكونات الذرية لجسم مادي أو أعضاء منظمة.

يتمثل أحد المقاربات البديلة للعناصر الأولية في اعتبارها، بدلاً من كونها نوعًا من الكائنات بخلاف المجموعات، نوعًا خاصًا من المجموعات. ذرات كواين (نسبةً إلى ويلارد فان أورمان كواين ) هي مجموعات لا تحتوي إلا على نفسها، أي مجموعات تحقق الصيغة x  =  { x }. ^{[ 9 ]} لا يمكن أن توجد ذرات كواين في أنظمة نظرية المجموعات التي تتضمن بديهية الانتظام ، ولكنها قد توجد في نظرية مجموعات غير مؤسسة جيدًا .

قدّم كواين مفهوم ذرات كواين (المسماة "الأفراد") في منطقه الرياضي ^{[ 10 ]} كوسيلة لصياغة الذرات دون تغيير بديهية الامتداد . يُعدّ نظام المنطق الرياضي امتدادًا لأسس كواين الجديدة (NF)، وتسمح هذه الأسس بوجود مجموعات غير مؤسسة جيدًا مثل ذرات كواين. في الواقع، بافتراض اتساق أسس كواين الجديدة (أو أسس كواين الجديدة الموحدة )، توجد نماذج لا تحتوي على ذرة كواين، أو تحتوي على ذرة كواين واحدة، أو تحتوي على العديد من ذرات كواين. ^{[ 11 ]}

مع ذلك، لا تُعدّ ذرات كوين معالجةً كافيةً للذرات في اللغة الطبيعية، لأنّ عبارة " x ذرة كوين" ليست جملةً مُصنَّفة . من جهة، يعني هذا أنّ الفهم المُصنَّف لا يستطيع فصل ذرات كوين عن المجموعات الأخرى. من جهة أخرى، تسمح ذرات كوين ببعض البنى التي لا يُمكن تبريرها باستخدام الذرات غير المُهيكلة: على سبيل المثال، بالنظر إلى مجموعة S من ذرات كوين، من السهل إنشاء دالة من كل x ∈ S إلى مجموعته المُفردة { x } (وهي ببساطة دالة التطابق على S ). لذلك، يختلف نموذج اللغة الطبيعية مع ذرات كوين عادةً اختلافًا كبيرًا عن نموذج اللغة الطبيعية المُصنَّفة، حيث يكون عدد عناصر مجموعة جميع الذرات عادةً أكبر من عدد عناصر مجموعة جميع المجموعات. وتتجلى أهمية هذا الاختلاف في حقيقة أنّ اللغة الطبيعية المُصنَّفة تتوافق مع بديهية الاختيار بينما لا تتوافق اللغة الطبيعية معها. ^{[ 12 ]}

على غرار حالة نظرية المجموعات غير المؤسسة (NF)، لا تستطيع نظرية المجموعات ZF، بعد إزالة بديهية الانتظام، إثبات وجود أي مجموعات غير مؤسسة (إلا إذا كانت متناقضة، وفي هذه الحالة ستثبت أي عبارة عشوائية )، لكنها تتوافق مع وجود ذرات كوين. تشير بديهية أكسيل المضادة للمؤسسة إلى وجود ذرة كوين فريدة. قد تقبل نظريات أخرى غير مؤسسة وجود العديد من ذرات كوين المتميزة؛ وعلى النقيض من ذلك، توجد بديهية بوفا للشمولية الفائقة ، والتي تشير إلى أن ذرات كوين المتميزة تُشكل فئة حقيقية . ^{[ 13 ]}

تُعدّ ذرات كوين المجموعات الوحيدة التي أطلق عليها بيتر أكسل اسم المجموعات الانعكاسية ، ^{[ 13 ]} على الرغم من أن مؤلفين آخرين، مثل جون باروايز ولورانس موس، يستخدمون المصطلح الأخير للدلالة على الفئة الأكبر من المجموعات التي تتمتع بالخاصية x ∈ x . ^{[ 14 ] : 57}  

• وايسستين، إريك دبليو. “يورليمنت” . عالم الرياضيات .