بديهية الانتظام

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 20 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف بديهية الانتظام (أو بديهية الأساس ) بأنها بديهية في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، وتنص على أن كل مجموعة غير فارغة A تحتوي على عنصر منفصل عن A. أما في منطق الرتبة الأولى ، فتنص البديهية على ما يلي:

∀x(x≠∅→(∃y∈x)(x∩y=∅)).{\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \rightarrow (\exists y\in x)(x\cap y=\varnothing )).}

إن بديهية الانتظام بالإضافة إلى بديهية الاقتران تعني أنه لا توجد مجموعة عنصر من نفسها ، وأنه لا يوجد تسلسل لانهائي(أن){\displaystyle (a_{n})}بحيثأأنا+1{\displaystyle a_{i+1}}هو عنصر منأأنا{\displaystyle a_{i}}للجميعأنا{\displaystyle i}باستخدام بديهية الاختيار التابع (وهي صيغة مخففة من بديهية الاختيار )، يمكن عكس هذه النتيجة: إذا لم تكن هناك متتابعات لانهائية من هذا القبيل، فإن بديهية الانتظام تكون صحيحة. وبالتالي، في هذا السياق، تُكافئ بديهية الانتظام عبارة "لا توجد سلاسل عضوية لانهائية تنازلية".

صاغ فون نيومان هذه البديهية في الأصل ؛ [ 1 ] ثم اعتمدها زيرميلو بصياغة أقرب إلى تلك الموجودة في الكتب الدراسية المعاصرة . [ 2 ] وتظل جميع النتائج تقريبًا في فروع الرياضيات القائمة على نظرية المجموعات صحيحة حتى في غياب الانتظام. [ 3 ] ومع ذلك، فإن الانتظام يُسهّل إثبات بعض خصائص الأعداد الترتيبية ؛ ولا يسمح فقط بإجراء الاستقراء على المجموعات المرتبة ترتيبًا جيدًا ، بل يسمح أيضًا بإجراء الاستقراء على الفئات المناسبة التي تُمثل هياكل علائقية راسخة، مثل الترتيب المعجمي على{(ن،α)|ن∈ω∧α هو عدد ترتيبي }.{\textstyle \{(n,\alpha )\mid n\in \omega \land \alpha {\text{ أمر ترتيبي }}\}\,.}

بالنظر إلى البديهيات الأخرى لنظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات، فإن بديهية الانتظام تُكافئ بديهية الاستقراء . ويُستخدم عادةً بديهية الاستقراء بدلاً من بديهية الانتظام في النظريات الحدسية (التي لا تقبل قانون الوسط المرفوع )، حيث لا تكون البديهيتان متكافئتين.

بالإضافة إلى حذف بديهية الانتظام، فقد افترضت نظريات المجموعات غير القياسية بالفعل وجود مجموعات هي عناصر من نفسها.

الآثار الأولية للانتظام

لا توجد مجموعة هي عنصر من عناصر نفسها

يتركأ{\displaystyle A}لتكن مجموعة، ونطبق بديهية الانتظام على{أ}{\displaystyle \{A\}}وهي مجموعة وفقًا لمبدأ الاقتران . وبناءً على هذا المبدأ، يجب أن يكون هناك عنصر من{أ}{\displaystyle \{A\}}وهو منفصل عن{أ}{\displaystyle \{A\}}بما أن العنصر الوحيد من{أ}{\displaystyle \{A\}}يكونأ{\displaystyle A}لا بد أن يكون ذلكأ{\displaystyle A}منفصل عن{أ}{\displaystyle \{A\}}لذلك، بما أنأ∩{أ}=∅{\textstyle A\cap \{A\}=\varnothing }لا يمكننا أن نمتلكأ{\displaystyle A} عنصر منأ{\displaystyle A}(بحسب تعريف الانفصال ).

لا يوجد تسلسل تنازلي لانهائي من المجموعات

لنفترض، على العكس، وجود دالة f على مجموعة الأعداد الطبيعية بحيث يكون f ( n + 1) عنصرًا من f ( n ) لكل n . لنُعرّف S = { f ( n ): n عدد طبيعي}، وهي مدى الدالة f ، والتي يمكن اعتبارها مجموعة من خلال بديهية الاستبدال . بتطبيق بديهية الانتظام على S ، ليكن B عنصرًا من S ، وهو منفصل عن S. بحسب تعريف S ، يجب أن يكون B هو f ( k ) لعدد طبيعي k . مع ذلك، لدينا أن f ( k ) يحتوي على f ( k +1)، وهو أيضًا عنصر من S. إذن، f ( k +1) يقع في تقاطع f ( k ) و S. هذا يناقض حقيقة أنهما مجموعتان منفصلتان. بما أن افتراضنا أدى إلى تناقض، فلا بد من عدم وجود دالة f .

يمكن اعتبار عدم وجود مجموعة تحتوي على نفسها حالة خاصة حيث يكون التسلسل لانهائيًا وثابتًا.

لاحظ أن هذه الحجة تنطبق فقط على الدوال f التي يمكن تمثيلها كمجموعات، وليس كفئات غير قابلة للتعريف. تحقق المجموعات المنتهية وراثيًا ، V ω ، بديهية الانتظام (وجميع بديهيات ZFC الأخرى باستثناء بديهية اللانهاية ). لذا، إذا شكلنا قوة فائقة غير تافهة لـ V ω ، فإنها ستحقق أيضًا بديهية الانتظام. سيحتوي الهيكل الناتج على عناصر، تُسمى الأعداد الطبيعية غير القياسية، والتي تحقق تعريف الأعداد الطبيعية في ذلك الهيكل، ولكنها ليست أعدادًا طبيعية حقيقية. إنها أعداد طبيعية "وهمية" أكبر من أي عدد طبيعي فعلي. سيحتوي هذا الهيكل على عناصر تنازلية لا نهائية (بالنسبة لتفسير∈{\displaystyle \in }في البنية) تسلسلات العناصر. على سبيل المثال، لنفترض أن n عدد طبيعي غير قياسي، إذن(ن-1)∈ن{\textstyle (n-1)\in n}و(ن-2)∈(ن-1){\textstyle (n-2)\in (n-1)}وهكذا دواليك. لأي عدد طبيعي فعلي k ،(ن-ك-1)∈(ن-ك){\textstyle (n-k-1)\in (n-k)}هذه سلسلة تنازلية لا نهائية من العناصر. لكن هذه السلسلة غير قابلة للتعريف في البنية، وبالتالي فهي ليست مجموعة. لذا لا يمكن إثبات أي تناقض مع الانتظام.

تعريف أبسط للزوج المرتب باستخدام نظرية المجموعات

تُمكّننا بديهية الانتظام من تعريف الزوج المرتب ( أ ، ب ) على أنه { أ ، { أ ، ب }}؛ انظر الزوج المرتب لمزيد من التفاصيل. يُلغي هذا التعريف زوجًا واحدًا من الأقواس من تعريف كوراتوفسكي المتعارف عليه ( أ ، ب ) = {{ أ }، { أ ، ب }}.

لكل مجموعة رتبة ترتيبية

كان هذا في الواقع الشكل الأصلي للبديهية في عملية وضع البديهيات عند فون نيومان.

لإثبات ذلك من بديهية الانتظام، لنفترض أن x أي مجموعة. ولتكن t هي الإغلاق المتعدي للمجموعة { x }. ولتكن u المجموعة الجزئية من t التي تتكون من مجموعات غير مرتبة. إذا كانت u فارغة، فإن x مرتبة، وقد انتهينا. وإلا، نطبق بديهية الانتظام على u لنحصل على عنصر w من u منفصل عن u . بما أن w ينتمي إلى u ، فإن w غير مرتبة. w هي مجموعة جزئية من t بحسب تعريف الإغلاق المتعدي. وبما أن w منفصلة عن u ، فإن كل عنصر من عناصر w مرتب. بتطبيق بديهيتي الإحلال والاتحاد لدمج رتب عناصر w ، نحصل على رتبة ترتيبية لـ w ، وهي:رتبة⁡(w)=∪{رتبة⁡(z)+1|z∈w}{\textstyle \textstyle \operatorname {rank} (w)=\cup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in w\}}هذا يناقض الاستنتاج القائل بأن w غير مرتبة. لذا، فإن افتراض أن u غير فارغة خاطئ، ويجب أن تكون x مرتبة.

لكل مجموعتين، لا يمكن أن تكون إلا واحدة منهما عنصرًا من الأخرى

لتكن X و Y مجموعتين. بتطبيق بديهية الانتظام على المجموعة { X , Y } (الموجودة بحسب بديهية الاقتران)، نلاحظ أنه لا بد من وجود عنصر في { X , Y } منفصل عنها. يجب أن يكون هذا العنصر إما X أو Y. وبناءً على تعريف الانفصال، يجب أن يكون Y إما ليس عنصرًا في X أو العكس.

إن بديهية الاختيار التابع وعدم وجود تسلسل تنازلي لانهائي من المجموعات تستلزم الانتظام.

لنفترض أن المجموعة غير الفارغة S هي مثال مضاد لبديهية الانتظام؛ أي أن كل عنصر من S له تقاطع غير فارغ مع S. نُعرّف علاقة ثنائية R على S كما يلي:أRب:⇔ب∈S∩أ{\textstyle aRb:\Leftrightarrow b\in S\cap a}، وهو كاملٌ بافتراضنا. وبالتالي، وفقًا لمبدأ الاختيار التابع، توجد متتالية ( a<sub> n</sub> ) في S تحقق a <sub>n </sub> ∈ Ra<sub> n+1 </sub> لكل n في N. ولأن هذه سلسلة تنازلية لانهائية، نصل إلى تناقض، وبالتالي، لا توجد S من هذا القبيل .

الانتظام وبقية بديهيات ZF(C)

أظهر سكوليم [ 4 ] وفون نيومان [ 5 ] أن الانتظام متسق نسبيًا مع بقية نظرية ZF ، مما يعني أنه إذا كانت نظرية ZF بدون انتظام متسقة، فإن نظرية ZF (مع الانتظام) تكون متسقة أيضًا. [ 6 ]

كما ثبت أن بديهية الانتظام مستقلة عن البديهيات الأخرى لنظرية ZFC، بافتراض اتساقها. أعلن بول بيرنايز هذه النتيجة عام ١٩٤١، مع أنه لم ينشر برهانًا لها حتى عام ١٩٥٤. يتضمن البرهان نماذج (أو طريقة) تبديل ريجر-بيرنايز (وأدى إلى دراستها )، والتي استُخدمت في براهين أخرى للاستقلال في الأنظمة غير المؤسسة جيدًا. [ ٧ ] [ ٨ ]

الانتظام في الرياضيات العادية

نادرًا ما يكون لمبدأ الانتظام فائدة خارج نظرية المجموعات؛ فقد لاحظ كلٌّ من أ. أ. فرانكل، وي. بار-هيلل، وأ. ليفي [ 9 ] أن "حذفه لن يُعطِّل أي فرع من فروع الرياضيات". لذا، يُمكن اعتبار إدراجه بمثابة توضيحٍ لمعنى "المجموعة"، كما هو مُفصَّل في مُبرهنة موستوفسكي للانهيار (التي تُقدِّم العكس: أي أنَّ الانتماء إلى أي مجموعة ليس فقط علاقةً راسخةً وامتدادية، بل إنَّ أي علاقة من هذا القبيل تقبل مجموعةً مُناظرة). إذا ما أُجريت الرياضيات في إطارٍ أكثر هيكلية، على سبيل المثال باستخدام نظرية الأنواع أو نظرية المجموعات الهيكلية مثل ETCS ، فلن يُستخدم المبدأ على الإطلاق، إذ لا حاجة إليه لإثبات أنَّ Set ، وهي فئة المجموعات، تُشكِّل طوبولوجيا أولية . [ 10 ]

ومع ذلك، فإن لها استخدامات عملية، لا سيما في غياب بديهية الاختيار . ومن تطبيقاتها حيلة سكوت لبناء فئات التكافؤ لعلاقة معرفة على فئات مناسبة، كبديل لافتراض كون غروتينديك ؛ ويمكن استخدامها أيضًا كبديل للاختيار في برهان نظرية فروشت للمجموعات اللانهائية. [ 11 ]

الانتظام ومفارقة راسل

تُعاني نظرية المجموعات البسيطة (مخطط بديهية الفهم غير المقيد وبديهية الامتداد ) من عدم الاتساق بسبب مفارقة راسل . في الصياغات الرسمية المبكرة للمجموعات، تجنّب علماء الرياضيات والمنطق هذا التناقض ببساطة عن طريق استبدال مخطط بديهية الفهم بمخطط بديهية الفصل الأضعف بكثير . مع ذلك، تُؤدي هذه الخطوة وحدها إلى نظريات مجموعات تُعتبر ضعيفة للغاية. لذا، أُعيدت بعض قوة الفهم عبر بديهيات الوجود الأخرى لنظرية مجموعات ZF (الاقتران، والاتحاد، ومجموعة القوى ، والاستبدال، واللانهاية)، والتي يُمكن اعتبارها حالات خاصة من الفهم. حتى الآن، لا يبدو أن هذه البديهيات تُؤدي إلى أي تناقض. لاحقًا، أُضيفت بديهية الاختيار وبديهية الانتظام لاستبعاد النماذج ذات بعض الخصائص غير المرغوب فيها. ومن المعروف أن هاتين البديهيتين متسقتان نسبيًا.

في ظل وجود مخطط بديهية الفصل، تتحول مفارقة راسل إلى برهان على عدم وجود مجموعة شاملة لجميع المجموعات . كما أن بديهية الانتظام، إلى جانب بديهية الاقتران، تمنع وجود مثل هذه المجموعة الشاملة. ومع ذلك، تُقدّم مفارقة راسل برهانًا على عدم وجود "مجموعة شاملة لجميع المجموعات" باستخدام مخطط بديهية الفصل وحده، دون أي بديهيات إضافية. وعلى وجه الخصوص، فإن نظرية ZF، حتى بدون بديهية الانتظام، تمنع وجود مثل هذه المجموعة الشاملة.

إذا تم توسيع نظرية ما بإضافة بديهية أو بديهيات، فإن أي نتائج (قد تكون غير مرغوب فيها) للنظرية الأصلية تظل نتائج للنظرية الموسعة. على وجه الخصوص، إذا تم توسيع نظرية ZF بدون انتظام بإضافة انتظام للحصول على ZF، فإن أي تناقض نتج عن النظرية الأصلية سيظل قائماً في النظرية الموسعة.

إن وجود ذرات كواين (المجموعات التي تحقق المعادلة x  =  { x }، أي التي تحتوي على نفسها فقط) يتوافق مع النظرية التي تم الحصول عليها بإزالة بديهية الانتظام من نظرية ZFC. تسمح العديد من نظريات المجموعات غير المؤسسة بوجود مجموعات دائرية "آمنة"، مثل ذرات كواين، دون أن تصبح غير متسقة بسبب مفارقة راسل. [ 12 ]

الانتظام، والتسلسل الهرمي التراكمي، والأنواع

في ZF، يمكن إثبات أن الفئة⋃αVα{\textstyle \bigcup _{\alpha }V_{\alpha }}تُعرف هذه المجموعة باسم عالم فون نيومان ، وهي تُساوي فئة جميع المجموعات. هذه العبارة تُكافئ بديهية الانتظام (إذا عملنا في ZF مع حذف هذه البديهية). من أي نموذج لا يُحقق بديهية الانتظام، يُمكن بناء نموذج يُحققها بأخذ المجموعات الموجودة فقط في هذه المجموعة.⋃αVα{\textstyle \bigcup _{\alpha }V_{\alpha }}.

كتب هربرت إندرتون [ 13 ] أن "فكرة الرتبة هي امتداد لمفهوم راسل عن النوع ". وفي مقارنة بين ZF ونظرية الأنواع ، كتب ألاسدير أوركهارت أن "نظام زيرميلو يتميز بميزة تدوينية تتمثل في عدم احتوائه على أي متغيرات ذات أنواع محددة صراحةً، على الرغم من أنه في الواقع يمكن اعتباره ذا بنية نوعية ضمنية، على الأقل إذا تم تضمين بديهية الانتظام". [ 14 ] [ 15 ]

وذهبت دانا سكوت [ 16 ] إلى أبعد من ذلك وادّعت ما يلي:

الحقيقة هي أن هناك طريقة واحدة مُرضية لتجنب المفارقات، ألا وهي استخدام شكل من أشكال نظرية الأنواع . كان هذا أساس حدس كل من راسل وزيرميلو. في الواقع، أفضل طريقة للنظر إلى نظرية زيرميلو هي اعتبارها تبسيطًا وتوسيعًا لنظرية راسل. (ونقصد هنا نظرية راسل البسيطة للأنواع، بالطبع). تمثل التبسيط في جعل الأنواع تراكمية . وبالتالي، يصبح مزج الأنواع أسهل، ويتم تجنب التكرارات المزعجة. بمجرد السماح للأنواع اللاحقة بتراكم الأنواع السابقة، يمكننا حينها بسهولة تخيل توسيع الأنواع إلى ما وراء المنتهي - ولكن يبقى مدى التوسع الذي نرغب فيه غير محدد. لقد جعل راسل أنواعه صريحة في تدوينه، بينما تركها زيرميلو ضمنية . [التشديد في الأصل]

في الورقة البحثية نفسها، يوضح سكوت أن النظام البديهي القائم على الخصائص المتأصلة في التسلسل الهرمي التراكمي يتبين أنه مكافئ لـ ZF، بما في ذلك الانتظام. [ 17 ]

تاريخ

قدّم ديمتري ميريمانوف مفهوميْ "التأسيس الجيد" و" رتبة المجموعة" . [ 18 ] [ 19 ] أطلق ميريمانوف على المجموعة x اسم "منتظمة" ( بالفرنسية : ordinaire ) إذا كانت كل سلسلة تنازلية x ∋ x 1 ∋ x 2 ∋ ... منتهية. مع ذلك، لم يعتبر ميريمانوف مفهومه عن الانتظام (والتأسيس الجيد) بديهيةً يجب أن تُراعى في جميع المجموعات؛ [ 20 ] وفي أبحاث لاحقة، استكشف ميريمانوف أيضًا ما يُسمى الآن بالمجموعات غير المؤسسة جيدًا ( extraordinaire في مصطلحات ميريمانوف). [ 21 ]

أشار سكوليم [ 4 ] وفون نيومان [ 1 ] إلى أن المجموعات غير المؤسسة جيدًا زائدة عن الحاجة [ 22 ] ، وفي نفس المنشور، قدم فون نيومان بديهية [ 23 ] تستبعد بعض المجموعات غير المؤسسة جيدًا، وليس جميعها. [ 24 ] وفي منشور لاحق، قدم فون نيومان [ 25 ] نسخة مكافئة ولكنها أكثر تعقيدًا من بديهية تأسيس الفئات: [ 26 ]

أ≠∅→∃x∈أ(x∩أ=∅).{\displaystyle A\neq \emptyset \rightarrow \exists x\in A\,(x\cap A=\emptyset ).}

يعود الشكل المعاصر والنهائي لهذه البديهية إلى زيرميلو. [ 2 ]

الانتظام في وجود العناصر اليوريلية

العناصر الأولية هي كائنات ليست مجموعات، ولكنها قد تكون عناصر في مجموعات. في نظرية المجموعات ZF، لا توجد عناصر أولية، ولكن في بعض نظريات المجموعات الأخرى مثل ZFA ، توجد. في هذه النظريات، يجب تعديل بديهية الانتظام. العبارة "x≠∅{\textstyle x\neq \emptyset }يجب استبدال "ببيان"x{\textstyle x}ليس فارغًا وليس عنصرًا من عناصر اليوريا. أحد البدائل المناسبة هو(∃y)[y∈x]{\textstyle (\exists y)[y\in x]}، مما ينص على أن x مأهولة بالسكان .

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 فون نيومان 1925 .
  2. 1 2 زيرميلو 1930 .
  3. ↑ كونين 1980 ، الفصل 3.
  4. 1 2 سكوليم 1923 .
  5. ↑ فون نيومان 1929 .
  6. ↑ للاطلاع علىبرهانه بالترميز الحديث، انظرعلى سبيل المثال Vaught (2001 ، §10.1) .
  7. ↑ راثجين 2004 ، ص 193.
  8. ↑ فورستر 2003 ، ص 210-212.
  9. ↑ فرانكل، أ.أ.؛ بار-هيلل، ي.؛ ليفي، أ. (1973). أسس نظرية المجموعات . أمستردام: نورث هولاند. ISBN 0-7204-2270-1.
  10. ↑ شولمان، مايكل (2018). "مقارنة نظريات المجموعات المادية والبنيوية". حوليات المنطق البحت والتطبيقي . 170 (4): 465-504 . arXiv : 1808.05204 . doi : 10.1016/j.apal.2018.11.002 .
  11. ↑ بينسكي، برايان (2023). "نظرية فروخت بدون اختيار". arXiv : 2305.11382 [ math.LO ].
  12. ↑ ريجر 2011 ، ص 175، 178.
  13. ↑ إندرتون 1977 ، ص 206.
  14. ↑ تم توضيح تفاصيل هذا النوع الضمني في Zermelo 1930 ، ومرة ​​أخرى في Boolos 1971 .
  15. ↑ أوركهارت 2003 ، ص 305.
  16. ↑ سكوت 1974 .
  17. ↑ ليفي 2002 ، ص 73.
  18. ↑ ميريمانوف 1917 .
  19. ↑ انظر ليفي 2002 ، ص 68 وهاليت 1996 ، §4.4، وخاصة ص 186، 188 . 
  20. ^ هالبيسن 2012 ، ص 62-63.
  21. ^ سانجيورجي 2011 ، ص 17-19 ، 26.
  22. ^ فان هيجينورت 1967 ، ص. 404.
  23. ^ فان هيجينورت 1967 ، ص. 412.
  24. ↑ ريجر 2011 ، ص 179.
  25. ^ فون نيومان 1929 ، ص. 231.
  26. ↑ انظر سوبس 1972 ، ص 53 وليفي 2002 ، ص 72  

مصادر

  • بيرنايز، بول إسحاق (1941). " نظام نظرية المجموعات البديهية. الجزء الثاني". مجلة المنطق الرمزي . 6 (1): 1-17 . doi : 10.2307/2267281 . JSTOR 2267281. S2CID 250344277 .  
  • بيرنايز، بول إسحاق (1954). " نظام نظرية المجموعات البديهية. الجزء السابع" (ملف PDF) . مجلة المنطق الرمزي . 19 (2): 81-96 . doi : 10.2307/2268864 . JSTOR 2268864. S2CID 250351655 .  
  • بولوس، جورج (1971). "المفهوم التكراري للمجموعة". مجلة الفلسفة . 68 (8): 215-231 . doi : 10.2307/2025204 . JSTOR 2025204 . أُعيد طبعه في كتاب بولوس، جورج (1998). المنطق، المنطق، والمنطق . مطبعة جامعة هارفارد. الصفحات 13-29 . 
  • إندرتون، هربرت ب. (1977). عناصر نظرية المجموعات . دار النشر الأكاديمية.
  • فورستر، ت. (2003). المنطق والاستقراء والمجموعات . مطبعة جامعة كامبريدج.
  • هالبيسن، لورنز ج. (2012). نظرية المجموعات التوافقية: مع مقدمة مبسطة للإجبار . سبرينغر.
  • هالت، مايكل (1996) [نُشر لأول مرة عام 1984]. نظرية المجموعات الكانتورية وحدود الحجم . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-853283-5.
  • جيتش، توماس (2003). نظرية المجموعة (طبعة الألفية الثالثة  ). سبرينغر. رقم ISBN 978-3-540-44085-7.
  • كونين، كينيث (1980). نظرية المجموعات: مقدمة في براهين الاستقلال . إلسيفير. ISBN 978-0-444-86839-8.
  • ليفي، أزرييل (2002) [نُشر لأول مرة عام 1979]. نظرية المجموعات الأساسية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-42079-0.
  • ميريمانوف ، ديمتري (1917). "تناقضات راسل وبورالي فورتي والمشكلة الأساسية في نظرية المجموعات". L'Enseignement Mathématique (بالفرنسية). 19 : 37 – 52.
  • راثجن، م. (2004). "التنبؤية، والدورانية، والأساس المضاد" (ملف PDF) . في: لينك، جوديهارد (محرر). مئة عام من مفارقة راسل: الرياضيات، والمنطق، والفلسفة . والتر دي جرويتر. ISBN 978-3-11-019968-0تمت أرشفة الملف (PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 2022-10-09.
  • ريجر، آدم (2011). "المفارقة، ZF، وبديهية الأساس" (ملف PDF) . في: ديفيدي، ديفيد؛ هالت، مايكل؛ كلارك، بيتر (محررون). المنطق، الرياضيات، الفلسفة، شغف كلاسيكي. مقالات تكريمًا لجون ل. بيل . سلسلة غرب أونتاريو في فلسفة العلوم. المجلد  75. الصفحات 171-187 . CiteSeerX 10.1.1.100.9052 . doi : 10.1007/978-94-007-0214-1_9 . ISBN   978-94-007-0213-4.
  • ريغر، ل. (1957). "مساهمة في نظرية المجموعات البديهية لغودل" (ملف PDF) . المجلة الرياضية التشيكوسلوفاكية . 7 (3): 323-357 . doi : 10.21136/CMJ.1957.100254 .
  • سانجيورجي، دافيد (2011). "أصول التماثل الثنائي والاستقراء المشترك". في سانجيورجي، دافيد؛ روتن، جان (محرران). مواضيع متقدمة في التماثل الثنائي والاستقراء المشترك . مطبعة جامعة كامبريدج.
  • سكوت، دانا ستيوارت (1974). "وضع بديهيات في نظرية المجموعات". نظرية المجموعات البديهية. وقائع الندوات في الرياضيات البحتة . المجلد  13. الجزء الثاني، الصفحات 207-214.
  • سكوليم، ثورالف (1923). نظرية المجموعات البديهية .أعيد طبعه في من Frege إلى Gödel ، van Heijenoort، 1967، بالترجمة الإنجليزية لستيفان باور-مينجلبيرج، الصفحات  من 291 إلى 301.
  • سوبس، باتريك (1972) [نُشر لأول مرة عام 1960]. نظرية المجموعات البديهية . دوفر. ISBN 978-0-486-61630-8.
  • أوركهارت، ألاسدير (2003). "نظرية الأنماط". في: غريفين، نيكولاس (محرر). دليل كامبريدج لبرتراند راسل . مطبعة جامعة كامبريدج.
  • فوغت، روبرت ل. (2001). نظرية المجموعات: مقدمة (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 978-0-8176-4256-3.
  • فون نيومان، جون (1925). "Eine Axiomatisierung der Mengenlehre". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (باللغة الألمانية). 154 : 219 – 240.ترجمة في فان هيجينورت، جان (1967). من فريجه إلى غودل: كتاب مصادر في المنطق الرياضي، 1879-1931 . ص 393-413 . 
  • فون نيومان، جون (1928). "Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre". Mathematische Annalen (باللغة الألمانية). 99 : 373– 391. دوى : 10.1007 / BF01459102 . S2CID 120784562 . 
  • فون نيومان، جون (1929). "Über eine Widerspruchfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (باللغة الألمانية). 1929 (160): 227–241 . دوى : 10.1515/crll.1929.160.227 . S2CID 199545822 . 
  • زيرميلو، إرنست (1930). "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche. Neue Unter suchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (باللغة الألمانية). 16 : 29 – 47. دوى : 10.4064/fm-16-1-29-47 . أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 2022-10-09.ترجمة في إيوالد، دبليو بي، محرر (1996). من كانط إلى هيلبرت: كتاب مرجعي في أسس الرياضيات . المجلد 2. مطبعة كلارندون. الصفحات 1219-1233 .