عالم فون نيومان

رتبة المجموعة S هي أصغر قيمة لـ α بحيث${\displaystyle S\subseteq V_{\alpha }\,.}$بعبارة أخرى،${\displaystyle {\mathcal {P}}(V_{\alpha })}$هي مجموعة المجموعات ذات الرتبة ≤ α . ويمكن أيضاً وصف المرحلة V _α بأنها مجموعة المجموعات ذات الرتبة الأقل من α ، بغض النظر عما إذا كانت α تساوي 0، أو عددًا ترتيبيًا لاحقًا، أو عددًا ترتيبيًا نهائيًا.

$${\displaystyle V_{\alpha }:=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}(V_{\beta }).}$$

وهذا يعطي تعريفًا مكافئًا لـ V _α عن طريق الاستدعاء المتكرر المتجاوز.

بإدخال التعريف أعلاه لـ V _α مرة أخرى في تعريف رتبة المجموعة، نحصل على تعريف تكراري مكتفٍ ذاتيًا:

بعبارة أخرى،

$${\displaystyle \operatorname {rank} (S)=\bigcup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in S\}.}$$

يمكن تصور المراحل الخمس الأولى من فون نيومان V ₀ إلى V ₄ على النحو التالي. (يمثل المربع الفارغ المجموعة الفارغة. ويمثل المربع الذي يحتوي على مربع فارغ فقط المجموعة التي تحتوي على المجموعة الفارغة فقط، وهكذا.)

تُظهر هذه المتتالية نموًا رباعيًا . تحتوي المجموعة V₅ ^{على 2¹⁶} = 65536 عنصرًا؛ وتحتوي المجموعة V₆ على 2¹⁶ ₌ ^{65536 عنصرًا، وهو} _عدد يتجاوز بكثير عدد الذرات في الكون المرئي ؛ ولأي عدد طبيعي${\displaystyle n}$، تحتوي المجموعة V _{n +1}${\displaystyle 2\uparrow \uparrow n}$العناصر باستخدام ترميز سهم كنوت المتجه للأعلى . لذا، لا يمكن كتابة المراحل المحدودة للتسلسل الهرمي التراكمي بشكل صريح بعد المرحلة 5. المجموعة V _ω لها نفس عدد عناصر ω. المجموعة V _{ω + 1} لها نفس عدد عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية.

في نظرية زيرميلو-فرانكل القياسية للمجموعات ، V هي ببساطة الكون ، أي فئة جميع المجموعات. وهي فئة فعلية ، وبالتالي ليست " مجموعة جميع المجموعات "، على الرغم من أن كل مرحلة فردية Vα هي مجموعة، لأن الدليل _α يمتد على فئة جميع المجموعات الترتيبية، وهي فئة فعلية. وتعتمد شمولية V أيضًا على بديهية التأسيس (المعروفة أيضًا ببديهية الانتظام). في نظريات المجموعات غير المؤسسة ، يكون الكون أكبر من V لأن الأول يحتوي أيضًا على مجموعات غير مؤسسة.

غالبًا ما يُعرَّف V على أنه الكون، وعندها تعني الصيغة V = ⋃ _α V _α أن "كون مجموعات ZF يساوي التسلسل الهرمي التراكمي" - ليس تعريفًا، بل نظرية مكافئة لبديهية الانتظام. ^{[ 2 ] [ 3 ]} يذكر رويتمان (دون مراجع) أن تحقيق هذا التكافؤ يعود إلى فون نيومان. ^{[ 4 ]}

بحسب التعريف الحديث، لا تتضمن المجموعة V العناصر الأولية في المرحلة الأولى، وبالتالي فهي تحتوي فقط على " مجموعات نقية ". مع ذلك، _فإن بناء زيرميلو الأصلي لتسلسله الهرمي التكراري المتسامي في عام 1930 يشمل جميع العناصر الأولية في V1 ( P1 في تدوينه)، مع اعتبار المجموعة _{الفارغة} حالة خاصة من العنصر الأولي. ^{[ 5 ]}

_{إذا كانت} ω هي مجموعة الأعداد الطبيعية ، فإن Vω هي مجموعة المجموعات المنتهية وراثيًا ، وهو نموذج لنظرية المجموعات بدون بديهية اللانهاية . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

يمثل V ω _{+ ω} فضاء "الرياضيات العادية"، وهو نموذج لنظرية مجموعات زيرميلو (ولكنه _ليس نموذجًا لـ ZF ). ^{[ 8 ]} ومن الحجج البسيطة التي تدعم كفاية V _{ω + ω} ملاحظة أن V _ω+1 كافية للأعداد الصحيحة، بينما V _{ω +2} كافية للأعداد الحقيقية، ويمكن بناء معظم الرياضيات العادية الأخرى كعلاقات من أنواع مختلفة من هذه المجموعات دون الحاجة إلى بديهية الاستبدال للخروج من V _{ω + ω} .

إذا كان κ عددًا أصليًا غير قابل للوصول ، فإن V _κ هو نموذج لنظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل (ZFC) نفسها، و V _{κ +1} هو نموذج لنظرية مجموعات مورس-كيلي . ^{[ 9 ] [ 10 ]} (لاحظ أن كل نموذج ZFC هو أيضًا نموذج ZF، وكل نموذج ZF هو أيضًا نموذج Z).

يُحقق كون فون نيومان الخاصيتين التاليتين:

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\in V}$لكل مجموعة${\displaystyle x\in V}$.
• ${\displaystyle \bigcup x\in V}$لكل مجموعة جزئية${\displaystyle x\subseteq V}$.

في الواقع، إذا${\displaystyle x\in V}$، ثم${\displaystyle x\in V_{\alpha }}$بالنسبة لبعض الترتيب${\displaystyle \alpha }$أي مرحلة هي مجموعة متعدية ، وبالتالي كل${\displaystyle y\in x}$هو بالفعل${\displaystyle y\in V_{\alpha }}$وبالتالي كل مجموعة فرعية من${\displaystyle x}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle V_{\alpha }}$. لذلك،${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\subseteq V_{\alpha +1}}$و${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\in V_{\alpha +2}\subseteq V}$بالنسبة لاتحادات المجموعات الجزئية، إذا${\displaystyle x\subseteq V}$ثم لكل${\displaystyle y\in x}$، يترك${\displaystyle \beta _{y}}$ليكن أصغر عدد ترتيبي يكون فيه${\displaystyle y\in V_{\beta _{y}}}$لأنه بافتراض${\displaystyle x}$إذا كانت مجموعة، فيمكننا تكوين النهاية${\displaystyle \alpha =\sup\{\beta _{y}:y\in x\}}$المراحل تراكمية، وبالتالي تتكرر في كل مرة${\displaystyle y\in x}$يكون${\displaystyle y\in V_{\alpha }}$ثم كل${\displaystyle z\in y}$وهو أيضًا${\displaystyle z\in V_{\alpha }}$وهكذا${\displaystyle \cup x\subseteq V_{\alpha }}$و${\displaystyle \cup x\in V_{\alpha +1}}$.

تُشير مفارقة هيلبرت إلى عدم وجود مجموعة بالخصائص المذكورة أعلاه. ^{[ 11 ]} لنفترض${\displaystyle V}$كانت مجموعة. ثم${\displaystyle V}$ستكون جزءًا من نفسها، و${\displaystyle U=\cup V}$سوف ينتمي إلى${\displaystyle V}$وكذلك سيكون${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$ولكن بشكل عام، إذا${\displaystyle A\in B}$، ثم${\displaystyle A\subseteq \cup B}$. لذلك،${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)\subseteq \cup V=U}$وهو أمر مستحيل في نماذج ZFC مثل${\displaystyle V}$نفسها.

ومن المثير للاهتمام،${\displaystyle x}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle V}$إذا، وفقط إذا،${\displaystyle x}$هو عضو في${\displaystyle V}$لذلك، يمكننا النظر فيما يحدث إذا تم استبدال شرط الاتحاد بـ${\displaystyle x\in V\implies \cup x\in V}$في هذه الحالة، لا توجد تناقضات معروفة، وأي كون من عوالم غروتينديك يستوفي الصفتين الجديدتين. مع ذلك، يبقى وجود أكوان غروتينديك مسألةً خارجة عن نطاق نظرية ZFC.

بما أن الفئة الخامسة تُعتبر ساحةً لمعظم فروع الرياضيات، فمن المهم إثبات وجودها بشكلٍ ما. ولأن الوجود مفهومٌ معقد، يُستبدل عادةً سؤال الوجود بسؤال الاتساق، أي ما إذا كان المفهوم خاليًا من التناقضات. ويُشكّل عدم اكتمال غودل عقبةً رئيسية ، إذ يُشير ضمنيًا إلى استحالة إثبات اتساق نظرية مجموعات ZF في نظرية مجموعات ZF نفسها، شريطة أن تكون متسقةً بالفعل. ^{[ 12 ]}

تعتمد سلامة كون فون نيومان بشكل أساسي على سلامة الأعداد الترتيبية ، التي تعمل كمعامل رتبة في البناء، وعلى سلامة الاستقراء المتسامي ، الذي يُبنى بواسطته كل من الأعداد الترتيبية وكون فون نيومان. ويمكن القول إن سلامة بناء الأعداد الترتيبية تستند إلى ورقتي فون نيومان البحثيتين لعامي 1923 و1928. ^{[ 13 ]} ويمكن القول إن سلامة بناء V بالاستقراء المتسامي قد تم إثباتها في ورقة زيرميلو البحثية لعام 1930. ^{[ 5 ]}