جبر جوردان التربيعي

في الرياضيات ، تُعدّ جبر جوردان التربيعية تعميمًا لجبر جوردان الذي قدمه كيفن مكريمون ( 1966 ) . تُستخدم المتطابقات الأساسية للتمثيل التربيعي لجبر جوردان الخطي كمسلمات لتعريف جبر جوردان التربيعي على حقل ذي خاصية اختيارية. يوجد وصف موحد لجبر جوردان التربيعية البسيط ذي الأبعاد المحدودة، بغض النظر عن الخاصية. إذا كان العدد 2 قابلاً للعكس في حقل المعاملات، فإن نظرية جبر جوردان التربيعية تختزل إلى نظرية جبر جوردان الخطي.

تعريف

يتكون جبر جوردان التربيعي من فضاء متجهي A على حقل K مع عنصر مميز 1 وخريطة تربيعية من A إلى K- التشاكلات الداخلية لـ A ، a ↦ Q ( a )، والتي تحقق الشروط التالية:

$Q (1) = id$ ;
$Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a)$ ("الهوية الأساسية");
$Q (a) R (b, a) = R (a, b) Q (a)$ ("متطابقة التبديل"), حيث $R (a, b) c = (Q (a + c) - Q (a) - Q (c)) b .$

علاوة على ذلك، يجب أن تبقى هذه الخصائص ثابتة في ظل أي امتداد للكميات القياسية . ^{[ 1 ]}

عناصر

يكون العنصر a قابلاً للعكس إذا كانت $Q (a)$ قابلة للعكس، ويوجد عنصر $b$ بحيث تكون $Q (b)$ معكوس $Q (a)$ ، ويكون $Q (a) b = a$ . هذا العنصر b وحيد، ونقول إن b هو معكوس a . جبر قسمة جوردان هو جبر يكون فيه كل عنصر غير صفري قابلاً للعكس. ^{[ 2 ]}

بناء

ليكن B فضاءً جزئيًا من A. يُعرَّف B بأنه مثالي تربيعي ^{[ 3 ]} أو مثالي داخلي إذا كانت صورة Q ( b ) موجودة في B لكل b في B ؛ ويُعرَّف B بأنه مثالي خارجي إذا كان B مُسقطًا على نفسه بواسطة كل Q ( a ) لكل a في A. المثالي في A هو فضاء جزئي يكون مثاليًا داخليًا وخارجيًا في آنٍ واحد. ^[¹^] جبر جوردان التربيعي بسيط إذا لم يحتوِ على أي مثاليات غير تافهة. ^[²^]

بالنسبة لـ b المعطاة ، فإن صورة Q ( b ) هي مثال داخلي: نسمي هذا المثال الداخلي الرئيسي على b . ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]}

مركز ثقل A ، Γ ، هو مجموعة جزئية من End _K ( A ) تتكون من التشكلات الداخلية T التي "تتبادل" مع Q بمعنى أنه لكل a

T Q ( a ) = Q ( a ) T ;
Q ( Ta ) = Q ( a ) T ² .

مركز ثقل الجبر البسيط هو حقل: يكون A مركزيًا إذا كان مركز ثقله هو K فقط . ^{[ 5 ]}

أمثلة

جبر جوردان التربيعي من جبر ترابطي

إذا كانت A جبرًا ترابطيًا أحاديًا على K مع عملية ضرب ×، فيمكن تعريف دالة تربيعية Q من A إلى EndK ₍ A ) كما يلي : Q ( a ) : b ↦ a × b × a . يُعرّف هذا بنية جبر جوردان تربيعية على A. يكون جبر جوردان التربيعي مميزًا إذا كان متماثلًا مع جبر جزئي من هذا الجبر، وإلا فهو استثنائي . ^{[ 2 ]}

جبر جوردان التربيعي من شكل تربيعي

ليكن A فضاءً متجهيًا على K ، له شكل تربيعي q وشكل ثنائي خطي متناظر مرتبط به q ( x , y ) = q ( x + y ) - q ( x ) - q ( y ). ولتكن e "نقطة أساسية" لـ A ، أي عنصر يحقق q ( e ) = 1. عرّف دالة خطية T ( y ) = q ( y , e ) و"انعكاسًا" y ^* = T ( y ) e - y . لكل x، عرّف Q ( x ) كما يلي:

Q ( x ) : y ↦ q ( x , y ^∗ ) x − q ( x ) y ^∗ .

ثم يُعرّف Q جبر جوردان تربيعي على A. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

جبر جوردان التربيعي من جبر جوردان الخطي

ليكن A جبر جوردان أحاديًا على حقل K ذي خاصية لا تساوي 2. لكل عنصر a في A ، ليكن L دالة الضرب اليسرى في الجبر التجميعي المغلف

L(a):x\mapsto ax\

ونُعرّف التشكل الداخلي K لـ A ، والذي يُسمى التمثيل التربيعي ، بواسطة

\displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}

ثم يُعرّف Q جبر جوردان تربيعي.

جبر جوردان التربيعي المعرف بواسطة جبر جوردان الخطي

يمكن إثبات المتطابقات التربيعية في جبر جوردان ذي الأبعاد المحدودة على R أو C، وذلك باتباع ماكس كوشر الذي استخدم عنصرًا قابلًا للعكس. كما يسهل إثباتها في جبر جوردان المعرّف بجبر ترابطي أحادي (جبر جوردان "خاص")، حيث يكون في هذه الحالة Q ( a ) b = aba . ^{[ 8 ]} وهي صالحة في أي جبر جوردان على حقل ذي خاصية لا تساوي 2. وقد افترض جاكوبسون ذلك وأثبته ماكدونالد (1960) : إذ بيّن ماكدونالد أنه إذا كانت متطابقة متعددة الحدود في ثلاثة متغيرات، خطية في المتغير الثالث، صالحة في أي جبر جوردان خاص، فإنها تكون صالحة في جميع جبر جوردان. ^{[ 9 ]} وفي جاكوبسون (1969 ، الصفحات 19-21) ، يُقدّم برهان أولي ، منسوب إلى مكريمون وميبرغ، لجبر جوردان على حقل ذي خاصية لا تساوي 2.

برهان كوتشر

تنطبق حجج كوتشر على جبر جوردان ذي الأبعاد المحدودة على الأعداد الحقيقية أو المركبة. ^{[ 10 ]}

الهوية الأساسية الأولى

يُطلق على العنصر a في المجموعة A اسم "قابل للعكس" إذا كان قابلاً للعكس في R [ a ] أو C [ a ]. إذا كان b يرمز إلى المعكوس، فإن خاصية التجميع الأسي للعنصر a تُظهر أن L ( a ) و L ( b ) يتبادلان.

في الواقع، يكون المصفوفة a قابلة للعكس إذا وفقط إذا كانت Q ( a ) قابلة للعكس. في هذه الحالة

$\displaystyle {Q(a)^{-1}a=a^{-1},\,\,\,Q(a^{-1})=Q(a)^{-1}.}$

في الواقع، إذا كانت Q ( a ) قابلة للعكس، فإنها تنقل R [ a ] إلى نفسها. من ناحية أخرى، ^Q( a ) 1 = a2 ، لذا

\displaystyle {(Q(a)^{-1}a)a=aQ(a)^{-1}a=L(a)Q(a)^{-1}a=Q(a)^{-1}a^{2}=1.}

الهوية الأردنية

\displaystyle {[L(a),L(a^{2})](b)=0}

يمكن استقطابها باستبدال a بـ a + tc وأخذ معامل t . إعادة كتابة هذا كمؤثر مطبق على c ينتج

\displaystyle {2L(ab)L(a)+L(a^{2})L(b)=2L(a)L(b)L(a)+L(a^{2}b).}

بأخذ b = a ⁻¹ في متطابقة جوردان المستقطبة هذه، ينتج

\displaystyle {Q(a)L(a^{-1})=L(a).}

باستبدال a بمعكوسه، تتحقق العلاقة إذا كانت L ( a ) و L ( a ^-1 ) قابلتين للعكس. وإذا لم تكونا كذلك، فإنها تتحقق لـ a + ε1 حيث ε صغيرة كيفما شئنا، وبالتالي تتحقق أيضًا في النهاية.

إذا كان a و b قابلين للعكس، فإن Q ( a ) b قابل للعكس أيضًا ، وهو يحقق المتطابقة العكسية:
$\displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q(a^{-1})b^{-1}.}$
يُحقق التمثيل التربيعي المتطابقة الأساسية التالية:
$\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a).}$

لكل c في A و F ( a ) دالة على A بقيم في EndA ، ليكن DcF ₍ a ) مشتقة F ( a + tc ) عند t = 0 .

\displaystyle {c=D_{c}(Q(a)a^{-1})=2Q(a,c)a^{-1}+Q(a)D_{c}(a^{-1}),}

حيث Q ( a , b ) إذا كان استقطاب Q

\displaystyle {Q(a,c)={1 \over 2}(Q(a+c)-Q(a)-Q(c))=L(a)L(c)+L(c)L(a)-L(ac).}

بما أن L ( a ) يتبادل مع L ( a ⁻¹ )

\displaystyle {Q(a,c)a^{-1}=(L(a)L(c)+L(c)L(a)-L(ac))a^{-1}=c.}

لذلك

\displaystyle {c=2c+Q(a)D_{c}(a^{-1}),}

لهذا السبب.

$\displaystyle {D_{c}(a^{-1})=-Q(a)^{-1}c.}$

بتطبيق D _c على L ( a ⁻¹ ) Q ( a ) = L ( a ) والتأثير على b = c ⁻¹ ينتج

\displaystyle {(Q(a)b)(Q(a^{-1})b^{-1})=1.}

من جهة أخرى، يكون L ( Q ( a ) b ) قابلاً للعكس على مجموعة مفتوحة كثيفة، حيث يجب أن يكون Q ( a ) b قابلاً للعكس أيضًا.

\displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q(a^{-1})b^{-1}.}

بأخذ المشتقة D _c في المتغير b في التعبير أعلاه، نحصل على

\displaystyle {-Q(Q(a)b)^{-1}Q(a)c=-Q(a)^{-1}Q(b)^{-1}c.}

ينتج عن هذا المتطابقة الأساسية لمجموعة كثيفة من العناصر القابلة للعكس، وبالتالي فهي تتبع بشكل عام من خلال الاستمرارية. تشير المتطابقة الأساسية إلى أن c = Q ( a ) b قابلة للعكس إذا كان a و b قابلين للعكس، وتعطي صيغة لمعكوس Q ( c ). بتطبيقها على c، نحصل على متطابقة المعكوس بشكل عام.

متطابقة التبديل I

كما هو موضح أعلاه، إذا كانت المصفوفة a قابلة للعكس،

\displaystyle {Q(a,b)a^{-1}=b.}

بأخذ D _c مع a كمتغير، نحصل على

\displaystyle {0=Q(c,b)a^{-1}+Q(a,b)D_{c}(a^{-1})=Q(c,b)a^{-1}-Q(a,b)Q(a)^{-1}c.}

باستبدال a بـ a ^{− 1} نحصل على، وبتطبيق Q ( a ) واستخدام المتطابقة الأساسية نحصل على

\displaystyle {Q(a)Q(b,c)a=Q(a)Q(a^{-1},b)Q(a)c={\frac {1}{2}}Q(a)[Q(a^{-1}+b)-Q(a^{-1})-Q(b)]Q(a)c=Q(Q(a)b,a)c.}

لذلك

\displaystyle {Q(a)Q(b,c)a=Q(Q(a)b,a)c.}

يؤدي تبديل b و c إلى

\displaystyle {Q(a)Q(b,c)a=Q(a,Q(a)c)b.}

من جهة أخرى، يُعرَّف $R (x, y) بالعلاقة$ $R (x, y) z = 2Q (x, z) y$ ، وهذا يعني أن

\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=R(a,b)Q(a)c,}

بحيث يكون ذلك بالنسبة لدالة قابلة للعكس، وبالتالي، بحسب خاصية الاستمرارية، لجميع قيم a

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a).}$

برهان مكريمون-مايبرغ

هوية التبديل II

يمكن استقطاب متطابقة جوردان $a (a 2 b) = a 2 (ab) عن طريق استبدال$ a بـ a + tc وأخذ معامل t . وهذا يعطي ^{[ 11 ]}

\displaystyle {c(a^{2}b)+2a(ac)b)=a^{2}(cb)+2(ac)(ab).}

في تدوين المؤثرات، هذا يعني

$\displaystyle {[L(a^{2}),L(c)]+2[L(ac),L(a)]=0.}$

الاستقطاب مرة أخرى يعطي

\displaystyle {c((ad)b)+d((ac)b)+a((dc)b)=(cd)(ab)+(da)(cb)+(ac)(db).}

عند كتابتها كمؤثرات تعمل على d ، فإن هذا يعطي

\displaystyle {L(c)L(b)L(a)+L((ac)b)+L(a)L(b)L(c)=L(ab)L(c)+L(cb)L(a)+L(ac)L(b).}

باستبدال c بـ b و b بـ a نحصل على

$\displaystyle {L(b)L(a)^{2}+L(a(ab))+L(a)^{2}L(b)=L(a^{2})L(b)+2L(ab)L(a).}$

أيضًا، بما أن الجانب الأيمن متناظر في b و ' c ، فإن تبديل b و c على اليسار وطرح ، يتبع ذلك أن المبدلات [ L ( b ),L( c )] هي مشتقات من جبر جوردان.

يترك

\displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}

ثم Q ( a ) يتبادل مع L ( a ) بواسطة هوية جوردان.

من التعريفات، إذا كانت $Q (a, b) = ½(Q (a = b) - Q (a) - Q (b))$ هي التحويل الثنائي الخطي المتناظر المرتبط بها، فإن $Q (a, a) = Q (a)$ و

\displaystyle {Q(a,b)=L(a)L(b)+L(b)L(a)-L(ab).}

علاوة على ذلك

$\displaystyle {2Q(ab,a)=L(b)Q(a)+Q(a)L(b).}$

بالفعل

2 Q (ab, a) - L (b) Q (a) - Q (a) L (b) = 2 L (ab) L (a) + 2 L (a) L (ab) - 2 L (a (ab)) - 2 L (a) 2 L (b) - 2 L (b) L (a) 2 + L (a 2) L (b) + L (b) L (a 2).

يشير هذا إلى استقطاب الهويات الأردنية الثانية والأولى.

2 Q (ab, a) - L (b) Q (a) - Q (a) L (b) = 2[L (a), L (ab)] + [L (b), L (a 2)] = 0.

الصيغة المستقطبة لـ $[Q (a), L (a)] = 0$ هي

$\displaystyle {2[Q(a,b),L(a)]=2[L(b),Q(a)].}$

الآن، مع $R (a, b) = 2[L (a), L (b)] + 2L (ab)$ ، يترتب على ذلك أن

\displaystyle {Q(a)R(b,a)=2[Q(a)L(b),L(a)]+2Q(a)L(ab)=2[Q(ab,a),L(a)]+2[L(a),L(b)]Q(a)+2Q(a)L(ab).}

وبناءً على المتطابقة الأخيرة مع ab بدلاً من b، فإن هذا يستلزم متطابقة التبديل:

\displaystyle {Q(a)R(b,a)=2[L(a),L(b)]Q(a)+2L(ab)Q(a)=R(a,b)Q(a).}

يمكن تقوية المتطابقة Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) إلى

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a).}$

وبالفعل، عند تطبيقها على c ، فإن الحدين الأولين يعطيان

\displaystyle {2Q(a)Q(b,c)a=2Q(Q(a)c,a)b.}

ثم يؤدي تبديل b و c إلى

\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=2Q(Q(a)b,a)c.}

الهوية الأساسية ٢

تم إثبات الهوية $Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a)$ باستخدام علاقات أقواس لي ^{[ 12 ]}

$\displaystyle {[R(a,b),R(c,d)]=R(R(a,b)c,d)-R(c,R(b,a)d).}$

في الواقع، فإن الاستقطاب في c للمعادلة $Q (c) L (x) + L (x) Q (c) = 2Q (cx, c)$ يعطي

\displaystyle {Q(c,y)L(x)+L(x)Q(c,y)=Q(yx,c)+Q(cx,y).}

بتطبيق كلا الطرفين على d ، يتضح أن

\displaystyle {[L(x),R(c,d)]=R(xc,d)-R(c,xd).}

تنطبق هذه المعادلات تحديدًا على x = ab . من جهة أخرى، إذا كانت T = [ L ( a ), L ( b )]، فإن D ( z ) = Tz هو اشتقاق لجبر جوردان، وبالتالي

\displaystyle {[T,R(c,d)]=R(Dc,d)+R(c,Dd).}

تتحقق علاقات أقواس لي لأن R ( a , b ) = T + L ( ab ).

بما أن قوس لي الموجود على الجانب الأيسر غير متناظر،

$\displaystyle {R(R(a,b)c,d)-R(c,R(b,a)d)=-R(R(c,d)a,b)+R(a,R(d,c)b).}$

ونتيجة لذلك

$\displaystyle {R(y,Q(x)y)=R(y,x)^{2}-2Q(y)Q(x).}$

في الواقع، ضع a = y و b = x و c = z و d = x واجعل كلا الجانبين يؤثران على y .

على الجانب الآخر

$\displaystyle {2Q(Q(a)b)=2R(a,b)Q(Q(a)b,a)-Q(a)R(b,Q(a)b).}$

ويترتب على ذلك بالفعل وضع x = Q ( a ) b في

\displaystyle {[R(a,b),R(x,y)]a=-R(R(x,y)a,b)a+R(a,R(y,x)b)a.}

وبالتالي، بدمج هذه المعادلات مع متطابقة التبادل المعززة،

\displaystyle {2Q(Q(a)b)=2R(a,b)Q(Q(a)b,a)-R(b,a)Q(a)R(a,b)+2Q(a)Q(b)Q(a)=2Q(a)Q(b)Q(a).}

جبر جوردان الخطي المعرف بواسطة جبر جوردان التربيعي

ليكن A جبر جوردان تربيعي على R أو C. باتباع جاكوبسون (1969) ، يمكن ربط بنية جبر جوردان خطية بـ A بحيث إذا كان L ( a ) هو ضرب جوردان، فإن البنية التربيعية تعطى بواسطة Q ( a ) = 2 L ( a ) ² − L ( a ² ).

أولاً، يمكن تقوية البديهية Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) لتصبح

\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a).}

وبالفعل، عند تطبيقها على c ، فإن الحدين الأولين يعطيان

\displaystyle {2Q(a)Q(b,c)a=2Q(Q(a)c,a)b.}

ثم يؤدي تبديل b و c إلى

\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=2Q(Q(a)b,a)c.}

والآن لنبدأ

\displaystyle {L(a)={\frac {1}{2}}R(a,1).}

باستبدال b بـ a و a بـ 1 في المتطابقة أعلاه، نحصل على

\displaystyle {R(a,1)=R(1,a)=2Q(a,1).}

بخاصة

\displaystyle {L(a)=Q(a,1),\,\,\,L(1)=Q(1,1)=I.}

وإذا كان المصفوفة a قابلة للعكس، فإن

\displaystyle {R(a,b)=2Q(Q(a)b,a)Q(a)^{-1}=2Q(a)Q(b,a^{-1}).}

وبالمثل، إذا كان ' b' قابلاً للعكس

\displaystyle {R(a,b)=2Q(a,b^{-1})Q(b).}

يُعطى ناتج الأردن بواسطة

\displaystyle {a\circ b=L(a)b={\frac {1}{2}}R(a,1)b=Q(a,b)1,}

لهذا السبب.

\displaystyle {a\circ b=b\circ a.}

تُظهر الصيغة أعلاه أن 1 عنصر محايد. بتعريف a ² على النحو التالي: a ∘ a = Q ( a )1، فإن الشرط الوحيد المتبقي للتحقق منه هو متطابقة جوردان.

\displaystyle {[L(a),L(a^{2})]=0.}

في الهوية الأساسية

\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),}

استبدل a بـ a + t ، واجعل b = 1، وقارن معاملات t ² على كلا الجانبين:

\displaystyle {Q(a)=2Q(a,1)^{2}-Q(a^{2},1)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}

بوضع b = 1 في البديهية الثانية، نحصل على

\displaystyle {Q(a)L(a)=L(a)Q(a),}

وبالتالي يجب أن يكون L ( a ) قابلاً للتبادل مع L ( a ² ).

هوية التحول

في جبر جوردان الخطي الأحادي، تؤكد متطابقة الإزاحة أن

$\displaystyle {R(Q(a)b,b)=R(a,Q(b)a).}$

استنادًا إلى مايبرغ (1972) ، يمكن إثبات ذلك كنتيجة مباشرة للأشكال المستقطبة للهوية الأساسية وهوية التبادل أو هوية التماثل. كما أنها نتيجة لنظرية ماكدونالد لأنها هوية مؤثر تتضمن متغيرين فقط. ^{[ 13 ]}

بالنسبة لـ a في جبر جوردان الخطي الموحد A، يُعطى التمثيل التربيعي بواسطة

\displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}),}

إذن فإن التحويل الثنائي الخطي المتناظر المقابل هو

\displaystyle {Q(a,b)=L(a)L(b)+L(b)L(a)-L(ab).}

أما المعاملات الأخرى فتُعطى بالصيغة

\displaystyle {{\frac {1}{2}}R(a,b)=L(a)L(b)-L(b)L(a)+L(ab),}

لهذا السبب.

\displaystyle {Q(a,b)=2L(a)L(b)-{\frac {1}{2}}R(a,b).}

هوية التبديل أو التماثل

\displaystyle {R(a,b)Q(a)=Q(a)R(b,a)=2Q(Q(a)b,a),}

يمكن استقطابها في a . باستبدال a بـ a + t 1 وأخذ معامل t، نحصل على

$\displaystyle {L(b)Q(a)+R(a,b)L(a)=Q(a)L(b)+L(a)R(b,a)=L(Q(a)b)+2Q(ab,a).}$

الهوية الأساسية

\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a)}

يمكن استقطابها في a . باستبدال a بـ a + t 1 وأخذ معاملات t يعطي (تبديل a و b )

$\displaystyle {2Q(ab,a)=Q(a)L(b)+L(b)Q(a).}$

يؤدي دمج الهويتين المعروضتين سابقًا إلى

$\displaystyle {L(Q(a)b)+L(b)Q(a)=L(a)R(b,a),\,\,\,\,L(Q(b)a)+Q(b)L(a)=R(b,a)L(b).}$

باستبدال a بـ a + t 1 في المتطابقة الأساسية وأخذ معامل t ^2، نحصل على

\displaystyle {2Q(Q(a)b,b)-L(a)Q(b)L(a)=Q(a)Q(b)+Q(b)Q(a)-Q(ab).}

بما أن الجانب الأيمن متناظر، فهذا يعني

$\displaystyle {2Q(Q(a)b,b)-2Q(Q(b)a,a)=L(a)Q(b)L(a)-L(b)Q(a)L(b).}$

يمكن استخدام هذه المتطابقات لإثبات متطابقة الإزاحة:

\displaystyle {R(Q(a)b,b)=R(a,Q(b)a).}

وهو يعادل الهوية

\displaystyle {2L(Q(a)b)L(b)-Q(Q(a)b,b)=2L(a)L(Q(b)a)-Q(a,Q(b)a).}

وبناءً على الهوية المعروضة سابقاً، فإن هذا يعادل

\displaystyle {[L(Q(a)b)+L(b)Q(a)]L(b)=L(a)[L(Q(b)a)+Q(b)L(a)].}

من جهة أخرى، يمكن تبسيط الحدود بين القوسين باستخدام المتطابقة الثالثة المعروضة. وهذا يعني أن كلا الطرفين يساوي $½ L (a) R (b, a) L (b)$ .

$بالنسبة لجبر جوردان الأحادي ذي$ الأبعاد المحدودة، يمكن رؤية متطابقة الإزاحة بشكل مباشر باستخدام الطفرات . ^{[ 14 ]} ليكن a و b قابلين للعكس، وليكن $Lb (a) = R (a, b)$ هو ضرب جوردان في Ab ^. عندئذٍ $Q (b) Lb (a$ $)$ $=$ $La$ $($ $b$ $)$ $Q$ $($ $b$ $)$ . علاوة على ذلك $،$ $Q(b$ $)$ $Qb$ $($ $a$ $)$ $=$ $Q$ $($ $b$ $)$ $Q$ $($ $a$ $)$ $Q$ $($ $b$ $)$ $=$ $Qa(b)$ $Q$ $($ $b$ $)$ $.$ $من$ $جهة$ $أخرى$ $،$ Qb $($ $a) = 2Lb (a) ² - Lb (a², b) ، وبالمثل$ مع تبديل a و $b$ .

\displaystyle {L_{a}(b^{2,a})Q(b)=Q(b)L_{b}(a^{2,b}).}

هكذا

\displaystyle {R(Q(b)a,a)Q(b)=Q(b)R(Q(a)b,b)=R(b,Q(a)b)Q(b),}

وبالتالي، فإن متطابقة الإزاحة تنتج عن إلغاء Q ( b ). وتسمح حجة الكثافة بإسقاط فرضية الانعكاسية.

أحذية جوردان

تُنتج جبر جوردان الخطي الأحادي تطبيقًا تربيعيًا Q وتطبيقًا مرتبطًا به R يحققان المتطابقة الأساسية، وتبديل متطابقة التماثل، ومتطابقة الإزاحة. $يتكون$ زوج جوردان $(V +, V-)$ من فضاءين متجهيين $V \pm$ وتطبيقين تربيعيين $Q \pm$ من $V \pm$ إلى $V\mp$ . يحدد هذان التطبيقان تطبيقات ثنائية الخطية $R \pm$ من $V \pm \times V\mp$ إلى $V \pm$ بالصيغة $R (a, b) c = 2Q (a, c)$ $b$ $،$ حيث $2Q (a, c) = Q (a + c) - Q (a) - Q (c) . وبحذف الرموز \pm$ $،$ يجب أن تحقق هذه التطبيقات ^[¹⁵^] $.$

الهوية الأساسية

\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),}

هوية التبديل أو التماثل

\displaystyle {R(a,b)Q(a)=Q(a)R(b,a)=2Q(Q(a)b,a),}

وهوية التحول

\displaystyle {R(Q(a)b,b)=R(a,Q(b)a).}

يُعرّف جبر جوردان الأحادي A زوج جوردان عن طريق أخذ V _± = A مع خرائط البنية التربيعية Q و R.

انظر أيضاً

ملحوظات

1 2 راسين 1973 ، ص. 1
1 2 3 4 راسين 1973 ، ص. 2
↑ جاكوبسون 1968 ، ص 153
↑ جاكوبسون 1968 ، ص 154
↑ راسين 1973 ، ص 3
↑ جاكوبسون 1968 ، ص 35
↑ راسين 1973 ، الصفحات 5-6
↑
انظر:
- كوتشر 1999 ، الصفحات 72-76
- فاروت وكوراني 1994 ، ص 32-34
↑
انظر:
- جاكوبسون 1968 ، الصفحات 40-47، 52
↑
انظر:
- كوتشر 1999
- فاروت وكوراني 1994 ، ص 32-35
↑ مايبرغ 1972 ، الصفحات 66-67
↑ مايبرغ 1972
↑
انظر:
- مايبرغ 1972 ، الصفحات 85-86
- مكريمون 2004 ، الصفحات 202-203
↑ كوتشر 1999
↑ لوس 2006

مراجع

فارو، ج.؛ كوراني، أ. (1994)، التحليل على المخاريط المتناظرة ، سلسلة دراسات أكسفورد الرياضية، مطبعة جامعة أكسفورد، ISBN 0198534779
جاكوبسون، ن. (1968)، بنية وتمثيلات جبر جوردان ، منشورات ندوة الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد 39، الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 978-0-8218-4640-7
جاكوبسون، ن. (1969)، محاضرات في جبر جوردان التربيعي (ملف PDF) ، محاضرات معهد تاتا للبحوث الأساسية في الرياضيات، المجلد 45، بومباي: معهد تاتا للبحوث الأساسية، MR 0325715
كوتشر، م. (1999)، ملاحظات مينيسوتا حول جبر جوردان وتطبيقاته ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 1710، سبرينغر، ISBN 3-540-66360-6، Zbl 1072.17513
لوس، أوتمار (2006) [1975]، أزواج جوردان ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 460، سبرينغر، ISBN 978-3-540-37499-2
لوس، أوتمار (1977)، المجالات المتناظرة المحدودة وأزواج جوردان (ملف PDF) ، محاضرات رياضية، جامعة كاليفورنيا، إرفاين، مؤرشفة من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2016-03-03
ماكدونالد، آي جي (1960)، "جبر جوردان بثلاثة مولدات" ، وقائع جمعية لندن الرياضية ، 10 : 395-408 ، doi : 10.1112/plms/s3-10.1.395{{citation}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
مكريمون، كيفن (1966)، "نظرية عامة لحلقات جوردان"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية ، 56 (4): 1072-1079 ، doi : 10.1073/pnas.56.4.1072 ، JSTOR 57792 ، MR 0202783 ، PMC 220000 ، PMID 16591377 ، Zbl 0139.25502
مكريمون، كيفن (1975)، "الأساليب التربيعية في الجبر غير الترابطي"، وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات (فانكوفر، كولومبيا البريطانية، 1974)، المجلد 1 (PDF) ، الصفحات 325-330
مكريمون، كيفن (2004)، لمحة عن جبر جوردان ، سلسلة Universitext، دار نشر سبرينغر ، doi : 10.1007/b97489 ، ISBN 978-0-387-95447-9, السيد 2014924 , زبل 1044.17001 , خطأ فادح
مكريمون، كيفن (1978)، "جبر جوردان وتطبيقاته" ، نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 84 (4): 612-627 ، doi : 10.1090/s0002-9904-1978-14503-0
مايبرغ، ك. (1972)، محاضرات في الجبر والأنظمة الثلاثية (ملف PDF) ، جامعة فرجينيا
راسين، ميشيل ل. (1973)، حسابات جبر جوردان التربيعي ، مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد 136، الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-1836-7، Zbl 0348.17009

للمزيد من القراءة

فولكنر، جون ر. (1970)، مستويات الأوكتونيون المعرفة بواسطة جبر جوردان التربيعي ، مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد 104، الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 0-8218-5888-2، Zbl 0206.23301

[Rac1-1] 1 2 راسين 1973 ، ص. 1

[Rac2-2] 1 2 3 4 راسين 1973 ، ص. 2

[Jac153-3] جاكوبسون 1968 ، ص 153

[Jac154-4] جاكوبسون 1968 ، ص 154

[Rac3-5] راسين 1973 ، ص 3

[6] جاكوبسون 1968 ، ص 35

[7] راسين 1973 ، الصفحات 5-6

[8] انظر:
كوتشر 1999 ، الصفحات 72-76
فاروت وكوراني 1994 ، ص 32-34

[mwA-w] كوتشر 1999 ، الصفحات 72-76

[mwA_E] فاروت وكوراني 1994 ، ص 32-34

[9] انظر:
جاكوبسون 1968 ، الصفحات 40-47، 52

[mwA_s] جاكوبسون 1968 ، الصفحات 40-47، 52

[10] انظر:
كوتشر 1999
فاروت وكوراني 1994 ، ص 32-35

[mwBAQ] كوتشر 1999

[mwBAY] فاروت وكوراني 1994 ، ص 32-35

[11] مايبرغ 1972 ، الصفحات 66-67

[12] مايبرغ 1972

[13] انظر:
مايبرغ 1972 ، الصفحات 85-86
مكريمون 2004 ، الصفحات 202-203

[mwBBs] مايبرغ 1972 ، الصفحات 85-86

[mwBCA] مكريمون 2004 ، الصفحات 202-203

[14] كوتشر 1999

[15] لوس 2006

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗