الشكل الثنائي الخطي المتناظر

في الرياضيات ، يُعرَّف الشكل الثنائي الخطي المتناظر على فضاء متجهي بأنه دالة ثنائية خطية من نسختين من الفضاء المتجهي إلى حقل الأعداد القياسية، بحيث لا يؤثر ترتيب المتجهين على قيمة الدالة. بعبارة أخرى، هي دالة ثنائية خطية .${\displaystyle B}$هذا يحدد كل زوج${\displaystyle (u,v)}$عناصر الفضاء المتجهي${\displaystyle V}$إلى المجال الأساسي بحيث${\displaystyle B(u,v)=B(v,u)}$لكل${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$في${\displaystyle V}$كما يُشار إليها بإيجاز أكبر على أنها أشكال متناظرة فقط عندما يتم فهم "ثنائي الخطية".

تتطابق الأشكال الثنائية الخطية المتناظرة على فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة بدقة مع المصفوفات المتناظرة المعطاة لأساس لـ${\displaystyle V}$من بين الأشكال الثنائية الخطية، تعتبر الأشكال المتناظرة مهمة لأنها تلك التي يسمح لها فضاء المتجهات بنوع بسيط بشكل خاص من الأساس المعروف باسم الأساس المتعامد (على الأقل عندما لا تكون خاصية الحقل 2).

بالنظر إلى شكل ثنائي خطي متناظر${\displaystyle B}$، الوظيفة${\displaystyle q(x)=B(x,x)}$هي الصيغة التربيعية المرتبطة بها على الفضاء المتجهي. علاوة على ذلك، إذا لم تكن خاصية الحقل تساوي 2،${\displaystyle B}$هو الشكل الثنائي الخطي المتناظر الفريد المرتبط بـ${\displaystyle q}$.

ليكن V فضاءً متجهيًا ذا بُعد n على حقل K. تطبيق${\displaystyle B:V\times V\rightarrow K}$تكون صيغة ثنائية خطية متناظرة على الفضاء إذا:

• ${\displaystyle B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v\in V}$
• ${\displaystyle B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,v,w\in V}$
• ${\displaystyle B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w\in V}$

إن البديهيتين الأخيرتين تثبتان الخطية في الحجة الأولى فقط، لكن البديهية الأولى (التناظر) تستلزم الخطية في الحجة الثانية أيضًا.

يترك${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$، ال${\displaystyle n}$في فضاء إحداثيات حقيقي ذي أبعاد . عندئذٍ يكون الضرب النقطي القياسي شكلاً ثنائي الخطية متناظراً.${\displaystyle B(x,y)=x\cdot y}$. المصفوفة المقابلة لهذا الشكل الثنائي الخطي (انظر أدناه) على أساس قياسي هي مصفوفة الوحدة .

يترك${\displaystyle V}$ليكن أي فضاء متجهي (بما في ذلك الفضاءات ذات الأبعاد اللانهائية المحتملة)، وافترض${\displaystyle T}$هي دالة خطية من${\displaystyle V}$إلى الحقل ( بصيغة خطية ). ثم الدالة المعرفة بواسطة${\displaystyle B(x,y)=T(x)T(y)}$هو شكل ثنائي الخطية متناظر.

يترك${\displaystyle V}$ليكن فضاء المتجهات للدوال الحقيقية المتصلة ذات المتغير الواحد.${\displaystyle f,g\in V}$يمكن للمرء أن يحدد${\displaystyle \textstyle B(f,g)=\int _{0}^{1}f(t)g(t)dt}$. وباستخدام خصائص التكاملات المحددة ، فإن هذا يُعرّف شكلاً ثنائي الخطية متناظراً على${\displaystyle V}$هذا مثال على شكل ثنائي خطي متناظر غير مرتبط بأي مصفوفة متناظرة (لأن الفضاء المتجهي لا نهائي الأبعاد).

يترك${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$لتكون أساسًا لـ${\displaystyle V}$عرّف${\displaystyle n\times n}$مصفوفة${\displaystyle A}$بواسطة${\displaystyle A_{ij}=B(e_{i},e_{j})}$المصفوفة${\displaystyle A}$هي مصفوفة متناظرة تحديدًا بسبب تناظر الشكل الثنائي الخطي. إذا افترضنا${\displaystyle n\times 1}$مصفوفة${\displaystyle x}$يمثل المتجه${\displaystyle v}$فيما يتعلق بهذا الأساس، وبالمثل دع${\displaystyle n\times 1}$مصفوفة${\displaystyle y}$يمثل المتجه${\displaystyle w}$، ثم${\displaystyle B(v,w)}$يُعطى بواسطة:

$${\displaystyle x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.}$$

يفترض${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$ويُعد ذلك أساسًا آخر لـ${\displaystyle V}$، مع ${\displaystyle {\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S}$، أين${\displaystyle S}$هو قابل للعكس${\displaystyle n\times n}$المصفوفة. ثم يُعطى التمثيل المصفوفي الجديد للشكل الثنائي الخطي المتناظر بواسطة

$${\displaystyle A'=S^{\mathsf {T}}AS.}$$

متجهان${\displaystyle v}$و${\displaystyle w}$تُعرَّف بأنها متعامدة بالنسبة للشكل الثنائي الخطي${\displaystyle B}$لو${\displaystyle B(v,w)=0}$، وهو ما يعادل، بالنسبة للصيغة الثنائية الخطية المتناظرة، ما يلي:${\displaystyle B(w,v)=0}$.

جذر الشكل الثنائي الخطي${\displaystyle B}$هي مجموعة المتجهات المتعامدة مع كل متجه في${\displaystyle V}$أن هذا فضاء جزئي من${\displaystyle V}$وينتج ذلك عن خطية${\displaystyle B}$في كل وسيط من وسائطها. عند العمل مع تمثيل المصفوفة${\displaystyle A}$فيما يتعلق بأساس معين،${\displaystyle v}$، ممثلة بـ${\displaystyle x}$، يكون في الجذر إذا وفقط إذا

$${\displaystyle Ax=0\Longleftrightarrow x^{\mathsf {T}}A=0.}$$

المصفوفة${\displaystyle A}$تكون مفردة إذا وفقط إذا كان الجذر غير تافه.

لو${\displaystyle W}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle V}$ثم مكملها المتعامد${\displaystyle W^{\perp }}$هي مجموعة جميع المتجهات في${\displaystyle V}$التي تكون متعامدة مع كل متجه في${\displaystyle W}$؛ إنه فضاء جزئي من${\displaystyle V}$. متى${\displaystyle B}$غير منحل، جذر${\displaystyle B}$أمر تافه، وبُعد${\displaystyle W^{\perp }}$يكون${\displaystyle \dim(W^{\perp })=\dim(V)-\dim(W)}$.

أساس${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$يكون متعامدًا بالنسبة إلى B إذا وفقط إذا:

${\displaystyle B(e_{i},e_{j})=0\ \forall i\neq j.}$

عندما لا تكون خاصية المجال اثنين، فإن V يمتلك دائمًا أساسًا متعامدًا. ويمكن إثبات ذلك بالاستقراء الرياضي .

تكون القاعدة C متعامدة إذا وفقط إذا كان تمثيل المصفوفة A عبارة عن مصفوفة قطرية .

ليكن B شكلاً ثنائي الخطية متناظراً مع جذر تافه على الفضاء V فوق الحقل K ذي الخاصية ليس 2. يمكن الآن تعريف تطبيق من D( V )، وهي مجموعة جميع الفضاءات الجزئية من V ، إلى نفسها:

${\displaystyle \alpha :D(V)\rightarrow D(V):W\mapsto W^{\perp }.}$

هذه الخريطة عبارة عن قطبية متعامدة على الفضاء الإسقاطي PG( W ). وبالعكس، يمكن إثبات أن جميع القطبيات المتعامدة تُستحث بهذه الطريقة، وأن شكلين ثنائيي الخطية متناظرين بجذر تافه يستحثان نفس القطبية إذا وفقط إذا كانا متساويين حتى الضرب القياسي .

• أدكينز، ويليام أ.؛ وينتروب، ستيفن هـ. (1992). الجبر: مدخل عبر نظرية الوحدات . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  136. سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 3-540-97839-9. Zbl 0768.00003 . 
• ميلنور، ج . هوسمولر، د. (1973). أشكال ثنائية الخطية متناظرة . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . المجلد.  73. سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 . 
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الصيغة الثنائية الخطية المتناظرة" . عالم الرياضيات .