كوادراتريكس

في الهندسة ، فإن المنحنى التربيعي ( من الكلمة اللاتينية quadrator التي تعني " المربع " ) هو منحنى يمكن استخدامه في التربيع ، أي إنشاء المساحة تحت منحنى آخر. 

فعلى سبيل المثال، في حساب التكامل كما طوره غوتفريد فيلهلم لايبنتز ، كان مربع منحنى (رسم بياني لدالة) عبارة عن منحنى آخر، وهو الرسم البياني لتكامله غير المحدد : ويمكن إنشاء المساحة تحت المنحنى الأول من${\displaystyle y}$إحداثيات النقاط على المنحنى التربيعي. تم التعبير عن خاصية كونها تكاملاً غير محدد هندسيًا، على أنها مساواة بين${\displaystyle y}$- إحداثيات على المنحنى الأول والمنحنيات الفرعية للمنحنى الثاني، والفرق بينهما${\displaystyle x}$إحداثيات نقطة على المنحنى و${\displaystyle x}$إحداثيات النقطة التي يتقاطع عندها خط عمودي على المنحنى مع${\displaystyle x}$المحور -. ^{[ 1 ]}

تُسمى بعض المنحنيات المحددة بالمنحنى التربيعي. وأشهر منحنيين من هذه الفئة هما منحنى هيباس التربيعي ومنحنى إي دبليو تشيرنهاوس التربيعي ، واللذان يمكن استخدامهما لتربيع الدائرة ، أي إنشاء مربع بمساحة دائرة معينة.

كانت منحنى هيباس التربيعي معروفة جيدًا لدى علماء الهندسة الإغريق القدماء ، وقد ذكره بروكلس ، الذي نسب اختراع المنحنى إلى معاصر لسقراط ، وربما كان هيباس الإليسي . ناقش دينوستراتوس، عالم الهندسة الإغريقي وتلميذ أفلاطون ، المنحنى، وبيّن كيف أنه يُحقق حلًا ميكانيكيًا لتربيع الدائرة . تناول بابوس ، في كتابه "المجموعات" ، تاريخه، وقدّم طريقتين يمكن من خلالهما توليده.

إحدى طرق إنشاء الشكل الهندسي هي كما يلي: DAB هو ربع دائرة يُقسّم فيه الخط DA والقوس DB إلى عدد متساوٍ من الأجزاء. تُرسَم أنصاف أقطار من مركز الربع إلى نقاط تقسيم القوس، وتتقاطع هذه الأقطار مع الخطوط المرسومة بالتوازي مع AB والتي تمر بالنقاط المقابلة على نصف القطر DA . المحل الهندسي لهذه التقاطعات هو الشكل التربيعي.

النقطة التي يتقاطع عندها المنحنى مع المحور الصادي هي y = 2a /π ؛ لذا، إذا أمكن رسم المنحنى بدقة، يُمكن رسم قطعة مستقيمة طولها مضاعف نسبي لـ 1/ π ، مما يؤدي إلى حل المسألة الكلاسيكية لتربيع الدائرة . وبما أن هذا مستحيل باستخدام الفرجار والمسطرة ، فإن رسم المنحنى التربيعي بدوره لا يُمكن باستخدامهما. كما أن الرسم الدقيق للمنحنى التربيعي سيُتيح حل مسألة كلاسيكية أخرى معروفة باستحالة رسمها باستخدام الفرجار والمسطرة: وهي تثليث الزاوية .

يُنشأ مربع تشيرنهاوس ^{[ 2 ]} بتقسيم قوس ونصف قطر ربع دائرة إلى نفس عدد الأجزاء المتساوية كما في السابق. وتُمثل نقاط التقاطع بين الخطوط المرسومة من نقاط تقسيم القوس الموازية لـ DA ، والخطوط المرسومة الموازية لـ AB والمارّة بنقاط تقسيم DA ، نقاطًا على المربع. والمعادلة الديكارتية هي${\displaystyle y=a\cos \!{\big (}{\tfrac {\pi x}{2a}}{\big )}}$المنحنى دوري، ويقطع المحور السيني عند النقاط التالية${\displaystyle x=(2n-1)a}$،${\displaystyle n}$كونه عددًا صحيحًا؛ القيم القصوى لـ${\displaystyle y}$نكون${\displaystyle a}$. خصائصها مشابهة لخصائص المربع الخاص بدينوستراتوس.

ومن المنحنيات الأخرى التي استخدمت تاريخياً لتربيع الدائرة الحلزون الأرخميدسي والشكل القوقعي .

• تتضمن هذه المقالة نصًا من منشور أصبح الآن ملكًا عامًا : تشيشولم، هيو ، محرر (1911). " المربعة ". الموسوعة البريطانية . المجلد 22 ( الطبعة الحادية عشرة). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 706.     

• مربع هيباس ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات
• دراسة في الإنشاءات الهندسية التاريخية ، التقارب ، MAA