مربع هيباس

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 71 صور
الموسوعة الحرة

المربع (باللون الأحمر)؛ لقطة للحركتين E وF بعد إتمام 60% من حركتيهما

المنحنى التربيعي أو المنحنى الثلاثي لهيباس (ويُسمى أيضًا المنحنى التربيعي لدينوستراتوس ) [ 1 ] هو منحنى ينشأ عن حركة منتظمة . يُرسم هذا المنحنى بنقطة تقاطع خطين ، أحدهما يتحرك انتقاليًا بسرعة منتظمة، والآخر يدور حول إحدى نقاطه بسرعة منتظمة. ويؤدي تعريف بديل له كمنحنى وسيطي إلى تكافؤ بين المنحنى التربيعي، وصورة دالة لامبرت W ، ورسم الدالة.y=xسرير أطفال⁡x{\displaystyle y=x\cot x}.

يُنسب اكتشاف هذا المنحنى إلى الفيلسوف اليوناني هيباس الإليسي ، حوالي عام 420 قبل الميلاد. وقد أشار مؤرخو الرياضيات إلى أن هيباس استخدمه لحل مسألة تثليث الزاوية ، ومن هنا جاءت تسميته بمنحنى التثليث . وفي وقت لاحق، حوالي عام 350 قبل الميلاد ، استخدمه دينوستراتوس لحل مسألة تربيع الدائرة ، ومن هنا جاءت تسميته بمنحنى التربيع . تربط نظرية دينوستراتوس ، التي استخدمها لتربيع الدائرة، نقطة نهاية المنحنى بقيمة π . يمكن حل كل من مسألة تثليث الزاوية وتربيع الدائرة باستخدام الفرجار والمسطرة ونسخة معطاة من هذا المنحنى؛ ومع ذلك، لا يمكن حلهما باستخدام الفرجار والمسطرة فقط. على الرغم من إمكانية إنشاء مجموعة كثيفة من النقاط على المنحنى باستخدام الفرجار والمسطرة، مما يسمح بتقريب هذه المسائل، إلا أنه لا يمكن إنشاء المنحنى بأكمله بهذه الطريقة.

منحنى هيباس التربيعي هو منحنى متسامٍ . وهو أحد المنحنيات العديدة المستخدمة في الرياضيات اليونانية لتربيع الدائرة.

التعريفات

عن طريق تحريك الخطوط

لنفترض مربعًاأبجد{\displaystyle ABCD}وقوس ربع دائرة محفور عليه مركزه عندأ{\displaystyle A}بنصف قطر يساوي طول ضلع المربع. ليكنهـ{\displaystyle E}لتكن نقطة تتحرك بسرعة زاوية ثابتة على طول القوس مند{\displaystyle D}لب{\displaystyle B}ودعF{\displaystyle F}لتكن نقطة تتحرك في نفس الوقت بسرعة ثابتة مند{\displaystyle D}لأ{\displaystyle A}على طول قطعة مستقيمةأد¯{\displaystyle {\overline {AD}}}، لهذا السببهـ{\displaystyle E}وF{\displaystyle F}يبدأ في نفس الوقتد{\displaystyle D}ويصلون في نفس الوقت إلىب{\displaystyle B}وأ{\displaystyle A}ثم يُعرَّف المربع بأنه موضع تقاطع القطع المستقيمةأهـ¯{\displaystyle {\overline {AE}}}مع الخط الموازي لـأب¯{\displaystyle {\overline {AB}}}خلالF{\displaystyle F}[ 2 ] [ 3 ]​

مقطع حلزوني

لنفترض أن مستوىً ما يحتوي على خطين، أحدهما يتحرك دورانًا والآخر انتقالًا داخل المستوى، وأن هذه المجموعة بأكملها تتحرك أيضًا خطيًا، في اتجاه عمودي على المستوى، عبر الفضاء ثلاثي الأبعاد. عندئذٍ، سترسم الحركة المشتركة للمستوى مع الخط المنتقل سطحًا مائلًا ، بينما سترسم الحركة المشتركة للمستوى مع الخط الدوار سطحًا حلزونيًا . سترسم نقطة تقاطع الخطين منحنىً فضائيًا، ومسقطه على المستوى الأصلي هو المنحنى التربيعي. لاحظ بابوس الإسكندري أنه يمكن عكس هذا البناء: بتقاطع سطح حلزوني مع سطح مائل مُختار بعناية، ثم إسقاط منحنى التقاطع على مستوى، يمكن تكوين منحنى تربيعي. [ 4 ]

معادلة بارامترية

المنحنى التربيعي كمنحنى مستوٍ لطول الضلعأ=1{\displaystyle a=1}، المعطاة بالصيغة البارامترية لـ − ∞ < t < ∞ . تتوافق نقاط التفرد في الصيغة البارامترية، لقيم t التي هي مضاعفات صحيحة غير صفرية لـ π ، مع إحداثيات y صحيحة زوجية ، حيث يقفز المنحنى من إحداثيات x سالبة إلى إحداثيات x موجبة .

اختر الإحداثيات الديكارتية بحيث يكون المربع المحددأبجد{\displaystyle ABCD}يقع جزء من المصفوفة التربيعية في الربع الموجب ، معأ{\displaystyle A}في الأصل(0،0){\displaystyle (0,0)}وب{\displaystyle B}عند النقطة(أ،0){\displaystyle (a,0)}أينأ{\displaystyle a}يمثل طول ضلع المربع. ولتحديد ذلك، من الملائم عكس حركة الخطين المحددين للمربع بحيث يبدآن معًا علىx{\displaystyle x}المحور - في الوقتت=0{\displaystyle t=0}وتنتهي بالتقاطع عندد{\displaystyle D}في ذلك الوقتت=π2{\displaystyle t={\tfrac {\pi }{2}}}لا يُغيّر هذا الانعكاس المنحنى الذي ترسمه الخطوط. عندئذٍ، يمكن وصف المنحنى التربيعي بمعادلات وسيطية تُعطي إحداثيات كل نقطة على المنحنى كدالة لمعامل الزمن.ت{\displaystyle t}، مثل x(ت)=2أπتسرير أطفال⁡(ت){\displaystyle x(t)={\frac {2a}{\pi }}t\cot(t)} و y(ت)=2أπت،{\displaystyle y(t)={\frac {2a}{\pi }}t,} أينسرير أطفال{\displaystyle \cot }هي دالة ظل التمام . [ 5 ]

يمكن استخدام هذا الوصف أيضًا لإعطاء تعريف تحليلي بدلاً من تعريف هندسي للمربع، ولتوسيعه ليشمل قيمًا منت{\displaystyle t}ما وراء(0،π2]{\displaystyle (0,{\tfrac {\pi }{2}}]}الفترة . ومع ذلك، يظل المنحنى الممتد غير مُعرَّف لقيم .ت{\displaystyle t}التي هي مضاعفات صحيحة لـπ{\displaystyle \pi }، لأنسرير أطفال⁡(ت){\displaystyle \cot(t)}تكون الدالة منفردة عند تلك القيم.ت=0{\displaystyle t=0}يمكن إزالة التفرد عن طريق تقييمه باستخدام النهايةليمت→0تسرير أطفال⁡(ت)=1{\displaystyle \lim _{t\to 0}t\cot(t)=1}، والتي تم الحصول عليها كنسبة بين دالة التطابق ودالة الظل باستخدام قاعدة لوبيتال . إزالة التفرد بهذه الطريقة وتوسيع التعريف البارامتري ليشمل القيم السالبة لـت{\displaystyle t}ينتج عنه منحنى مستوٍ متصل على نطاق قيم المعلمات-π<ت<π{\displaystyle -\pi <t<\pi }يمكن اعتبار هذا الجزء من المنحنى بمثابة الجزء المركزي⊃{\displaystyle \supset }فرع على شكل حرف - من الشكل. [ 5 ]

عند انعكاسها من اليسار إلى اليمين وتغيير حجمها بشكل مناسب في المستوى المركب ، تُشكّل المصفوفة التربيعية صورة المحور الحقيقي لأحد فروع دالة لامبرت W. أما صور الفروع الأخرى فتتكون من منحنيات أعلى وأسفل المصفوفة التربيعية، بالإضافة إلى المحور الحقيقي نفسه. [ 6 ]

كرسم بياني لدالة

التربيعية كرسم بياني لدالة لـأ=1{\displaystyle a=1}

لوصف الشكل التربيعي بأنه رسم بياني لدالة غير متفرعة ، من المفيد تبديلy{\displaystyle y}المحور السيني وx{\displaystyle x}المحور - أي وضع الجانبأب¯{\displaystyle {\overline {AB}}}علىy{\displaystyle y}المحور السيني بدلاً من المحور الرأسيx{\displaystyle x}المحور -. ثم يشكل الشكل التربيعي الرسم البياني للدالة [ 7 ] [ 8 ]و(x)=x⋅سرير أطفال⁡(π2أ⋅x).{\displaystyle f(x)=x\cdot \cot \left({\frac {\pi }{2a}}\cdot x\right).}

تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء

بوصلة مربعة
تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء

يستحيل تقسيم زاوية عشوائية إلى ثلاثة أجزاء باستخدام الفرجار والمسطرة فقط . مع ذلك، إذا سُمح باستخدام أداة التربيع كأداة إضافية، فمن الممكن تقسيم زاوية عشوائية إلى ثلاثة أجزاء.ن{\displaystyle n}قطاعات متساوية، وبالتالي تقسيم ثلاثي (ن=3{\displaystyle n=3}يصبح ذلك ممكناً. عملياً، يمكن رسم الشكل التربيعي باستخدام قالب أو بوصلة تربيعية (انظر الرسم). [ 2 ] [ 3 ] [ 9 ]

بحسب تعريف الشكل التربيعي، فإن الزاوية المقطوعة تتناسب مع طول الجزء المقطوع من ضلع المربع المقابل. لذلك، بتقسيم هذا الجزء على الضلع إلىن{\displaystyle n}يؤدي تقسيم الزاوية المرتبطة إلى أجزاء متساويةن{\displaystyle n}أجزاء متساوية أيضًا. تقسيم القطعة المستقيمة إلىن{\displaystyle n}يمكن تقسيم الأجزاء المتساوية باستخدام المسطرة والفرجار بسبب نظرية التقاطع . [ 10 ]

بتفصيل أكثر، لتقسيم زاوية معينة∠بأهـ{\displaystyle \angle BAE}(بحد أقصى 90 درجة) إلى أي عدد مرغوب فيه من الأجزاء المتساوية، قم بإنشاء مربعأبجد{\displaystyle ABCD}فوق ساقهاأب¯{\displaystyle {\overline {AB}}}الضلع الآخر للزاوية يتقاطع مع مربع المربع في نقطةجي{\displaystyle G}والخط الموازي للساقأب¯{\displaystyle {\overline {AB}}}خلالجي{\displaystyle G}يتقاطع مع الجانبأد¯{\displaystyle {\overline {AD}}}من الساحة فيF{\displaystyle F}والآن الجزءأF¯{\displaystyle {\overline {AF}}}يتوافق مع الزاوية∠بأهـ{\displaystyle \angle BAE}وبسبب تعريف المربع، فإن أي تقسيم للقطعة المستقيمةأF¯{\displaystyle {\overline {AF}}}داخلن{\displaystyle n}تؤدي القطع المتساوية إلى تقسيم مماثل للزاوية∠بأهـ{\displaystyle \angle BAE}داخلن{\displaystyle n}زوايا متساوية. لتقسيم القطعة المستقيمةأF¯{\displaystyle {\overline {AF}}}داخلن{\displaystyle n}ارسم أي شعاع يبدأ من أحد الأجزاء المتساوية.أ{\displaystyle A}معن{\displaystyle n}قم بتقسيمها إلى أجزاء متساوية (بأطوال عشوائية). ثم قم بتوصيل نقطة النهاية.يا{\displaystyle O}من الجزء الأخير إلىF{\displaystyle F}وارسم خطوطًا موازية لـياF¯{\displaystyle {\overline {OF}}}عبر جميع نقاط نهاية المتبقين-1{\displaystyle n-1}فقرات عنأيا¯{\displaystyle {\overline {AO}}}تقسم هذه الخطوط المتوازية القطعةأF¯{\displaystyle {\overline {AF}}}داخلن{\displaystyle n}ارسم الآن خطوطًا متوازية لقطعتين متساويتين.أب¯{\displaystyle {\overline {AB}}}من خلال نقاط نهاية تلك الأجزاء علىأF¯{\displaystyle {\overline {AF}}}, intersecting the trisectrix. Connecting their points of intersection to A{\displaystyle A} yields a partition of angle ∠BAE{\displaystyle \angle BAE} into n{\displaystyle n} equal angles.[11]

Since not all points of the trisectrix can be constructed with circle and compass alone, it is really required as an additional tool beyond the compass and straightedge. However it is possible to construct a dense subset of the trisectrix by compass and straightedge. In this way, while one cannot assure an exact division of an angle into n{\displaystyle n} parts without a given trisectrix, one can construct an arbitrarily close approximation to the trisectrix and therefore also to the division of the angle by compass and straightedge alone.[3][5]

Squaring the circle

Squaring of a quarter circle with radius 1

Like angle trisection, squaring the circle with compass and straightedge alone is impossible.[12] However, if one allows the quadratrix of Hippias as an additional construction tool, the squaring of the circle becomes possible due to Dinostratus's theorem relating an endpoint of this circle to the value of π.[2] One can use this theorem to construct a square with the same area as a quarter circle. Another square with twice the side length has the same area as the full circle.[13]

Dinostratus's theorem

According to Dinostratus's theorem the quadratrix divides one of the sides of the associated square in a ratio of 2π{\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}}. More precisely, for the square ABCD{\displaystyle ABCD} used to define the curve, let J{\displaystyle J} be the endpoint of the curve on edge AB{\displaystyle AB}. Then AJ¯AB¯=2π,{\displaystyle {\frac {\overline {AJ}}{\overline {AB}}}={\frac {2}{\pi }},} as can be seen from the parametric equation for the quadratrix at t=0{\displaystyle t=0} and the limiting behavior of the function controlling its x{\displaystyle x}-coordinate at that parameter value, limt→0tcot⁡t=1{\displaystyle \lim _{t\to 0}t\cot t=1}.[2]

The point J{\displaystyle J}, where the quadratrix meets the side AB¯{\displaystyle {\overline {AB}}} of the associated square, is one of the points of the quadratrix that cannot be constructed with ruler and compass alone and not even with the help of the quadratrix compass. This is due to the fact that (as Sporus of Nicaea already observed) the two uniformly moving lines coincide and hence there exists no unique intersection point.[14] However relying on the generalized definition of the quadratrix as a function or planar curve allows for J{\displaystyle J} being a point on the quadratrix.[15][14]

Construction

For a given quarter circle with radius r{\displaystyle r} one constructs the associated square ABCD{\displaystyle ABCD} with side length r{\displaystyle r}. The quadratrix intersect the side AB¯{\displaystyle {\overline {AB}}} in J{\displaystyle J} with |AJ¯|=2πr{\displaystyle \left|{\overline {AJ}}\right|={\tfrac {2}{\pi }}r}. Now one constructs a line segment JK¯{\displaystyle {\overline {JK}}} of length r{\displaystyle r} being perpendicular to AB¯{\displaystyle {\overline {AB}}}ثم الخط المارأ{\displaystyle A}وك{\displaystyle K}يتقاطع مع امتداد الجانببج¯{\displaystyle {\overline {BC}}}فيل{\displaystyle L}ويترتب على ذلك نظرية التقاطع|بل¯|=π2ر{\displaystyle \left|{\overline {BL}}\right|={\tfrac {\pi }{2}}r}. التمديدأب¯{\displaystyle {\overline {AB}}}إلى اليمين بواسطة قطعة خط جديدة|بيا¯|=ر2{\displaystyle \left|{\overline {BO}}\right|={\tfrac {r}{2}}}ينتج عنه المستطيل بلشماليا{\displaystyle BLNO}مع جوانببل¯{\displaystyle {\overline {BL}}}وبيا¯{\displaystyle {\overline {BO}}}مساحتها تساوي مساحة ربع الدائرة. يمكن تحويل هذا المستطيل إلى مربع له نفس المساحة باستخدام نظرية المتوسط ​​الهندسي لإقليدس . يتم تمديد الضلعياشمال¯{\displaystyle {\overline {ON}}}بواسطة قطعة مستقيمة|ياسؤال¯|=|بيا¯|=ر2{\displaystyle \left|{\overline {OQ}}\right|=\left|{\overline {BO}}\right|={\tfrac {r}{2}}}ويرسم نصف دائرة إلى يمينشمالسؤال¯{\displaystyle {\overline {NQ}}}، والتي لديهاشمالسؤال¯{\displaystyle {\overline {NQ}}}كقطرها. امتدادبيا¯{\displaystyle {\overline {BO}}}يلتقي بنصف الدائرة فيR¯{\displaystyle {\overline {R}}}وبسبب نظرية طاليس، فإن القطعة المستقيمةياR¯{\displaystyle {\overline {OR}}}هو ارتفاع المثلث القائم الزاويةسؤالشمالR{\displaystyle QNR}وبالتالي، يمكن تطبيق نظرية المتوسط ​​الهندسي، مما يعني أنياR¯{\displaystyle {\overline {OR}}}يشكل ضلع مربعيايوSR{\displaystyle OUSR}بنفس مساحة المستطيلبلشماليا{\displaystyle BLNO}وبالتالي فهي ربع دائرة. [ 13 ]

خصائص أخرى

بالنسبة للمربع المنشأ من مربع الوحدة ، فإن المساحة تحت المربع هي [ 9 ]2ln⁡2π≈0.44127.{\displaystyle {\frac {2\ln 2}{\pi }}\approx 0.44127.}

يؤدي عكس الشكل التربيعي بواسطة دائرة مركزها محور الخط الدوار الذي يحدده إلى إنتاج شكل قوقعي ، وبنفس الطريقة يؤدي عكس الشكل القوقعي إلى إنتاج شكل تربيعي. [ 16 ]

تاريخ

يُعدّ منحنى هيباس التربيعي أحد المنحنيات العديدة المستخدمة في الرياضيات اليونانية لتربيع الدائرة، وهو الأكثر شهرةً لهذا الغرض. [ 1 ] ومن المنحنيات الأخرى اللولب الأرخميدسي ، الذي استخدمه أرخميدس لتربيع الدائرة . [ 17 ]

ذُكرت هذه التقنية في مؤلفات بروكلس (412-485 ق.م.)، وبابوس الإسكندري (القرنين الثالث والرابع الميلاديين)، ويامبليخوس ( حوالي 240-325 ق.م. ). [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] يُنسب بروكلس اختراع منحنى يُسمى "المربع" إلى هيباس. [ 21 ] أما بابوس، فيذكر فقط كيف استخدم دينوستراتوس ونيكوميدس وغيرهما منحنى يُسمى "المربع" لتربيع الدائرة. وينقل اعتراضات سبوروس النيقاوي على هذا التصميم، لكنه لا يذكر هيباس ولا ينسب اختراع "المربع" إلى شخص معين. ويكتفي يامبليخوس بالقول في سطر واحد إن نيكوميدس استخدم منحنى يُسمى "المربع" لتربيع الدائرة. [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] 

انطلاقًا من تسمية بروكلس للمنحنى، يُحتمل أن يكون هيباس نفسه قد استخدمه لتربيع الدائرة أو أي شكل منحني آخر. مع ذلك، يفترض معظم مؤرخي الرياضيات أن هيباس هو من ابتكر المنحنى، لكنه استخدمه فقط لتثليث الزوايا. ووفقًا لهذه النظرية، لم يُستخدم لتربيع الدائرة إلا بعد عقود، ويعود الفضل في ذلك إلى رياضيين مثل دينوستراتوس ونيكوميدس. يعود هذا التفسير للمصادر التاريخية إلى عالم الرياضيات والمؤرخ الألماني موريتز كانتور . [ 19 ] [ 20 ]

يزعم روديجر ثيل أن فرانسوا فييت استخدم المثلث الثلاثي لاستنتاج صيغة فييت ، وهي عبارة عن ناتج لانهائي من الجذور المتداخلة نشره فييت عام 1593 ويتقارب إلى2/π{\displaystyle 2/\pi }[ 5 ] مع ذلك ، تنظر مصادر أخرى إلى صيغة فييت على أنها تطوير لطريقة المضلعات المتداخلة التي استخدمها أرخميدس لتقريبπ{\displaystyle \pi }[ 22 ] في كتابه "الهندسة" (La Géométrie) الصادر عام 1637 ، صنّف رينيه ديكارت المنحنيات إما إلى "هندسية"، أي التي يمكن إنشاؤها هندسيًا بدقة، أو إلى "ميكانيكية" إن لم يكن ذلك ممكنًا؛ وقدّم المنحنى التربيعي كمثال على المنحنى الميكانيكي. في المصطلحات الحديثة، يمكن التعبير عن التمييز نفسه تقريبًا بالقول إنه منحنى متسامٍ وليس منحنى جبريًا . [ 23 ] استخدم إسحاق نيوتن المتسلسلات المثلثية لتحديد المساحة المحصورة بالمنحنى التربيعي. [ 5 ]

صورة ملتقطة بتقنية الغالق الدوار لمروحة طائرة

عندما تلتقط كاميرا مزودة بمصراع دوار صورة لجسم يدور بسرعة، مثل مروحة، قد تظهر منحنيات تشبه منحنى هيباس التربيعي، تتولد بطريقة مماثلة: تُرسَم هذه المنحنيات بنقاط تقاطع شفرة المروحة الدوارة مع خط المسح المتحرك للكاميرا. وقد تتولد منحنيات مختلفة تبعًا لزاوية المروحة عند لحظة عبور خط المسح محور دورانها (بدلًا من تطابقه مع خط المسح في تلك اللحظة كما في منحنى هيباس التربيعي). وقد لوحظت ظاهرة بصرية مماثلة في القرن التاسع عشر على يد بيتر مارك روجيه عند رؤية عجلة ذات أضلاع لعربة أو قطار متحرك من خلال الفتحات الرأسية لسياج أو حاجز؛ وتُعرف هذه الظاهرة بوهم روجيه للحاجز. [ 24 ]

مراجع

  1. 1 2 كلاين، فيليكس ( 1897)، مسائل شهيرة في الهندسة الابتدائية ، بوسطن: جين، ص 57-58 
  2. 1 2 3 4 هيشر، هورست (2000)، “مشكلة كلاسيكية في العصور القديمة – Beispiele zur “Historischen Verankerung”" (PDF) ، في بلانكينجيل، يورغن؛ Spiegel، Wolfgang (eds.)، Mathematikdidaktik aus Begeisterung für die Mathematik – Festschrift für Harald Scheid ، Stuttgart/Düsseldorf/Leipzig: Klett، الصفحات من 97 إلى 118، مؤرشفة من النسخة الأصلية (PDF) في 2024-11-03 ، تم استرجاعه بتاريخ 15-08-2021 
  3. 1 2 3 Henn، Hans-Wolfgang (2003)، “Die Quadratur des Kreises”، Elementare Geometrie und Algebra ، Verlag Vieweg+Teubner، الصفحات من 45 إلى 48. 
  4. ↑ كوتسير، تون (2024)، تاريخ علم الحركة من زينون إلى أينشتاين: حول دور الحركة في تطور الرياضيات ، تاريخ علم الآليات والآلات، المجلد 46، سبرينغر نيتشر سويسرا، ص 60، doi : 10.1007/978-3-031-39872-8 ، ISBN   9783031398728
  5. 1 2 3 4 5 يانكه، هانز نيلز (2003)، تاريخ التحليل ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، ص 30-32 ، ISBN  0821826239مقتطف ، صفحة 30، على كتب جوجل
  6. ↑ كورليس، آر إم؛ جونيت، جي إتش ؛ هير، دي إي جي؛ جيفري، دي جيه؛ نوث، دي إي (1996)، "حول دالة لامبرت W " (ملف PDF) ، التقدم في الرياضيات الحاسوبية ، 5 (4): 329-359 ، doi : 10.1007/BF02124750 ، MR 1414285 
  7. ↑ دادلي، أندروود (1994)، المقسمات الثلاثية ، مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات 6-8 ، رقم ISBN  0883855143مقتطف ، صفحة 6، على كتب جوجل
  8. ↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "مربع هيباس" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
  9. 1 2 سيموسون، أندرو ج. (سبتمبر 2024)، "إطار تربيعي"، في تاكينوتشي، كازوكي (محرر)، ICGG 2024 - وقائع المؤتمر الدولي الحادي والعشرين للهندسة والرسومات ، سلسلة محاضرات في هندسة البيانات وتقنيات الاتصالات، المجلد 218، سبرينغر نيتشر سويسرا، الصفحات 268-279 ، doi : 10.1007/978-3-031-71013-1_25 ، ISBN   9783031710131
  10. ↑ أوسترمان، ألكسندر؛ وانر، جيرهارد (2012)، الهندسة من خلال تاريخها ، سبرينغر، ص 6-7 ، doi : 10.1007/978-3-642-29163-0 ، ISBN  978-3-642-29163-0
  11. ↑ هاربر، سوزان؛ دريسكيل، شانون (يوليو 2006)، "دراسة للإنشاءات الهندسية التاريخية" ، مجلة التقارب ، الجمعية الرياضية الأمريكية
  12. ↑ كاسنر، إدوارد (يوليو 1933)، "تربيع الدائرة"، المجلة العلمية الشهرية ، 37 (1): 67-71 ، رمز Bibcode : 1933SciMo..37...67K ، JSTOR 15685 
  13. 1 2 هولم، أودون (2010)، الهندسة: تراثنا الثقافي ، سبرينغر، ص 114-116 ، ISBN  9783642144400
  14. 1 2 أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "دينوستراتوس" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
  15. ^ ديلاهاي، جان بول (1999)،π{\displaystyle \pi }– القصة ، سبرينغر، ص 71، رقم ISBN 3764360569
  16. ↑ إيفز، هوارد (نوفمبر 1948)، "مقياس الرسم البياني"، معلم الرياضيات ، 41 (7): 311-313 ، doi : 10.5951/mt.41.7.0311 ، JSTOR 27953353 
  17. ↑ بوير، كارل ب. (1968)، تاريخ الرياضيات ، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون، ص 140-142 ، ISBN  0-691-02391-3
  18. 1 2 فان دير وايردن، بارتل ليندرت (1961)، صحوة العلوم ، مطبعة جامعة أكسفورد، ص. 146 
  19. 1 2 3 غاو، جيمس ( 1884)، تاريخ موجز للرياضيات اليونانية ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 162-164 
  20. 1 2 3 هيث، توماس ليتل ( 1921)، تاريخ الرياضيات اليونانية، المجلد 1: من طاليس إلى إقليدس ، مطبعة كلارندون، ص 182، 225-230 
  21. ↑ تايلور، توماس (1792)، التعليقات الفلسفية والرياضية لبروكلس على الكتاب الأول من كتاب أصول إقليدس ، ص 146 
  22. ^ بيكمان ، بيتر (1971)، تاريخ π ( الطبعة الثانية)، بولدر، كولورادو: The Golem Press، pp. 94–95 ، ISBN   978-0-88029-418-8، MR 0449960 
  23. ↑ بوس، هـ. ج. م. (1981)، "حول تمثيل المنحنيات في كتاب ديكارت للهندسة"، أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة ، 24 (4): 295-338 ، doi : 10.1007/BF00357312 ، JSTOR 41133624 ، MR 0635811  
  24. ↑ غريغورسيتش، بور؛ بلانينسيتش، غورازد (سبتمبر 2012)، "لماذا تبدو صور خط النهاية غريبة؟"، تعليم الفيزياء ، 47 (5): 530-536 ، doi : 10.1088/0031-9120/47/5/530

للمزيد من القراءة

  • ألسينا، كلاودي؛ نيلسن، روجر ب. (2010)، براهين ساحرة: رحلة في عالم الرياضيات الأنيقة ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 146-147 ، ISBN  978-0-88385-348-1
  • فينير، نيكول (13 مارس 2023)، الخصائص الجبرية للهندسة الإقليدية مع المنحنيات المتسامية ، arXiv : 2303.12514تتضمن هذه النسخة الأولية غير المنشورة فرضية مفادها أنه لا يمكن استخدام المصفوفة التربيعية لمضاعفة المكعب ، وهي مشكلة أخرى لا يمكن حلها باستخدام الفرجار والمسطرة.