وحدة القسمة

في الجبر ، إذا عُلمت وحدة نمطية ووحدة نمطية فرعية ، يُمكن إنشاء وحدة نمطية خارج القسمة . ^{[ 1 ] [ 2 ]} هذا الإنشاء، الموصوف أدناه، يُشبه إلى حد كبير إنشاء فضاء متجهي خارج القسمة . ^{[ 3 ]} ويختلف عن إنشاءات خارج القسمة المماثلة للحلقات والمجموعات في أن الفضاء الفرعي المستخدم لتعريف خارج القسمة في الحالات الأخيرة ليس من نفس طبيعة الفضاء المحيط (أي أن حلقة خارج القسمة هي خارج قسمة حلقة على مثالي ، وليست حلقة فرعية ، ومجموعة خارج القسمة هي خارج قسمة مجموعة على مجموعة فرعية طبيعية ، وليست مجموعة فرعية عامة ).

بفرض وجود وحدة نمطية A على حلقة R ، ووحدة نمطية فرعية B من A ، فإن فضاء القسمة A / B يُعرَّف بعلاقة التكافؤ

${\displaystyle a\sim b}$إذا وفقط إذا${\displaystyle ba\in B,}$

لأي عنصرين a و b في المجموعة A. ^{[ 4 ]} عناصر A / B هي فئات التكافؤ${\displaystyle [a]=a+B=\{a+b:b\in B\}.}$الوظيفة​${\displaystyle \pi :A\to A/B}$إرسال a في A إلى فئة التكافؤ الخاصة به a + B يسمى خريطة القسمة أو خريطة الإسقاط ، وهو تماثل وحدة نمطية .

تُعرَّف عملية الجمع على A / B لفئتين متكافئتين بأنها فئة التكافؤ لمجموع عنصرين ممثلين من هاتين الفئتين؛ ويُعرَّف الضرب القياسي لعناصر A / B بعناصر R بشكل مماثل. تجدر الإشارة إلى أنه يجب إثبات أن هذه العمليات مُعرَّفة جيدًا . عندئذٍ، تصبح A / B نفسها وحدة نمطية على R ، تُسمى وحدة القسمة . بالرموز، لكل a و b في A و r في R :

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+B)+(b+B):=(a+b)+B,\\&r\cdot (a+B):=(r\cdot a)+B.\end{aligned}}}$

لنفترض حلقة كثيرات الحدود ،${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$بمعاملات حقيقية ، و​${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$-وحدة​${\displaystyle A=\mathbb {R} [X],}$ضع في اعتبارك الوحدة الفرعية

${\displaystyle B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]}$

من A ، أي الوحدة الفرعية لجميع كثيرات الحدود القابلة للقسمة على X² ⁺ 1. ويترتب على ذلك أن علاقة التكافؤ التي تحددها هذه الوحدة ستكون

P ( X ) ~ Q ( X ) إذا وفقط إذا أعطت P ( X ) و Q ( X ) نفس الباقي عند القسمة على X ² + 1 .

لذلك، في وحدة القسمة A / B ، فإن X ² + 1 يساوي صفرًا؛ لذا يمكن اعتبار A / B ناتجًا عن ⁠${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$بوضع X² ⁺ 1 = 0. هذا المَعْلَمُ الْقَطْعِيّ مُتَشَكِّلٌ مَعْلَمِيًّا....${\displaystyle \mathbb {R} .}$⁠

• مجموعة القسمة
• حلقة القسمة
• القسمة (الجبر الشامل)