تماثل الوحدات

في الجبر ، يُعرف تماثل الوحدات بأنه دالة بين الوحدات تحافظ على بنيتها. تحديدًا، إذا كانت M و N وحدتين يساريتين على حلقة R ، فإن الدالة${\displaystyle f:M\to N}$يُطلق عليه اسم تماثل الوحدات النمطية R أو تطبيق خطي R إذا كان لأي x و y في M و r في R ،

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$

${\displaystyle f(rx)=rf(x).}$

بمعنى آخر، f هو تشاكل زمر (للزمر الجمعية الأساسية) يتبادل مع الضرب القياسي . إذا كانت M و N وحدات R- يمينية ، فسيتم استبدال الشرط الثاني بـ

${\displaystyle f(xr)=f(x)r.}$

تُسمى الصورة العكسية للعنصر الصفري تحت تأثير الدالة f نواة f . ويُرمز إلى مجموعة جميع تشاكلات الوحدات من M إلى N بالرمز .${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$إنها مجموعة تبديلية (تحت الجمع النقطي) ولكنها ليست بالضرورة وحدة نمطية إلا إذا كانت R تبديلية .

إن تركيب تشاكلات الوحدات هو تشاكل وحدات، كما أن تطبيق التطابق على وحدة ما هو تشاكل وحدات. وبالتالي، فإن جميع الوحدات (مثلاً الوحدة اليسرى) بالإضافة إلى جميع تشاكلات الوحدات بينها تشكل فئة الوحدات .

يُسمى التشاكل الموديولي تشاكلًا موديوليًا إذا كان يقبل تشاكلًا عكسيًا؛ أي أنه تقابل . وبالعكس، يمكن إثبات أن التشاكل الموديولي التقابلي هو تشاكل؛ أي أن معكوسه هو تشاكل موديولي. وبالتحديد، يكون التشاكل الموديولي تشاكلًا إذا وفقط إذا كان تشاكلًا بين الزمر الأبيلية الأساسية.

تنطبق نظريات التشاكل على تشاكلات الوحدات النمطية .

يُطلق على التشاكل بين وحدة نمطية M ونفسها اسم التشاكل الداخلي، بينما يُطلق على التشاكل بين M ونفسها اسم التشاكل الذاتي . يُكتب${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)}$بالنسبة لمجموعة جميع التشاكلات الداخلية لوحدة نمطية M ، فهي ليست مجرد زمرة تبديلية، بل هي أيضًا حلقة ذات ضرب مُعطى بتركيب الدوال، وتُسمى حلقة التشاكلات الداخلية لـ M. زمرة الوحدات في هذه الحلقة هي زمرة التشاكل الذاتي لـ M.

تنصّ مبرهنة شور على أن التشاكل بين الوحدات البسيطة (الوحدات التي لا تحتوي على وحدات فرعية غير تافهة ) يجب أن يكون إما صفرًا أو تماثلًا. وعلى وجه الخصوص، فإن حلقة التشاكل الداخلي لوحدة بسيطة هي حلقة قسمة .

في لغة نظرية الفئات ، يُطلق على التشاكل الحقني أيضًا اسم أحادي الشكل، ويُطلق على التشاكل الشامل اسم فوق الشكل .

• الخريطة الصفرية M → N التي تحول كل عنصر إلى الصفر.
• تحويل خطي بين فضاءات متجهة .
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)}$.
• بالنسبة لحلقة تبديلية R ومثاليّات I و J ، يوجد تعريف قانوني

  ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\subset J\}/J}$

مقدم من${\displaystyle f\mapsto f(1)}$. بخاصة،${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)}$هو مُبيد I.​​

• بفرض وجود حلقة R وعنصر r ، ليكن${\displaystyle l_{r}:R\to R}$لنرمز إلى الضرب من اليسار بالرمز r . عندئذٍ ، لأي s و t في R ،

  ${\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t}$.

إنه،${\displaystyle l_{r}}$صحيح R خطي .

• لأي حلقة R ،
  • ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R}$كما هو الحال في الحلقات عندما يُنظر إلى R على أنه وحدة نمطية يمنى فوق نفسه. وبشكل صريح، يُعطى هذا التشاكل بواسطة التمثيل المنتظم الأيسر${\displaystyle R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}}$.
  • بصورة مماثلة،${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}}$تظهر الحلقات عند النظر إلى R كوحدة نمطية يسارية فوق نفسها. عادةً ما تحدد الكتب الدراسية أو المراجع الأخرى الاصطلاح المستخدم.
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M}$خلال${\displaystyle f\mapsto f(1)}$لأي وحدة نمطية يسارية M. ^{[ 1} ] ⁽ بنية الوحدة النمطية على Hom هنا تأتي من الفعل الأيمن R على R ؛ انظر #بنى الوحدات النمطية على Hom أدناه.)
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}$يُطلق عليه اسم الوحدة الثنائية لـ M ؛ وهو وحدة يسارية (أو يمينية) إذا كانت M وحدة يمينية (أو يسارية) على R ، حيث تأتي بنية الوحدة من تأثير R على R. ويُرمز له بـ${\displaystyle M^{*}}$.
• بالنظر إلى تماثل الحلقة R → S للحلقات التبديلية و S -module M ، فإن الخريطة الخطية R θ: ​​S → M تسمى اشتقاقًا إذا كان لأي f ، g في S ، θ( fg ) = f θ( g ) + θ( f ) g .
• إذا كانت S و T جبرًا ترابطيًا أحاديًا على حلقة R ، فإن التماثل الجبري من S إلى T هو تماثل حلقي وهو أيضًا تماثل R- وحدة نمطية.

باختصار، يرث Hom فعلًا حلقيًا لم يُستخدَم لتكوين Hom. بتعبير أدق، ليكن M و N وحدتين نمطيتين يساريتين على R. لنفترض أن M لها فعل يميني لحلقة S يتبادل مع الفعل R ؛ أي أن M وحدة نمطية ( R , S ). عندئذٍ

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

له بنية وحدة S اليسرى المعرفة على النحو التالي: لكل s في S و x في M ،

${\displaystyle (s\cdot f)(x)=f(xs).}$

وهو محدد جيدًا (أي،${\displaystyle s\cdot f}$( خطي R ) لأن

${\displaystyle (s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x),}$

و${\displaystyle s\cdot f}$هو حركة حلقية لأن

${\displaystyle (st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)}$.

ملاحظة: سيفشل التحقق المذكور أعلاه إذا استُخدم الفعل R الأيسر بدلًا من الفعل S الأيمن . وبهذا المعنى، يُقال غالبًا أن هوم "يستنفد" الفعل R.

وبالمثل، إذا كان M وحدة نمطية يسارية R و N وحدة نمطية ( R ، S )، فإن${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$هو وحدة S يمنى بواسطة${\displaystyle (f\cdot s)(x)=f(x)s}$.

تتوسع العلاقة بين المصفوفات والتحويلات الخطية في الجبر الخطي بشكل طبيعي لتشمل تماثلات الوحدات بين الوحدات الحرة. تحديدًا، إذا كانت لدينا وحدة R- يمينية U ، فإن هناك تماثلًا قانونيًا للمجموعات الأبيلية.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto [f_{ij}]}{\underset {\sim }{\to }}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U))}$

تم الحصول عليها من خلال المشاهدة${\displaystyle U^{\oplus n}}$يتكون من متجهات عمودية، ثم كتابة f كمصفوفة m × n . على وجه الخصوص، اعتبار R وحدة نمطية يمنى R واستخدام${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)\simeq R}$، لدى المرء

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)}$،

والذي تبين أنه تماثل حلقي (حيث أن التركيب يتوافق مع ضرب المصفوفات ).

لاحظ أن التشاكل المذكور أعلاه هو تشاكل معياري؛ ولا ينطوي على أي اختيار. من ناحية أخرى، إذا أُعطيَ لنا تشاكل وحدات بين وحدات حرة ذات رتبة منتهية ، فإن اختيار أساس مرتب يقابله اختيار تشاكل.${\displaystyle F\simeq R^{n}}$تُعطي الإجراءات المذكورة أعلاه تمثيل المصفوفة بالنسبة لهذه الخيارات للقواعد. أما بالنسبة للوحدات الأكثر عمومية، فقد تفتقر تمثيلات المصفوفة إلى التفرد أو قد لا تكون موجودة أصلاً.

عمليًا، غالبًا ما يُعرَّف تماثل الوحدات بتحديد قيمه على مجموعة مولدة . بتعبير أدق، ليكن M و N وحدتين يساريتين على R. لنفترض أن مجموعة جزئية S تولد M ؛ أي أن هناك تطبيقًا شاملًا${\displaystyle F\to M}$مع وحدة حرة F ذات أساس مفهرس بواسطة S ونواة K (أي، لدينا عرض حر ). ثم لإعطاء تشاكل وحدة${\displaystyle M\to N}$يتمثل الهدف في إعطاء تماثل الوحدة${\displaystyle F\to N}$هذا يقتل K (أي، يحوّل K إلى الصفر).

لو${\displaystyle f:M\to N}$و${\displaystyle g:M'\to N'}$إذا كانت تماثلات الوحدات النمطية، فإن مجموعها المباشر هو

${\displaystyle f\oplus g:M\oplus M'\to N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y))}$

وحاصل ضربهما الموتري هو

${\displaystyle f\otimes g:M\otimes M'\to N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y).}$

يترك${\displaystyle f:M\to N}$ليكن f تشاكلًا نمطيًا بين وحدات يسارية. الرسم البياني Γ _f للوحدة f هو الوحدة الفرعية من M ⊕ N المعطاة بواسطة

${\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}}$،

وهو صورة لتشاكل الوحدة النمطية M → M ⊕ N ، x → ( x ، f ( x ))، ويسمى تشاكل الرسم البياني .

منقولة الدالة f هي​

${\displaystyle f^{*}:N^{*}\to M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f.}$

إذا كان f متماثلًا ، فإن منقول معكوس f يسمى متناقض f .

لنفترض سلسلة من تشاكلات الوحدات

${\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_ {-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .}$

يُطلق على هذا التسلسل اسم سلسلة معقدة (أو غالبًا ما يُطلق عليه ببساطة معقد) إذا كان كل تركيب منه يساوي صفرًا؛ أي،${\displaystyle f_{i}\circ f_{i+1}=0}$أو بصورة مماثلة لـ${\displaystyle f_{i+1}}$يحتوي على نواة${\displaystyle f_{i}}$(إذا زادت الأعداد بدلًا من أن تنقص، يُطلق عليها اسم مُركب سلسلة تامة؛ على سبيل المثال، مُركب دي رام ). يُطلق على مُركب السلسلة اسم مُتتابعة تامة إذا${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})}$. تُعدّ المتتالية التامة القصيرة حالة خاصة من المتتالية التامة:

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {g}{\to }}C\to 0}$

أين${\displaystyle f}$هي دالة حقنية، نواة${\displaystyle g}$هي صورة${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$هو شامل.

أي تماثل للوحدات${\displaystyle f:M\to N}$يحدد تسلسلًا دقيقًا

${\displaystyle 0\to K\to M{\overset {f}{\to }}N\to C\to 0,}$

أين${\displaystyle K}$هو جوهر${\displaystyle f}$، و${\displaystyle C}$هو النواة المشتركة ، أي ناتج قسمة${\displaystyle N}$بصورة${\displaystyle f}$.

في حالة الوحدات النمطية على حلقة تبديلية ، تكون المتتالية تامة إذا وفقط إذا كانت تامة عند جميع المُثُل القصوى ؛ أي جميع المتتاليات.

${\displaystyle 0\to A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{\to }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{\to }}C_{\mathfrak {m}}\to 0}$

تكون دقيقة، حيث يكون الرمز السفلي${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$يعني التموضع عند الوضع المثالي الأقصى${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$.

لو${\displaystyle f:M\to B,g:N\to B}$إذا كانت متماثلات وحدات، يُقال إنها تُشكّل مربعًا ليفيًا (أو مربع سحب خلفي )، يُرمز له بـ M × _B N ، إذا كان مناسبًا لـ

${\displaystyle 0\to M\times _{B}N\to M\times N{\overset {\phi }{\to }}B\to 0}$

أين${\displaystyle \phi (x,y)=f(x)-g(x)}$.

مثال: ليكن${\displaystyle B\subset A}$لتكن حلقات تبديلية، وليكن I هو مُبيد وحدة القسمة B -module A / B (وهو مثالي في A ). عندئذٍ تكون التطبيقات القانونية${\displaystyle A\to A/I,B/I\to A/I}$شكّل مربعًا من الألياف باستخدام${\displaystyle B=A\times _{A/I}B/I.}$

يترك${\displaystyle \phi :M\to M}$ليكن تماثلاً داخلياً بين وحدات R-مولدة نهائياً لحلقة تبديلية R.

• ${\displaystyle \phi }$يتم قتلها بواسطة متعدد الحدود المميز لها بالنسبة لمولدات M ؛ انظر إلى ليمّة ناكاياما#البرهان .
• لو${\displaystyle \phi }$إذا كانت شاملة، فهي حقنية. ^{[ 2 ]}

انظر أيضًا: خارج قسمة هيربراند (والذي يمكن تعريفه لأي تشاكل داخلي مع بعض شروط التناهي).

علاقة جمعية${\displaystyle M\to N}$الانتقال من الوحدة النمطية M إلى الوحدة النمطية N هو وحدة نمطية فرعية من${\displaystyle M\oplus N.}$^{[ 3 ]} بعبارة أخرى، هو تشاكل "متعدد القيم" معرف على وحدة فرعية منM.المعكوس${\displaystyle f^{-1}}$الوحدة الفرعية f${\displaystyle \{(y,x)|(x,y)\in f\}}$أي علاقة جمعية f تحدد تشاكلاً من وحدة فرعية من M إلى خارج قسمة N

${\displaystyle D(f)\to N/\{y|(0,y)\in f\}}$

أين${\displaystyle D(f)}$يتكون من جميع العناصر x في M بحيث ينتمي ( x ، y ) إلى f لبعض y في N.

إن التجاوز الذي ينشأ من تسلسل طيفي هو مثال على العلاقة الجمعية.

• المخروط التعييني (الجبر التماثلي)
• الأشكال الطبيعية لسميث
• سلسلة معقدة
• الاقتران