الاختزال (نظام الجبر الحاسوبي)

REDUCE هو نظام جبر حاسوبي للأغراض العامة موجه في الأصل نحو التطبيقات في الفيزياء.

بدأ تطوير برنامج REDUCE عام 1963 على يد أنتوني سي. هيرن ؛ ومنذ ذلك الحين، ساهم العديد من العلماء من جميع أنحاء العالم في تطويره. ^{[ 2 ]} تم طرح برنامج REDUCE كمصدر مفتوح في ديسمبر 2008، وهو متاح مجانًا بموجب ترخيص BSD معدل على موقع SourceForge . وكان سعره سابقًا 695 دولارًا.

تمت كتابة REDUCE بالكامل بلهجة Lisp الخاصة بها والتي تسمى Standard Lisp، ^{[ 3 ]} معبر عنها في بناء جملة يشبه ALGOL يسمى RLISP والذي يستخدم أيضًا كأساس للغة مستوى المستخدم الخاصة بـ REDUCE.

تتوفر تطبيقات REDUCE على معظم إصدارات أنظمة Unix و Linux و Microsoft Windows و Apple Macintosh باستخدام تطبيق أساسي من لغة Portable Standard Lisp (PSL) أو Codemist Standard Lisp (CSL). يوفر CSL REDUCE واجهة مستخدم رسومية . كما يمكن بناء REDUCE على لغات Lisp أخرى، مثل Common Lisp .

• العمليات الحسابية ذات الدقة العشوائية للأعداد الصحيحة ، والأعداد النسبية ، والأعداد المركبة ، والأعداد العشرية
• التعبيرات والدوال التي تتضمن متغيرًا واحدًا أو أكثر
• خوارزميات لكثيرات الحدود والدوال الكسرية والمتسامية​​
• مرافق لحل مجموعة متنوعة من المعادلات الجبرية
• تبسيط التعبيرات تلقائيًا وبواسطة المستخدم
• الاستبدال ومطابقة الأنماط بأشكال متنوعة
• التمايز الرمزي ، التكامل غير المحدد والتكامل المحدد
• حل المعادلات التفاضلية العادية
• العمليات الحسابية باستخدام مجموعة واسعة من الدوال الخاصة
• المصفوفات العامة والجبر غير التبادلي
• رسم بياني في بعدين وثلاثة أبعاد من
  • رسوم بيانية للدوال
  • نقاط وخطوط ومنحنيات عشوائية​​
• حسابات مصفوفة ديراك ذات أهمية في فيزياء الطاقة العالية
• حذف المُكمِّمات واتخاذ القرار في منطق الرتبة الأولى المُفسَّر
• لغة برمجة قوية وبديهية على مستوى المستخدم .

لغة REDUCE هي لغة برمجة هيكلية عالية المستوى مبنية على لغة ALGOL 60 (ولكن بدلالات لغة Standard Lisp )، مع أنها لا تدعم جميع قواعد بناء جملة ALGOL 60. وهي مشابهة للغة باسكال ، التي تطورت من ALGOL 60، ولغة Modula ، التي تطورت بدورها من باسكال.

REDUCE هي لغة برمجة حرة ، أي أن المسافات وفواصل الأسطر غير مهمة، ولكن بالتالي يجب فصل عبارات الإدخال عن بعضها البعض، ويجب إنهاء جميع المدخلات إما بفاصلة منقوطة ( ;) أو بعلامة الدولار ( $). الفرق هو أنه إذا نتج عن الإدخال nilقيمة مفيدة (غير فارغة)، فسيتم إخراجها إذا كان الفاصل فاصلة منقوطة ( ;)، بينما ستُخفى إذا كان علامة الدولار ( $). عامل الإسناد هو النقطتان المتساويتان ( :=)، والذي في أبسط استخداماته يُسند إلى المتغير الموجود على يساره قيمة التعبير الموجود على يمينه. مع ذلك، يمكن أن يكون لمتغير REDUCE قيمة فارغة، وفي هذه الحالة يُعرض باسمه، وذلك للسماح بإنشاء ومعالجة التعبيرات الرياضية التي تتضمن متغيرات غير محددة. أبسط طريقة لاستخدام REDUCE هي التفاعلية: اكتب المدخلات بعد آخر موجه إدخال ، ثم أنهِها بفاصلة منقوطة واضغط على مفتاح الإدخال ( Enter )؛ ستقوم REDUCE بمعالجة المدخلات وعرض النتيجة. يوضح ذلك لقطة الشاشة .

"مرحبا بالعالم!" ؛

! مرحبا بالعالم !! ؛​​​​

إذا كان n < 0 فإن n : = -n

recip_x := إذا كانت x = 0 فإن القيمة تساوي ما لا نهاية، وإلا فإن القيمة تساوي 1 / x

ن := 5 ; fac := 1 $ لـ r := 2 : n do fac := fac * r ; القوات المسلحة الكونغولية ;

n := 5 ; for r := 2 : n product r ;

ن := 5 ; fac := n $ while n > 1 do fac := fac * ( n := n - 1 ); القوات المسلحة الكونغولية ;

هذا تعليق متعدد الأسطر وينتهي ذلك عند الفاصل التالي، لذا لا يمكن أن يحتوي على فواصل؛

% هذا تعليق من سطر واحد ينتهي عند نهاية السطر. % يمكن أن يظهر في سطر بعد الكود و يمكن أن تحتوي النسبة المئوية (%) على الفواصل ";" و "$".

/* هذا تعليق متعدد الأسطر يمكن تظهر في أي مكان يمكن أن تظهر فيه مساحة و يمكن أن تحتوي على الفواصل ";" و "$". */

تدعم لغة REDUCE على مستوى المستخدم العديد من نماذج البرمجة ، كما هو موضح في أمثلة البرمجة الجبرية أدناه.

بما أن لغة REDUCE مبنية على لغة Lisp، وهي لغة برمجة وظيفية ، فإنها تدعم البرمجة الوظيفية، ولكل عبارة فيها قيمة (مع أنها ليست مفيدة دائمًا). كما تدعم REDUCE البرمجة الإجرائية بتجاهل قيم العبارات. عادةً ما تتم العمليات الحسابية الجبرية بتحويل التعبير الرياضي إلى صيغة مكافئة ولكن مختلفة. يُسمى هذا التبسيط ، حتى وإن كانت النتيجة أطول بكثير. (اسم REDUCE تورية على مشكلة تضخم التعبيرات الوسيطة !) . في REDUCE، يحدث التبسيط تلقائيًا عند إدخال تعبير أو حسابه، ويتم التحكم فيه بواسطة قواعد التبسيط وخيارات التبديل . وبهذه الطريقة، تدعم REDUCE البرمجة القائمة على القواعد ، وهي نموذج برمجة REDUCE الكلاسيكي. في الإصدارات الأولى من REDUCE، كان بالإمكان ضبط القواعد وخيارات التبديل على مستوى النظام فقط، لكن REDUCE الحديثة تدعم أيضًا الضبط المحلي للقواعد وخيارات التبديل، ما يعني أنها تتحكم في تبسيط تعبير واحد فقط. غالبًا ما تحتوي برامج REDUCE على مزيج من نماذج البرمجة.

تُظهر لقطة الشاشة استخدامًا تفاعليًا بسيطًا.

كمثال برمجي بسيط، لنأخذ في الاعتبار مشكلة حساب${\displaystyle n}$متعددة حدود تايلور من ^{الدرجة n} للدالة${\displaystyle f(x)}$بخصوص النقطة${\displaystyle x=a}$، والتي تُعطى بالصيغة${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\frac {f^{(r)}(a)}{r!}}(xa)^{r}}$. هنا،${\displaystyle f^{(r)}}$يشير إلى${\displaystyle r}$^{المشتقة} من​${\displaystyle f}$تم التقييم عند النقطة${\displaystyle a}$و${\displaystyle r!}$يرمز إلى مضروب العدد${\displaystyle r}$(مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن REDUCE يتضمن مرافق متطورة لتوسيع سلسلة الطاقة .)

كمثال على البرمجة الوظيفية في REDUCE، إليك طريقة سهلة لحساب متعددة حدود تايلور الخامسة لـ${\displaystyle \sin x}$حوالي 0. ​​في الكود التالي، rيأخذ متغير التحكم قيمًا من 0 إلى 5 بخطوات مقدارها 1، و هو عامل التفاضلdf REDUCE ، ويقوم العامل باستبدال وسيطه الأول في وسيطه الثاني. لاحظ أن هذا الكود مشابه جدًا للصيغة الرياضية أعلاه (معsub${\displaystyle n=5}$و${\displaystyle a=0}$).

for r := 0 : 5 sum sub ( x = 0 , df ( sin x , x , r )) * x ^ r / factorial r ;

ينتج بشكل افتراضي المخرجات ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {x\left(x^{4}-20x^{2}+120\right)}{120}}}$

هذا صحيح، لكنه لا يشبه متسلسلة تايلور. يمكن إصلاح ذلك بتغيير بعض مفاتيح التحكم في المخرجات، ثم تقييم المتغير الخاص wsالذي يرمز إلى مساحة العمل ، ويحتوي على آخر تعبير ناتج غير فارغ.

إيقاف allfac ؛ تشغيل revpri ، div ؛ ws ؛

${\displaystyle x-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{120}}x^{5}}$

كمثال على البرمجة الإجرائية في REDUCE، إليك إجراء لحساب متعددة حدود تايلور العامة، والتي تعمل مع الدوال التي تتصرف بشكل جيد عند نقطة التوسع.${\displaystyle a}$.

الإجراء my_taylor ( f , x , x0 , n ); % إرجاع متعددة حدود تايلور من الرتبة n للدالة f % كدالة لـ x حول x0. ابدأ scalar result := sub ( x = x0 , f ), mul := 1 ; for r := 1 : n do << f := df ( f , x ); mul := mul * ( x - x0 ) / r ; result := result + sub ( x = x0 , f ) * mul >> ; return result end ;

يُستدعى هذا الإجراء my_taylorلأن REDUCE يتضمن بالفعل عاملًا يُسمى taylor. كل النص الذي يلي %علامة حتى نهاية السطر هو تعليق. scalarتُعرّف الكلمة المفتاحية وتُهيئ متغيرين محليينresult و . تُحدد mulالكلمتان المفتاحيتان beginو endكتلة من التعليمات البرمجية التي قد تتضمن متغيرات محلية وقد تُرجع قيمة، بينما تُحدد الرموز <<و >>مجموعة من التعليمات دون تعريف متغيرات محلية.

يمكن استدعاء الإجراء على النحو التالي لحساب نفس متعددة حدود تايلور كما هو مذكور أعلاه.

my_taylor ( sin x , x , 0 , 5 );

توفر واجهات المستخدم الرسومية لبرنامج REDUCE دعمًا للقوائم لبعض أو كل عمليات معالجة الملفات والحزم الموضحة أدناه.

؛نهاية؛

inملف1 ,ملف2, ...

outملف;

shutملف;

out t;

load_packageالحزمة 1 ,الحزمة 2, ...

يرث REDUCE النطاق الديناميكي من لغة Lisp، مما يعني أن البيانات لها أنواع، لكن المتغيرات نفسها ليس لها أنواع: نوع المتغير هو نوع البيانات المُسندة إليه. أبسط أنواع بيانات REDUCE هي أنواع Lisp الذرية القياسية مثل المعرفات، وأرقام الآلة (أي الأعداد الصحيحة "الصغيرة" والأعداد العشرية التي يدعمها جهاز الكمبيوتر مباشرةً)، والسلاسل النصية. تُمثَّل معظم أنواع بيانات REDUCE الأخرى داخليًا كقوائم Lisp، حيث carيشير العنصر الأول منها إلى نوع البيانات. على سبيل المثال، مُدخل REDUCE

mat (( 1 , 2 ), ( 3 , 4 ));

يُنتج العرض

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}}\right)}$

والتمثيل الداخلي لهذه المصفوفة هو قائمة Lisp

(mat (1 2) (3 4))

الكائنات الجبرية الرئيسية المستخدمة في REDUCE هي نواتج قسمة كثيرتي حدود قد تكونان متعددتي المتغيرات، والتي قد تكون محدداتها، والتي تسمى النوى ، دوالًا لمتغير واحد أو أكثر، على سبيل المثال المدخلات

z := ( x + y ^ 2 ) / f ( x , y );

يُنتج العرض

${\displaystyle z\ \mathrm {:=} \ {\frac {x+y^{2}}{f\left(x,y\right)}}}$

تستخدم دالة REDUCE تمثيلين لهذه الكائنات الجبرية. أحدهما يُسمى الشكل البادئ ، وهو ببساطة كود لغة ليسب القياسي للتعبير، وهو مناسب لعمليات مثل الإدخال والإخراج؛ على سبيل المثال لـ${\displaystyle z}$إنها

(خارج القسمة (زائد س (أس ص 2)) (fxy))

أما الصيغة الأخرى فتُسمى صيغة القسمة القياسية ، وهي أفضل لإجراء العمليات الجبرية مثل الجمع؛ على سبيل المثال لـ${\displaystyle z}$إنها

(!*sq ((((x . 1) . 1) ((y . 2) . 1)) (((fxy) . 1) . 1)) t)

تقوم الدالة REDUCE بالتحويل بين هذين التمثيلين حسب الضرورة، ولكنها تحاول الاحتفاظ بصيغة القسمة القياسية قدر الإمكان لتجنب تكلفة التحويل.

نظرًا لأن المتغيرات ليس لها أنواع، فلا توجد تعريفات لأنواع المتغيرات في لغة REDUCE، ولكن توجد تعريفات لنطاق المتغيرات . يشير نطاق المتغير إلى مدى البرنامج الذي يكون له فيه نفس الدلالة. افتراضيًا، تكون متغيرات REDUCE ذات نطاق عام ، أي أن لها نفس الدلالة في كل مكان، بمعنى أنه بمجرد إسناد قيمة لمتغير، سيتم تقييمه إلى نفس القيمة في كل مكان. يمكن تعريف المتغيرات بحيث يكون نطاقها محدودًا بكتلة معينة من التعليمات البرمجية عن طريق تحديد تلك الكتلة بالكلمتين المفتاحيتين `var` beginو`var` end، وتعريف المتغيرات scalarفي بداية الكتلة، باستخدام الصيغة التالية (كما هو موضح في أمثلة البرمجة الجبرية أعلاه):

beginscalarالمتغير 1 ، المتغير 2 ، ...؛ عباراتend

يمكن أن يتبع كل متغير مُعلن عنه عامل إسناد ( :=) وقيمة ابتدائية. scalarيجب قراءة الكلمة المفتاحية بمعنى "محلي" . ( يُخفي تاريخ REDUCE سبب تسمية "scalar" ، ولكن يُرجح أنه اختير لتمييز المتغيرات المحلية عن المتجهات الرباعية النسبية ومصفوفات غاما ديراك المُعرّفة في حزمة فيزياء الطاقة العالية ، والتي كانت النواة الأصلية لـ REDUCE. ^{[ 2 ]} )

scalarيمكن استبدال الكلمة المفتاحية بـ أو integer. realالفرق هو أن integerالمتغيرات تُهيأ افتراضيًا بالقيمة 0، بينما تُهيأ المتغيرات scalarو realافتراضيًا بقيمة لغة ليسب nil(التي قيمتها الجبرية 0 على أي حال). هذا التمييز أكثر أهمية في لغة تنفيذ REDUCE، RLISP، المعروفة أيضًا بالوضع الرمزي أو وضع ليسب . بخلاف ذلك، يُعد هذا مفيدًا كتوثيق للاستخدام المقصود للمتغيرات المحلية.

هناك تعريفان آخران للمتغيرات يُستخدمان فقط في تنفيذ REDUCE، أي في الوضع الرمزي. يتم ترجمة كتلة REDUCE begin... endالموضحة أعلاه إلى صيغة Standard Lisp بواسطة محللprog REDUCE ، ويجب ربط جميع متغيرات Standard Lisp بصيغ ، أو تعريفها . في RLISP، تبدو هذه التعريفات كالتالي:progglobalfluid

fluid '(المتغير 1 المتغير 2 ... )global '(المتغير 1 المتغير 2 ...)

globalلا يمكن إعادة تعريف متغير في نموذج prog، بينما fluidيمكن إعادة تعريف متغير آخر. هذا التمييز عادةً ما يكون ذا أهمية لمترجم لغة ليسب فقط، ويُستخدم لزيادة الكفاءة إلى أقصى حد؛ في التعليمات البرمجية المفسرة، يمكن تخطي هذه التصريحات، وتُعتبر المتغيرات غير المُصرَّح عنها غير مُعرَّفة فعليًا fluid.

يدعم برنامج REDUCE العرض الرسومي عبر gnuplot ، وهي حزمة رسومية مستقلة محمولة مفتوحة المصدر، مضمنة في جميع توزيعات REDUCE الثنائية. تدعم حزمة REDUCE GNUPLOT عرض المنحنيات أو الأسطح المُعرَّفة بواسطة الصيغ و/أو مجموعات البيانات عبر الأمر plot(... ). يُتيح هذا الأمر بعضًا من إمكانيات gnuplot، وليس جميعها. بُنيت حزمتا REDUCE TURTLE وLOGOTURTLE على حزمة REDUCE GNUPLOT، وتدعمان رسومات السلحفاة ثنائية الأبعاد؛ كما تُتيح حزمة LOGOTURTLE إمكانيات إضافية لـ gnuplot، مثل التحكم في اللون وسُمك الخط، والتعبئة، وإضافة التعليقات النصية.

يتوفر برنامج REDUCE على موقع SourceForge . تُصدر توزيعات ثنائية ^{[ 1 ]} عدة مرات في السنة دون جدول زمني محدد، على شكل لقطات من مستودع Subversion ، كما توفر أيضًا لقطات مضغوطة من شفرة المصدر الكاملة. يمكن ضبط SourceForge لإشعار المستخدمين عند توفر إصدار جديد. في عام 2024، صدرت توزيعات ثنائية لأنظمة macOS و Linux ( الأنظمة المبنية على Debian و Red Hat ) و Microsoft Windows بإصدارات 64 بت . تتضمن برامج التثبيت أو تتوفر لكل من CSL-REDUCE وPSL-REDUCE، وقد تتضمن شفرة مصدر REDUCE. يمكن بناء REDUCE من شفرة المصدر على نطاق أوسع من المنصات وعلى أنظمة Lisp أخرى، مثل Common Lisp . ^{[ 5 ]}

تستخدم المشاريع التالية الأمر REDUCE:

• ALLTYPES ^{[ 6 ]} (لغة الجبر ونظام النوع) هو نظام نوع جبر حاسوبي مع تركيز خاص على الجبر التفاضلي والمعادلات التفاضلية؛
• DAISY ^{[ 7 ]} (الجبر التفاضلي لتحديد قابلية تحديد الأنظمة) هو أداة برمجية لإجراء تحليل قابلية التحديد الهيكلي للنماذج الديناميكية الخطية وغير الخطية الموصوفة بمعادلات ODE متعددة الحدود أو النسبية؛
• MTT ^{[ 8 ]} (أدوات تحويل النموذج) هي مجموعة من الأدوات لنمذجة الأنظمة الفيزيائية الديناميكية باستخدام منهجية الرسم البياني للرابطة؛
• Reduce.jl ^{[ 9 ]} هو محلل رمزي لإعادة كتابة مصطلحات لغة جوليا باستخدام جبر REDUCE؛
• يوفر Redlog ^{[ 10 ]} (نظام منطق REDUCE) أكثر من 100 وظيفة على صيغ الدرجة الأولى وكان في الأصل مستقلاً ولكنه متاح الآن كحزمة REDUCE؛
• Pure هي لغة برمجة، تحتوي على روابط لـ REDUCE، مما يوفر بيئة مثيرة للاهتمام للغاية لإجراء العلوم المدعومة بالحاسوب.

• قائمة أنظمة الجبر الحاسوبي
• ألتران
• ريدوس يلتقي كامال - جي بي فيتش

• تخفيض على SourceForge
• دليل مستخدم برنامج REDUCE من تأليف أنتوني سي. هيرن وآخرون [ HTML | PDF ].
• أنتوني سي. هيرن، "التقليل: الأربعون عامًا الأولى" . ورقة بحثية مدعوة قُدّمت في مؤتمر A3L تكريمًا للذكرى الستين لميلاد فولكر فايسبفينينغ، أبريل 2005.
• أندري غروزين، "واجهة TeXmacs-Reduce" ، أبريل 2012.