مشكلة رابي

تتعلق مسألة رابي باستجابة الذرة لحقل كهربائي توافقي مطبق ، بتردد قريب جدًا من ترددها الطبيعي . وهي تقدم مثالًا بسيطًا وقابلًا للحل عمومًا لتفاعلات الضوء مع الذرة، وقد سُميت نسبةً إلى إيزيدور إسحاق رابي .

في النهج الكلاسيكي، يمكن تمثيل مسألة رابي بحل المذبذب التوافقي المخمد المدفوع مع الجزء الكهربائي من قوة لورنتز كحد محرك:

${\displaystyle {\ddot {x}}_{a}+{\frac {2}{\tau _{0}}}{\dot {x}}_{a}+\omega _{a}^{2}x_{a}={\frac {e}{m}}E(t,\mathbf {r} _{a}),}$

حيث يُفترض أن الذرة يمكن اعتبارها جسيمًا مشحونًا (بشحنة e ) يتذبذب حول موضع اتزانه حول ذرة متعادلة. هنا، x _a هو مقدار تذبذبها اللحظي.${\displaystyle \omega _{a}}$تردد تذبذبها الطبيعي، و${\displaystyle \tau _{0}}$عمره الطبيعي :

${\displaystyle {\frac {2}{\tau _{0}}}={\frac {2e^{2}\omega _{a}^{2}}{3mc^{3}}},}$

والتي تم حسابها بناءً على فقدان الطاقة للمذبذب ثنائي القطب من الإشعاع الكهرومغناطيسي.

ولتطبيق هذا على مسألة رابي، يفترض المرء أن المجال الكهربائي E متذبذب في الزمن وثابت في المكان:

${\displaystyle E=E_{0}[e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}]=2E_{0}\cos \omega t,}$

ويتم تحليل x _a إلى جزء u _a متوافق في الطور مع المجال الكهربائي المحرك (المقابل للتشتت) وجزء v _a غير متوافق في الطور (المقابل للامتصاص):

${\displaystyle x_{a}=x_{0}(u_{a}\cos \omega t+v_{a}\sin \omega t).}$

هنا يُفترض أن x₀ ثابت _، ولكن يُسمح لـ uₐ _و vₐ بالتغير مع الزمن. ومع ذلك، إذا _كان النظام قريبًا جدًا من الرنين (${\displaystyle \omega \approx \omega _{a}}$إذاً، ستتغير هذه القيم ببطء مع مرور الوقت، ويمكننا أن نفترض أن${\displaystyle {\dot {u}}_{a}\ll \omega u_{a}}$،${\displaystyle {\dot {v}}_{a}\ll \omega v_{a}}$و${\displaystyle {\ddot {u}}_{a}\ll \omega ^{2}u_{a}}$،${\displaystyle {\ddot {v}}_{a}\ll \omega ^{2}v_{a}}$.

بناءً على هذه الافتراضات، يمكن إعادة كتابة معادلات قوة لورنتز للأجزاء المتوافقة في الطور وغير المتوافقة في الطور على النحو التالي:

${\displaystyle {\dot {u}}=-\delta v-{\frac {u}{T}},}$

${\displaystyle {\dot {v}}=\delta u-{\frac {v}{T}}+\kappa E_{0},}$

حيث استبدلنا العمر الطبيعي${\displaystyle \tau _{0}}$مع عمر فعال أكثر عمومية T (والذي قد يشمل تفاعلات أخرى مثل التصادمات)، وقد تم إسقاط الرمز السفلي a لصالح الانحراف المُعرَّف حديثًا${\displaystyle \delta =\omega -\omega _{a}}$وهو ما يُستخدم بنفس الكفاءة لتمييز الذرات ذات الترددات الرنينية المختلفة. وأخيرًا، الثابت

${\displaystyle \kappa \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {e}{m\omega x_{0}}}}$

تم تعريفها.

يمكن حل هذه المعادلات على النحو التالي:

${\displaystyle u(t;\delta )=[u_{0}\cos \delta t-v_{0}\sin \delta t]e^{-t/T}+\kappa E_{0}\int _{0}^{t}dt'\sin \delta (tt')e^{-(tt')/T},}$

${\displaystyle v(t;\delta )=[u_{0}\cos \delta t+v_{0}\sin \delta t]e^{-t/T}-\kappa E_{0}\int _{0}^{t}dt'\cos \delta (tt')e^{-(tt')/T}.}$

بعد أن تتلاشى جميع التأثيرات العابرة ، يأخذ حل الحالة المستقرة الشكل البسيط التالي

${\displaystyle x_{a}(t)={\frac {e}{m}}E_{0}\left({\frac {e^{i\omega t}}{\omega _{a}^{2}-\omega ^{2}+2i\omega /T}}+{\text{cc}}\right),}$

حيث يرمز "cc" إلى المرافق المركب للحد المقابل.

في النهج الكمومي، يمكن اعتبار القوة الدافعة الدورية بمثابة اضطراب دوري، وبالتالي، يمكن حل المشكلة باستخدام نظرية الاضطراب المعتمدة على الزمن، مع

${\displaystyle H(t)=H^{0}+H^{1}(t),}$

أين${\displaystyle H^{0}}$هي دالة هاميلتونية مستقلة عن الزمن تُعطي الحالات الذاتية الأصلية، و${\displaystyle H^{1}(t)}$هو الاضطراب المعتمد على الزمن. افترض عند الزمن${\displaystyle t}$يمكننا توسيع نطاق الولاية كما

${\displaystyle \phi (t)=\sum _{n}d_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle ,}$

أين${\displaystyle |n\rangle }$تمثل هذه القيم الحالات الذاتية للحالات غير المضطربة. بالنسبة لنظام غير مضطرب،${\displaystyle d_{n}(t)=d_{n}(0)}$هو ثابت. الآن، لنحسب${\displaystyle d_{n}(t)}$تحت تأثير اضطراب دوري${\displaystyle H^{1}(t)=H^{1}e^{-i\omega t}}$تطبيق عامل التشغيل${\displaystyle i\hbar \partial /\partial t-H^{0}-H^{1}}$على كلا جانبي المعادلة السابقة، يمكننا الحصول على

${\displaystyle 0=\sum _{n}[i\hbar {\dot {d}}_{n}-H^{1}e^{-i\omega t}d_{n}]e^{-iE_{n}^{0}t/\hbar }|n\rangle ,}$

ثم اضرب طرفي المعادلة في${\displaystyle \langle m|e^{iE_{m}^{0}t/\hbar }}$:

${\displaystyle i\hbar {\dot {d}}_{m}=\sum _{n}\langle m|H^{1}|n\rangle e^{i(\omega _{mn}-\omega )t}d_{n}.}$

عندما يكون تردد الإثارة عند الرنين بين حالتين${\displaystyle |m\rangle }$و${\displaystyle |n\rangle }$، أي${\displaystyle \omega =\omega _{mn}}$وبذلك، تصبح المسألة مسألة نمط طبيعي لنظام ثنائي المستوى، ومن السهل إيجاد ذلك.

${\displaystyle d_{m,n}(t)=d_{m,n,+}(0)e^{i\Omega t}+d_{m,n,-}(0)e^{-i\Omega t},}$

أين${\displaystyle \Omega ={\frac {\langle m|H^{1}|n\rangle }{\hbar }}.}$

احتمالية التواجد في الحالة m عند الزمن t هي

${\displaystyle P_{m}=d_{m}(t)^{*}d_{m}(t)=d_{m,-}^{2}(0)+d_{m,+}^{2}(0)+2d_{m,-}(0)d_{m,+}(0)\cos(2\Omega t).}$

قيمة${\displaystyle d_{m,\pm }(0)}$يعتمد ذلك على الحالة الأولية للنظام.

توصل رابي (1937) إلى حل دقيق لنظام ذي عزم مغزلي 1/2 في مجال مغناطيسي متذبذب. ويتضح من عمله أن تردد تذبذب رابي يتناسب طرديًا مع شدة المجال المغناطيسي المتذبذب.

• دورة رابي
• تردد رابي
• تذبذب رابي الفراغي

• ألين، ل؛ إيبرلي، جيه إتش (1987). الرنين البصري وذرات المستويين . نيويورك: دوفر. ISBN 978-0-486-65533-8. OCLC 17233252 . 

• رابي الثاني (15 أبريل 1937). "تكميم الفضاء في مجال مغناطيسي دوّار". مجلة Physical Review ، المجلد 51 ، العدد 8. الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): 652-654 . رمز Bibcode : 1937PhRv...51..652R . doi : 10.1103/physrev.51.652 . ISSN 0031-899X .