دورة رابي

في الفيزياء ، تُعرف دورة رابي (أو تقلب رابي ) بأنها السلوك الدوري لنظام كمومي ثنائي المستوى في وجود مجال دافع متذبذب. ويمكن دراسة مجموعة واسعة من العمليات الفيزيائية، التي تنتمي إلى مجالات الحوسبة الكمومية ، والمادة المكثفة ، والفيزياء الذرية والجزيئية ، والفيزياء النووية والجسيمية ، بسهولة باستخدام أنظمة ميكانيكية كمومية ثنائية المستوى ، وتُظهر هذه العمليات تقلب رابي عند اقترانها بمجال دافع بصري. ويُعد هذا التأثير مهمًا في البصريات الكمومية ، والرنين المغناطيسي ، والحوسبة الكمومية، وقد سُمي تيمنًا بإيزيدور إسحاق رابي .

النظام ثنائي المستوى هو نظام ذو فضاء هيلبرت يمتد عبر حالتين متعامدتين محتملتين. قد تحتوي هاتان الحالتان على مستويين طاقيين محتملين. يمكن أن يكون أحد المستويين حالة أرضية ذات طاقة منخفضة، والآخر حالة مثارة ذات طاقة أعلى. إذا لم تكن مستويات الطاقة متساوية (أي لا تتساوى طاقاتها)، يمكن للنظام امتصاص أو إطلاق كم من الطاقة والانتقال من الحالة الأرضية إلى الحالة المثارة أو العكس. عندما تُضاء ذرة (أو أي نظام ثنائي المستوى آخر ) بحزمة متماسكة من الفوتونات ، فإنها تمتص الفوتونات بشكل دوري وتطلقها عن طريق الانبعاث المحفز . تُسمى إحدى هذه الدورات بدورة رابي، ومقلوب مدتها هو تردد رابي للنظام. يمكن نمذجة هذه الظاهرة باستخدام نموذج جاينز-كامينغز وصيغة متجه بلوخ .

بشكلٍ أعم، يُمكن اعتبار إدخال مجال تحريض تذبذبي إلى نظام ثنائي المستويات بمثابة اضطراب يربط بين الحالتين غير المرتبطتين سابقًا. وبالتالي، ينتج عن التطور الزمني في ظل هذا الهاميلتوني المضطرب تذبذبات، تُسمى دورات رابي، بين الحالتين غير المضطربتين. وفي حالة الاقتران القوي، يُلاحظ تذبذب كامل بين الحالتين غير المضطربتين.

أحد الأمثلة على انقلاب رابي هو انقلاب اللف المغزلي داخل نظام كمومي يحتوي على جسيم ذي لف مغزلي 1/2 ومجال مغناطيسي متذبذب. نقسم المجال المغناطيسي إلى مجال "بيئة" ثابت، وجزء متذبذب، بحيث يمكن كتابة المجال على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B} _{env}+\mathbf {B} _{osc}=B_{0}\mathbf {k} +B_{1}(\cos(\omega t)\mathbf {i} +\sin(\omega t)\mathbf {j} ),}$$أين${\displaystyle B_{0}}$و${\displaystyle B_{1}}$تمثل هذه القيم نقاط قوة البيئة والحقول المتذبذبة على التوالي، و${\displaystyle \omega }$يمثل التردد الذي يتذبذب عنده المجال. يمكننا بعد ذلك كتابة دالة هاميلتونية تصف هذا المجال، مما ينتج عنه:$${\displaystyle H=-{\vec {\mu }}\cdot \mathbf {B} =\omega _{0}S_{z}+\omega _{1}(\cos(\omega t)S_{x}+\sin(\omega t)S_{y})}$$حيث يكون العزم المغناطيسي$${\displaystyle {\hat {\mathbf {\mu } }}=-\gamma \mathbf {S} =-\gamma ({\hat {S_{x}}}\mathbf {i} +{\hat {S_{y}}}\mathbf {j} +{\hat {S_{z}}}\mathbf {k} ),}$$${\displaystyle \gamma }$هي النسبة المغناطيسية الدورانية للجسيم،${\displaystyle \omega _{0}=\gamma B_{0}}$،${\displaystyle \omega _{1}=\gamma B_{1}}$، و${\displaystyle {\hat {S_{x}}},{\hat {S_{y}}},{\hat {S_{z}}}}$هي عوامل الدوران . التردد${\displaystyle \omega _{1}}$يُعرف هذا بتردد رابي . يمكننا استبدال صيغ المصفوفات لمؤثرات الدوران في${\displaystyle z}$الأساس لإيجاد المصفوفة التي تمثل الهاميلتوني:$${\displaystyle {\begin{aligned}H&=\omega _{0}{\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}+\omega _{1}\left(\cos(\omega t){\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}+\sin(\omega t){\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\right)\\&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}\omega _{0}&\omega _{1}e^{-i\omega t}\\\omega _{1}e^{i\omega t}&-\omega _{0}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$حيث استخدمنا${\displaystyle \cos(\omega t)+i\sin(\omega t)=e^{i\omega t}}$هذا الهاميلتوني دالة للزمن، مما يعني أنه لا يمكننا استخدام الوصفة القياسية لتطور الزمن لشرودنغر في ميكانيكا الكم. بالنسبة للهاميلتونيين غير المعتمد على الزمن، يمكن التعبير عن تطور الحالة باستخدام عامل تطور الزمن.${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$، ولكن لا يمكن استخدام هذه الصيغة مباشرة للهاميلتونيان المعتمد على الزمن.

تتمثل الاستراتيجية الرئيسية لحل هذه المشكلة في تحويل دالة هاميلتون بحيث يختفي اعتمادها على الزمن، ثم حل المشكلة في هذا الإطار المحوّل، وبعد ذلك إعادة النتائج إلى وضعها الأصلي. ويمكن تحقيق ذلك عن طريق تغيير الإطار المرجعي الذي نعمل فيه ليتوافق مع المجال المغناطيسي الدوار . فإذا دار الإطار المرجعي مع المجال المغناطيسي، فإنه من وجهة نظرنا، لا يدور المجال المغناطيسي ويبدو ثابتًا. وبالتالي، في الإطار المرجعي الدوار ، يكون كل من المجال المغناطيسي ودالة هاميلتون ثابتين بالنسبة للزمن.

نرمز لحالة الجسيم ذي اللف المغزلي 1/2 بـ${\displaystyle |\psi (t)\rangle =c_{+}(t)|+\rangle +c_{-}(t)|-\rangle }$في الإطار المرجعي الثابت، حيث${\displaystyle |+\rangle }$و${\displaystyle |-\rangle }$حالات الدوران لأعلى ولأسفل في${\displaystyle z}$الاتجاه على التوالي، ويتم تطبيع الحالة :${\displaystyle |c_{+}(t)|^{2}+|c_{-}(t)|^{2}=1}$يمكننا تحويل هذه الحالة إلى إطار مرجعي دوار باستخدام عامل الدوران$${\displaystyle R_{z}(\theta )={\begin{bmatrix}e^{-i\theta /2}&0\\0&e^{i\theta /2}\end{bmatrix}}}$$مما يؤدي إلى تدوير الحالة عكس اتجاه عقارب الساعة حول المحور z الموجب في فضاء الحالة، والذي يمكن تصوره على أنه كرة بلوخ . في وقت واحد${\displaystyle t}$وتردد${\displaystyle \omega }$، سيكون المجال المغناطيسي قد دار بزاوية${\displaystyle \omega t}$لتحويل${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$في الإطار المرجعي الدوار، نسعى إلى تمثيل حالتي الدوران لأعلى ولأسفل من الإطار الثابت في الإطار الدوار. ومن المهم ملاحظة أن المحورين x و y الثابتين يدوران في اتجاه عقارب الساعة من وجهة نظر الإطار المرجعي الدوار. وبالتالي، لأن${\displaystyle R_{z}(\theta )}$إذا كان المؤثر يدور عكس اتجاه عقارب الساعة، فيجب علينا عكس الزاوية لإنشاء دوران في اتجاه عقارب الساعة يمثل حالتي الدوران لأعلى ولأسفل في الإطار الثابت كما يراها الإطار الدوار. تصبح الحالة$${\displaystyle |{\tilde {\psi }}(t)\rangle =R_{z}(-\omega t)|\psi (t)\rangle =c_{+}(t)e^{i\omega t/2}|+\rangle +c_{-}(t)e^{-i\omega t/2}|-\rangle }$$يمكننا إعادة كتابة السعات بحيث$${\displaystyle |{\tilde {\psi }}(t)\rangle =\alpha _{+}(t)|+\rangle +\alpha _{-}(t)|-\rangle }$$معادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن في الإطار المرجعي الثابت هي$${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle =H(t)|\psi (t)\rangle }$$يؤدي توسيع هذا باستخدام الصيغ المصفوفية للهاميلتوني والحالة إلى$${\displaystyle i\hbar {\begin{bmatrix}{\frac {dc_{+}}{dt}}\\{\frac {dc_{-}}{dt}}\end{bmatrix}}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}\omega _{0}&\omega _{1}e^{-i\omega t}\\\omega _{1}e^{i\omega t}&-\omega _{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{+}(t)\\c_{-}(t)\end{bmatrix}}}$$بتطبيق المصفوفة وفصل مركبات المتجه، يمكننا كتابة معادلتين تفاضليتين مترابطتين على النحو التالي$${\displaystyle {\begin{aligned}&i\hbar {\frac {dc_{+}}{dt}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}c_{+}(t)+{\frac {\hbar \omega _{1}}{2}}e^{-i\omega t}c_{-}(t)\\&i\hbar {\frac {dc_{-}}{dt}}={\frac {\hbar \omega _{1}}{2}}e^{i\omega t}c_{+}(t)-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}c_{-}(t)\end{aligned}}}$$لتحويل هذا إلى إطار مرجعي دوار، يمكننا استخدام حقيقة أن${\displaystyle c_{+}(t)=\alpha _{+}(t)e^{-i\omega t/2}}$و${\displaystyle c_{-}(t)=\alpha _{-}(t)e^{i\omega t/2}}$لكتابة ما يلي:$${\displaystyle {\begin{aligned}&i\hbar {\frac {d\alpha _{+}}{dt}}=-{\frac {\hbar \Delta \omega }{2}}\alpha _{+}(t)+{\frac {\hbar \omega _{1}}{2}}\alpha _{-}(t)\\&i\hbar {\frac {d\alpha _{-}}{dt}}={\frac {\hbar \omega _{1}}{2}}\alpha _{+}(t)+{\frac {\hbar \Delta \omega }{2}}\alpha _{-}(t)\end{aligned}}}$$أين${\displaystyle \Delta \omega =\omega -\omega _{0}}$والآن عرّف$${\displaystyle {\tilde {H}}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}-\Delta \omega &\omega _{1}\\\omega _{1}&\Delta \omega \end{bmatrix}}}$$نكتب الآن هاتين المعادلتين التفاضليتين المترابطتين الجديدتين مرة أخرى في شكل معادلة شرودنغر:$${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|{\tilde {\psi }}(t)\rangle ={\tilde {H}}|{\tilde {\psi }}(t)\rangle }$$بمعنى ما، هذه معادلة شرودنغر مُحوَّلة في الإطار المرجعي الدوّار. والأهم من ذلك، أن الهاميلتوني لا يتغير مع الزمن، مما يعني أنه في هذا الإطار المرجعي، يمكننا استخدام الحل المألوف لتطور معادلة شرودنغر مع الزمن.$${\displaystyle |{\tilde {\psi }}(t)\rangle ={\tilde {U}}(t)|{\tilde {\psi }}(0)\rangle =e^{-i{\tilde {H}}t/\hbar }|{\tilde {\psi }}(0)\rangle }$$تُعادل هذه المسألة المُحوَّلة مسألةَ ترنُّح لارمور لحالة الدوران، وهو ترنُّح حالة الدوران حول مجال مغناطيسي ثابت، وبذلك نكون قد حللنا جوهرَ انقلاب رابي. ويمكن التعبير عن احتمال انقلاب جسيمٍ بدأ في حالة الدوران لأعلى إلى حالة الدوران لأسفل على النحو التالي:$${\displaystyle P_{+\to -}={\frac {\omega _{1}^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega }{2}}t\right)}$$أين${\displaystyle \Omega ={\sqrt {\Delta \omega ^{2}+\omega _{1}^{2}}}}$هو تردد رابي المعمم . ومن الأمور المهمة التي يجب ملاحظتها أن${\displaystyle P_{+\to -}}$لن يصل إلى 1 إلا إذا${\displaystyle \Delta \omega =0}$بمعنى آخر، تردد المجال المغناطيسي الدوار${\displaystyle \omega }$يجب أن يتطابق مع تردد لارمور في المجال البيئي${\displaystyle \omega _{0}}$لكي ينعكس الدوران بالكامل، يجب أن يحدث الرنين . عندما يحدث الرنين (أي${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$يتم تحقيق ذلك،${\displaystyle \Omega =\omega _{1}}$.

لتحويل الحالة المحلولة إلى الإطار المرجعي الثابت، نعيد استخدام عامل الدوران بالزاوية المعاكسة${\displaystyle |\psi (t)\rangle =R_{z}(\omega t)|{\tilde {\psi }}(t)\rangle }$وبالتالي التوصل إلى حل كامل للمشكلة.

يُعد تأثير رابي مهمًا في البصريات الكمومية والرنين المغناطيسي والحوسبة الكمومية.

• التماسك الذري
• كرة بلوخ
• ضخ الليزر
• الضخ الضوئي
• مشكلة رابي
• تذبذب رابي الفراغي
• تذبذب الجسيمات المحايدة

• ميكانيكا الكم المجلد الأول بقلم سي. كوهين-تانودجي، برنارد ديو، فرانك لالو، ISBN 9780471164333
• مقدمة موجزة في المعلومات الكمومية والحوسبة الكمومية، بقلم ميشيل لو بيلاك، رقم ISBN 978-0521860567
• محاضرات فاينمان في الفيزياء، المجلد الثالث
• المدخل الحديث إلى ميكانيكا الكم، بقلم جون إس تاونسند، رقم ISBN 9788130913148