الدوران (الرياضيات)

الدوران في الرياضيات مفهومٌ نشأ في الهندسة . أي دوران هو حركة في فضاء معين تحافظ على نقطة واحدة على الأقل . يمكن أن يصف، على سبيل المثال، حركة جسم صلب حول نقطة ثابتة. للدوران إشارة ( كما في إشارة الزاوية ): الدوران مع عقارب الساعة له مقدار سالب، بينما الدوران عكس عقارب الساعة له مقدار موجب. يختلف الدوران عن أنواع الحركة الأخرى: الانتقالات ، التي ليس لها نقاط ثابتة، والانعكاسات (على المستويات الفائقة) ، حيث يمتلك كل منهما مستوىً كاملاً من النقاط الثابتة في فضاء ذي $n$ بُعدًا $(n -1)$ .

رياضيًا، الدوران هو تحويل . تشكل جميع الدورانات حول نقطة ثابتة زمرةً عند تركيبها تُسمى زمرة الدوران (لفضاء معين). ولكن في الميكانيكا ، وبشكل أعم في الفيزياء ، يُفهم هذا المفهوم غالبًا على أنه تحويل إحداثيات (وخاصةً تحويل أساس متعامد )، لأنه لكل حركة لجسم ما تحويل عكسي، إذا طُبِّق على إطار مرجعي، ينتج عنه أن يكون الجسم عند نفس الإحداثيات. على سبيل المثال، في بُعدين، يُكافئ تدوير جسم في اتجاه عقارب الساعة حول نقطة مع تثبيت المحاور تدوير المحاور عكس اتجاه عقارب الساعة حول نفس النقطة مع تثبيت الجسم. يُطلق على هذين النوعين من الدوران اسم التحويلات الفعالة والتحويلات غير الفعالة . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

التعريفات والمصطلحات ذات الصلة

مجموعة الدوران هي مجموعة لي من الدورانات حول نقطة ثابتة . تُسمى هذه النقطة الثابتة (المشتركة) أو المركز مركز الدوران ، وعادةً ما تُطابق نقطة الأصل . تُعدّ مجموعة الدوران مُثبِّتًا نقطيًا ضمن مجموعة أوسع من الحركات (التي تحافظ على الاتجاه) .

لدوران معين:

محور الدوران هو خط يمر بنقاطه الثابتة. وهي موجودة فقط في $n = 3$ .
مستوى الدوران هو مستوى ثابت تحت الدوران. على عكس المحور، فإن نقاطه ليست ثابتة. المحور ( إن وُجد) ومستوى الدوران متعامدان .

تمثيل الدوران هو شكلٌ رسميٌّ خاص، سواءً كان جبريًّا أو هندسيًّا، يُستخدم لضبط معلمات خريطة الدوران. هذا المعنى معكوسٌ نوعًا ما للمعنى في نظرية الزمر .

لا يمكن دائمًا التمييز بوضوح بين دورانات الفضاءات (الخطية) للنقاط ودورانات الفضاءات المتجهة المقابلة لها . يُشار إلى الأولى أحيانًا بالدورانات الخطية (مع أن هذا المصطلح مُضلل)، بينما تُسمى الثانية بالدورانات المتجهة . راجع المقال أدناه لمزيد من التفاصيل.

التعريفات والتمثيلات

في الهندسة الإقليدية

ينتج عن الدوران المستوي حول نقطة ما، متبوعًا بدوران آخر حول نقطة مختلفة، حركة كلية إما دوران (كما في هذه الصورة)، أو انتقال .

حركة الفضاء الإقليدي تُشابه التناظر المتساوي القياس : فهي تُبقي المسافة بين أي نقطتين ثابتة بعد التحويل. لكن الدوران (الصحيح) يجب أن يحافظ أيضًا على بنية التوجيه . يُشير مصطلح " الدوران غير الصحيح " إلى التناظرات المتساوية القياس التي تعكس (تقلب) التوجيه. في لغة نظرية الزمر، يُعبَّر عن التمييز بين التناظرات المتساوية القياس المباشرة وغير المباشرة في الزمرة الإقليدية ، حيث تُشكِّل الأولى عنصر الوحدة . يُمكن تمثيل أي حركة إقليدية مباشرة كتركيب لدوران حول نقطة ثابتة وانتقال.

في الفضاء أحادي البعد ، لا توجد سوى دورانات بسيطة . أما في الفضاء ثنائي البعد ، فيكفي تحديد زاوية واحدة فقط للدوران حول نقطة الأصل ، وهي زاوية الدوران التي تحدد عنصرًا من زمرة الدائرة (المعروفة أيضًا باسم $U(1)$ ). يعمل الدوران على تدوير جسم عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية $θ$ حول نقطة الأصل ؛ انظر أدناه لمزيد من التفاصيل. تركيب الدورانات هو مجموع زواياها بتردد 1 ، مما يعني أن جميع الدورانات ثنائية الأبعاد حول نفس النقطة تتبادل . أما الدورانات حول نقاط مختلفة ، فلا تتبادل عمومًا. أي حركة مباشرة ثنائية الأبعاد هي إما انتقال أو دوران؛ انظر إلى التناظر المستوي الإقليدي لمزيد من التفاصيل.

دوران الأرض وفقًا لمقياس أويلر. الدوران الداخلي (باللون الأخضر)، والترنح (باللون الأزرق)، والتذبذب (باللون الأحمر).

تختلف الدورانات في الفضاء ثلاثي الأبعاد عن تلك في بُعدين في عدة جوانب مهمة. فالدورانات في ثلاثة أبعاد ليست تبادلية عمومًا ، لذا فإن ترتيب تطبيق الدورانات مهم حتى حول النقطة نفسها. كذلك، على عكس الحالة ثنائية الأبعاد، فإن الحركة المباشرة ثلاثية الأبعاد، في الوضع العام ، ليست دورانًا بل عملية لولبية . للدورانات حول نقطة الأصل ثلاث درجات حرية (انظر صيغ الدوران في ثلاثة أبعاد لمزيد من التفاصيل)، وهو نفس عدد الأبعاد. يمكن تحديد الدوران ثلاثي الأبعاد بعدة طرق، وأكثرها شيوعًا هي:

زوايا أويلر (كما هو موضح في الصورة على اليسار). يمكن تمثيل أي دوران حول نقطة الأصل كتركيب لثلاثة دورانات، تُعرَّف بأنها الحركة الناتجة عن تغيير إحدى زوايا أويلر مع تثبيت الزاويتين الأخريين. تُشكل هذه الزوايا نظام محاور دوران مختلطة، لأنها تُقاس بالنسبة إلى مجموعة من الأطر المرجعية المختلفة ، بدلاً من إطار مرجعي واحد خارجي أو داخلي بحت. تحديدًا، تُحرك الزاوية الأولى خط العقد حول المحور الخارجي z ، وتُدير الثانية حول خط العقد، أما الثالثة فهي دوران داخلي (لفة) حول محور ثابت في الجسم المتحرك. يُرمز لزوايا أويلر عادةً بالرموز α ، β ، γ ، أو φ ، θ ، ψ . هذا العرض مناسب فقط للدورانات حول نقطة ثابتة.

يُحدد تمثيل المحور والزاوية (الموضح على اليمين) الزاوية مع المحور الذي يدور حوله الجسم. ويمكن تصوره بسهولة. وهناك نوعان لتمثيله:
- كزوج يتكون من الزاوية ومتجه وحدة للمحور، أو
- كمتجه إقليدي يتم الحصول عليه عن طريق ضرب الزاوية في متجه الوحدة هذا، ويسمى متجه الدوران (على الرغم من أنه، بالمعنى الدقيق للكلمة، هو متجه زائف ).
المصفوفات، والمتجهات (الرباعيات)، والأشياء الجبرية الأخرى : انظر قسم الشكلية الجبرية الخطية والمتعددة الخطوط لمزيد من التفاصيل.

إسقاط منظور ثلاثي الأبعاد لمكعب رباعي الأبعاد يدور في فضاء إقليدي رباعي الأبعاد.

الدوران العام في أربعة أبعاد له نقطة ثابتة واحدة فقط، وهي مركز الدوران، ولا يوجد له محور دوران؛ انظر الدوران في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد لمزيد من التفاصيل. بدلاً من ذلك، يحتوي الدوران على مستويين متعامدين للدوران، كل منهما ثابت بمعنى أن النقاط في كل مستوى تبقى داخله. للدوران زاويتان للدوران، واحدة لكل مستوى دوران ، تدور النقاط فيهما. إذا كانت هاتان الزاويتان $ω₁$ $و$ ω₂ $، فإن جميع النقاط التي لا$ $تقع$ في المستويين تدور بزاوية بين $ω₁$ و $ω₂$ . للدوران في أربعة أبعاد حول نقطة ثابتة ست درجات حرية. الحركة المباشرة في أربعة أبعاد في وضع عام هي دوران حول نقطة معينة (كما هو الحال في جميع $الأبعاد$ الإقليدية الزوجية )، ولكن توجد أيضًا عمليات لولبية.

الشكلية الجبرية الخطية والمتعددة الخطوط

عند دراسة حركات الفضاء الإقليدي التي تحافظ على نقطة الأصل ، يمكن محو التمييز بين النقاط والمتجهات ، وهو تمييز مهم في الرياضيات البحتة، لوجود تطابق تام بين النقاط ومتجهات الموضع . وينطبق الأمر نفسه على الأشكال الهندسية الأخرى غير الإقليدية ، ولكن فضاءاتها فضاءات أفينية ذات بنية تكميلية ؛ انظر المثال أدناه . وبدلاً من ذلك، يمكن فهم الوصف المتجهي للدوران على أنه تمثيلٌ للدوران الهندسي حتى تركيبه مع الإزاحات. بعبارة أخرى، يمثل دوران متجهي واحد العديد من الدورانات المتكافئة حول جميع النقاط في الفضاء.

الحركة التي تحافظ على نقطة الأصل تُشابه المؤثر الخطي على المتجهات الذي يحافظ على البنية الهندسية نفسها، ولكنه مُعبَّر عنه بدلالة المتجهات. بالنسبة للمتجهات الإقليدية ، يُعبَّر عن هذا المؤثر بمقدارها ( المعيار الإقليدي ). أما في المركبات ، فيُعبَّر عن هذا المؤثر بمصفوفة متعامدة من الرتبة $n \times n$ تُضرب في متجهات عمودية .

كما ذُكر سابقًا ، يختلف الدوران (الصحيح) عن الحركة الثابتة العشوائية في الحفاظ على اتجاه فضاء المتجهات. لذا، يجب أن يكون محدد مصفوفة الدوران المتعامدة مساويًا لـ 1. الاحتمال الوحيد الآخر لمحدد المصفوفة المتعامدة هو -1 ، وهذه النتيجة تعني أن التحويل هو انعكاس مستوى فائق ، أو انعكاس نقطة (لأعداد $n$ الفردية )، أو نوع آخر من الدوران غير الصحيح . تشكل مصفوفات جميع الدورانات الصحيحة المجموعة المتعامدة الخاصة .

بعدين

في بعدين، لإجراء دوران باستخدام مصفوفة ، تُكتب النقطة $(x, y)$ المراد تدويرها عكس اتجاه عقارب الساعة كمتجه عمودي، ثم تُضرب في مصفوفة دوران محسوبة من الزاوية $θ$ :

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

.

إحداثيات النقطة بعد الدوران هي $x' و y'$ ، وصيغتا $x'$ و $y'$ هما

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}

المتجهات ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ و ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}$ لها نفس المقدار وتفصل بينها زاوية $θ$ كما هو متوقع.

يمكن أيضًا تمثيل النقاط على $المستوى$ $R²$ بأعداد مركبة : النقطة $(x, y)$ في المستوى تُمثل بالعدد المركب

z=x+iy

يمكن تدوير هذا الشكل بزاوية $θ$ عن طريق ضربه في $e iθ$ ، ثم توسيع الناتج باستخدام صيغة أويلر كما يلي:

{\begin{aligned}e^{i\theta }z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta \\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x'+iy',\end{aligned}}

ومساواة الأجزاء الحقيقية والخيالية تعطي نفس نتيجة المصفوفة ثنائية الأبعاد:

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}

بما أن الأعداد المركبة تشكل حلقة تبديلية ، فإن دوران المتجهات في بعدين يكون تبديليًا، على عكس ما هو عليه الحال في الأبعاد الأعلى. فهي لا تملك سوى درجة حرية واحدة ، إذ أن هذه الدورانات تتحدد كليًا بزاوية الدوران. ^{[ 3 ]}

الأبعاد الثلاثة

كما هو الحال في البعدين، يمكن استخدام مصفوفة لتدوير نقطة $(س ، ص ، ع)$ إلى نقطة $(س' ، ص' ، ع')$ . المصفوفة المستخدمة هي مصفوفة 3 × 3 .

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}

يتم ضرب هذا في متجه يمثل النقطة للحصول على النتيجة

\mathbf {A} {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}

مجموعة جميع المصفوفات المناسبة مع عملية ضرب المصفوفات هي زمرة الدوران SO(3) . المصفوفة $A$ هي عنصر من زمرة الدوران الخاصة ثلاثية الأبعاد $SO(3)$ ، أي أنها مصفوفة متعامدة ومحددها يساوي 1. كونها مصفوفة متعامدة يعني أن صفوفها هي مجموعة من متجهات الوحدة المتعامدة (أي أنها تشكل أساسًا متعامدًا معياريًا )، وكذلك أعمدتها، مما يسهل تحديد ما إذا كانت المصفوفة مصفوفة دوران صالحة والتحقق من ذلك.

يمكن تحويل زوايا أويلر المذكورة أعلاه وتمثيلات المحور والزاوية بسهولة إلى مصفوفة دوران.

ثمة احتمال آخر لتمثيل دوران المتجهات الإقليدية ثلاثية الأبعاد وهو الكواترنيونات الموصوفة أدناه.

الرباعيات

تُعدّ الكواترنيونات الوحدوية ، أو المتجهات ، من أقلّ تمثيلات الدوران ثلاثي الأبعاد بديهيةً. فهي ليست تجسيدًا ثلاثي الأبعاد لمنهج عام. ومع ذلك، فهي أكثر إيجازًا من المصفوفات وأسهل استخدامًا من جميع الطرق الأخرى، لذا غالبًا ما تُفضّل في التطبيقات العملية.

يتكون المتجه الدوراني (أو ما يُسمى أيضًا بالرباعي الدوراني ) من أربعة أعداد حقيقية، مقيدة بحيث يكون معيار الرباعي يساوي 1. هذا القيد يحد من درجات حرية الرباعي إلى ثلاثة، كما هو مطلوب. على عكس المصفوفات والأعداد المركبة، يلزم إجراء عمليتي ضرب.

\mathbf {x'} =\mathbf {qxq} ^{-1},

حيث $q$ هو المتجه العكسي، $و$ $q⁻¹$ هو معكوسه ، و $x$ هو المتجه الذي يُعامل كرباعي ذي جزء قياسي صفري . ويمكن ربط الرباعي بصيغة متجه الدوران لدوران زاوية المحور بواسطة الدالة الأسية على الرباعيات.

\mathbf {q} =e^{\mathbf {v} /2},

حيث يمثل $v$ متجه الدوران الذي يتم التعامل معه كرباعي.

إن عملية الضرب الواحدة بواسطة متجه، سواءً كان يسارياً أو يمينياً ، هي بحد ذاتها دوران، ولكن في أربعة أبعاد. ويمكن تمثيل أي دوران رباعي الأبعاد حول نقطة الأصل بعمليتي ضرب رباعيتين: واحدة يسارية والأخرى يمينية، بواسطة عددين رباعيين مختلفين .

ملاحظات إضافية

وبشكل أعم، يتم تمثيل دورانات الإحداثيات في أي بُعد بواسطة مصفوفات متعامدة. وتشكل مجموعة جميع المصفوفات المتعامدة في $n$ بُعدًا التي تصف الدورانات الصحيحة (المحدد = +1)، بالإضافة إلى عملية ضرب المصفوفات، المجموعة المتعامدة الخاصة $SO(n)$ .

تُستخدم المصفوفات غالبًا لإجراء التحويلات، خاصةً عند تحويل عدد كبير من النقاط، لأنها تمثل المؤثر الخطي تمثيلًا مباشرًا . أما الدورانات المُمثلة بطرق أخرى، فغالبًا ما تُحوّل إلى مصفوفات قبل استخدامها. ويمكن توسيعها لتمثيل الدورانات والتحويلات في آنٍ واحد باستخدام الإحداثيات المتجانسة . تُمثل التحويلات الإسقاطية بمصفوفات 4 × 4 . وهي ليست مصفوفات دوران، ولكن التحويل الذي يُمثل دورانًا إقليديًا يحتوي على مصفوفة دوران 3 × 3 في الزاوية العلوية اليسرى.

تتمثل العيوب الرئيسية للمصفوفات في ارتفاع تكلفة حسابها وإجراء العمليات الحسابية عليها. كما أنها أكثر عرضة لعدم الاستقرار العددي في العمليات الحسابية التي تُشكل فيها عدم الاستقرار العددي مصدر قلق، لذا يلزم إجراء عمليات حسابية لاستعادة التعامد ، وهي عمليات مكلفة بالنسبة للمصفوفات، بشكل متكرر.

بدائل أخرى لصيغة المصفوفة

كما تم توضيحه أعلاه، توجد ثلاثة أشكال رسمية لدوران الجبر الخطي المتعدد : واحد مع U(1)، أو الأعداد المركبة ، للأبعاد الثنائية، واثنان آخران مع المتجهات، أو الكواترنيونات ، للأبعاد الثلاثية والرباعية.

بشكل عام (حتى بالنسبة للمتجهات المزودة بصيغة مينكوفسكي التربيعية غير الإقليدية ) ، يمكن التعبير عن دوران فضاء متجهي كمتجه ثنائي . يُستخدم هذا الشكل في الجبر الهندسي ، وبشكل أعم، في تمثيل جبر كليفورد لمجموعات لي.

في حالة الشكل التربيعي الإقليدي الموجب المحدد، فإن مجموعة التغطية المزدوجة لمجموعة التساوي في القياس $\mathrm {SO} (n)$ تُعرف باسم مجموعة الدوران ، $\mathrm {Spin} (n)$ يمكن وصفها بسهولة باستخدام جبر كليفورد. تُعطي الكواترنيونات الوحدوية المجموعة $\mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {SU} (2)$ .

في الهندسات غير الإقليدية

في الهندسة الكروية ، تُعادل الحركة المباشرة للكرة ذات البعد $n$ (مثال على الهندسة الإهليلجية ) دوران الفضاء الإقليدي ذي البعد $(n + 1) حول نقطة الأصل ($ $SO(n + 1)$ ). بالنسبة للأعداد الفردية $n$ ، لا تمتلك معظم هذه الحركات نقاطًا ثابتة على الكرة ذات البعد $n$ ، وبالتالي، من الناحية الدقيقة، لا تُعتبر دورانات للكرة ؛ ويُشار إلى هذه الحركات أحيانًا باسم إزاحات كليفورد . أما الدورانات حول نقطة ثابتة في الهندستين الإهليلجية والزائدية ، فلا تختلف عن الدورانات الإقليدية.

لا يوجد مفهوم مميز للدوران في الهندسة الأفينية والهندسة الإسقاطية .

في النسبية

ينطبق تعميم الدوران في النسبية الخاصة ، حيث يمكن اعتباره عاملاً في فضاء رباعي الأبعاد، يُسمى الزمكان ، ويمتد على ثلاثة أبعاد مكانية وبُعد زمني. في النسبية الخاصة، يُسمى هذا الفضاء فضاء مينكوفسكي ، وللدورانات رباعية الأبعاد، التي تُسمى تحويلات لورنتز ، تفسير فيزيائي. تحافظ هذه التحويلات على شكل تربيعي يُسمى فاصل الزمكان .

إذا كان دوران فضاء مينكوفسكي في مستوى مكاني، فإن هذا الدوران يُعادل الدوران المكاني في الفضاء الإقليدي. في المقابل، يُعد الدوران في مستوى يمتد بين بُعد مكاني وبُعد زمني دورانًا زائديًا ، وإذا احتوى هذا المستوى على محور الزمن للإطار المرجعي، يُسمى "تعزيز لورنتز". تُظهر هذه التحويلات الطبيعة شبه الإقليدية لفضاء مينكوفسكي. تُوصف الدورانات الزائدة أحيانًا بأنها " خرائط ضغط "، وتظهر بكثرة في مخططات مينكوفسكي التي تُصوّر الهندسة شبه الإقليدية ذات البعدين (1+1) على رسومات مستوية. يتناول علم النسبية مجموعة لورنتز الناتجة عن الدورانات المكانية والزائدية. ^{[ 4 ]}

بينما تتوافق دورانات $SO(3)$ في الفيزياء وعلم الفلك مع دوران الكرة السماوية ككرة ثنائية الأبعاد في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، فإن تحويلات لورنتز من $SO(3;1) +$ تُحدث تحويلات توافقية للكرة السماوية. وهي فئة أوسع من تحويلات الكرة تُعرف بتحويلات موبيوس .

دورانات منفصلة

أهمية

تُحدد الدورانات فئات مهمة من التناظر : التناظر الدوراني هو ثبات بالنسبة لدوران معين . أما التناظر الدائري فهو ثبات بالنسبة لجميع الدورانات حول محور ثابت.

كما ذُكر سابقًا، تُطبَّق الدورانات الإقليدية على ديناميكيات الأجسام الصلبة . علاوة على ذلك، فإن معظم الصيغ الرياضية في الفيزياء (مثل حساب المتجهات ) ثابتة تحت تأثير الدوران؛ انظر الدوران لمزيد من الجوانب الفيزيائية. يُعتقد أن الدورانات الإقليدية، وبشكل أعم، تناظر لورنتز الموصوف أعلاه ، هي قوانين تناظر طبيعية . في المقابل، فإن التناظر الانعكاسي ليس قانون تناظر طبيعي دقيق.

التعميمات

المصفوفات ذات القيم المركبة المشابهة للمصفوفات المتعامدة الحقيقية هي المصفوفات الوحدوية. $\mathrm {U} (n)$ والتي تمثل الدورانات في الفضاء المركب. تشكل مجموعة جميع المصفوفات الوحدوية في بُعد معين $n$ مجموعة وحدوية $\mathrm {U} (n)$ من الدرجة $n$ ؛ ومجموعتها الفرعية التي تمثل الدورانات الصحيحة (تلك التي تحافظ على اتجاه الفضاء) هي المجموعة الوحدوية الخاصة $\mathrm {SU} (n)$ من الدرجة $n$ . هذه الدورانات المعقدة مهمة في سياق السبينورات . عناصر $\mathrm {SU} (2)$ تُستخدم لتحديد معلمات الدوران الإقليدي ثلاثي الأبعاد (انظر أعلاه )، بالإضافة إلى التحويلات المقابلة للدوران ( انظر نظرية التمثيل لـ SU(2) ).