تحليل مصفوفة نقل الأشعة

تحليل مصفوفة نقل الأشعة (المعروف أيضًا بتحليل مصفوفة ABCD ) هو أسلوب رياضي يُستخدم لحساب مسارات الأشعة في مسائل بسيطة نسبيًا، بحيث يمكن حلها بالاعتماد فقط على الأشعة المحورية. يُوصف كل عنصر بصري (سطح، أو واجهة، أو مرآة، أو مسار شعاع) بمصفوفة نقل أشعة ثنائية الأبعاد (2 × 2 ) تعمل على متجه يصف شعاع الضوء الوارد لحساب مسار الشعاع الخارج. ينتج عن ضرب المصفوفات المتتالية مصفوفة نقل أشعة موجزة تصف النظام البصري بأكمله. تُستخدم هذه الرياضيات نفسها في فيزياء المسرعات لتتبع الجسيمات عبر منشآت المغناطيس في مسرع الجسيمات ، انظر: بصريات الإلكترون .

تعتمد هذه التقنية، كما هو موضح أدناه، على تقريب المحور البصري ، الذي يشترط أن تكون جميع اتجاهات الأشعة (الاتجاهات العمودية على جبهات الموجة) بزوايا صغيرة θ بالنسبة للمحور البصري للنظام، بحيث يبقى التقريب sin θ ≈ θ صالحًا. ويعني صغر قيمة θ أيضًا أن الامتداد العرضي لحزم الأشعة ( x و y ) صغير مقارنةً بطول النظام البصري (ومن هنا جاءت تسمية "المحور البصري"). وبما أن نظام التصوير الجيد، حتى في حال عدم تحقق هذا الشرط لجميع الأشعة، يجب أن يركز أشعة المحور البصري بشكل صحيح، فإن طريقة المصفوفة هذه ستصف بدقة مواقع مستويات التركيز والتكبيرات، إلا أنه لا يزال من الضروري تقييم الانحرافات باستخدام تقنيات تتبع الأشعة الكاملة. ^{[ 1 ]}

تعتمد تقنية تتبع الأشعة على مستويين مرجعيين، يُطلق عليهما مستويا الإدخال والإخراج ، كل منهما عمودي على المحور البصري للنظام. عند أي نقطة على طول المسار البصري، يُحدد محور بصري يُقابل شعاعًا مركزيًا؛ ينتشر هذا الشعاع المركزي لتحديد المحور البصري في أجزاء أخرى من المسار البصري، والتي قد لا تكون في نفس الاتجاه الفيزيائي (كما هو الحال عند انكساره بواسطة منشور أو مرآة). تُحدد الاتجاهات العرضية x و y (سنقتصر فيما يلي على الاتجاه x _{) لتكون متعامدة مع المحاور البصرية. يدخل شعاع ضوئي أحد المكونات، عابرًا مستوى الإدخال على بُعد} x₁ من المحور البصري، ويتحرك في اتجاه يصنع زاوية θ₁ مع المحور البصري. بعد انتشاره إلى مستوى الإخراج _، يُوجد هذا الشعاع على بُعد x₂ _من المحور البصري وبزاوية θ₂ بالنسبة إليه. n₁ _{و n₂} هما معامل انكسار الوسطين في مستويي الإدخال والإخراج، _على التوالي .

تربط مصفوفة ABCD التي تمثل مكونًا أو نظامًا شعاع الإخراج بشعاع الإدخال وفقًا لـ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}},}$$ وبالتالي، تُعطى قيم عناصر المصفوفة الأربعة كما يلي: $${\displaystyle A=\left.{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad B=\left.{\frac {x_{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0},}$$ و $${\displaystyle C=\left.{\frac {\theta _{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad D=\left.{\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0}.}$$

يربط هذا بين متجهات الأشعة عند مستويي الإدخال والإخراج بواسطة مصفوفة نقل الأشعة ( RTM ) M ، التي تمثل المكون البصري أو النظام الموجود بين مستويي المرجع. ويكون محدد مصفوفة نقل الأشعة دائمًا مساويًا لنسبة معاملات الانكسار ^{[ 2 ]} . $${\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC={\frac {n_{1}}{n_{2}}}.}$$

ونتيجة لذلك، إذا كانت مستويات الإدخال والإخراج موجودة داخل نفس الوسط، أو داخل وسطين مختلفين لهما نفس معامل الانكسار، فإن محدد M يساوي ببساطة 1.

يمكن استخدام اصطلاح مختلف لمتجهات الأشعة. فبدلاً من استخدام θ ≈ sin θ ، يكون العنصر الثاني من متجه الشعاع هو n sin θ ، ^{[ 3 ]} وهو لا يتناسب مع زاوية الشعاع بحد ذاتها، بل مع المركبة المستعرضة لمتجه الموجة . وهذا يُغيّر مصفوفات ABCD الموضحة في الجدول أدناه عند حدوث انكسار عند سطح فاصل.

إن استخدام مصفوفات النقل بهذه الطريقة يوازيالمصفوفات 2 × 2 التي تصف الشبكات الإلكترونية ثنائية المنافذ ، وخاصة المصفوفات المختلفة التي تسمى ABCD والتي يمكن ضربها بالمثل لحل الأنظمة المتتالية.

يمكن اعتبار مصفوفة نقل الشعاع تحويلاً خطياً قانونياً . وبناءً على القيم الذاتية للنظام البصري، يمكن تصنيف النظام إلى عدة فئات. ^{[ 4 ]} لنفترض أن مصفوفة ABCD التي تمثل نظاماً ما تربط شعاع الخرج بشعاع الدخل وفقاً لـ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {T} \mathbf {v} .}$$

نحسب القيم الذاتية للمصفوفة${\displaystyle \mathbf {T} }$التي تحقق معادلة القيم الذاتية $${\displaystyle [{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{bmatrix}}\mathbf {v} =0,}$$ عن طريق حساب المحدد $${\displaystyle {\begin{vmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0.}$$

يترك${\displaystyle m={\frac {(A+D)}{2}}}$ولدينا قيم ذاتية${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}}$.

وفقًا لقيم${\displaystyle \lambda _{1}}$و${\displaystyle \lambda _{2}}$هناك عدة حالات محتملة. على سبيل المثال:

1. زوج من القيم الذاتية الحقيقية:${\displaystyle r}$و${\displaystyle r^{-1}}$، أين${\displaystyle r\neq 1}$هذه العلبة تمثل عدسة مكبرة${\displaystyle {\begin{bmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{bmatrix}}}$
2. ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=1}$أو${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=-1}$تمثل هذه الحالة مصفوفة الوحدة (أو مع مُحوِّل إحداثيات إضافي).${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$.
3. ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=\pm 1}$تحدث هذه الحالة إذا كان النظام، وليس فقط إذا كان، إما مؤثرًا وحدويًا، أو مقطعًا من الفضاء الحر، أو عدسة
4. زوج من القيم الذاتية المترافقة المعقدة أحادية المعامل${\displaystyle e^{i\theta }}$و${\displaystyle e^{-i\theta }}$هذه الحالة مشابهة لتحويل فورييه الجزئي القابل للفصل .

تشير نظرية التحويل الكنسي الخطي إلى العلاقة بين مصفوفة نقل الأشعة ( البصريات الهندسية ) والبصريات الموجية. ^{[ 8 ]}

عنصر	المصفوفة في البصريات الهندسية	مشغل في مجال البصريات الموجية	ملاحظات
التوسع	${\displaystyle {\begin{pmatrix}b^{-1}&0\\0&b\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\mathcal {V}}[b]u(x)=u(bx)}$
عامل الطور التربيعي	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\c&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle Q[c]=\exp i{\frac {k_{0}}{2}}cx^{2}}$	${\displaystyle k_{0}}$رقم الموجة
مؤثر انتشار فريسنل في الفضاء الحر	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\mathcal {R}}[d]\left\{U\left(x_{1}\right)\right\}={\frac {1}{\sqrt {i\lambda d}}}\int _{-\infty }^{\infty }U\left(x_{1}\right)e^{i{\frac {k}{2d}}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}}dx_{1}}$	${\displaystyle x_{1}}$إحداثيات المصدر ${\displaystyle x_{2}}$إحداثيات الهدف
مُعامل تحويل فورييه المُعَيَّر	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\mathcal {F}}=\left(i\lambda _{0}\right)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty }dx\left[\exp \left(ik_{0}px\right)\right]\ldots }$

توجد طرق لا حصر لها لتحليل مصفوفة نقل الأشعة${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$إلى سلسلة من مصفوفات النقل المتعددة. على سبيل المثال، في الحالة الخاصة عندما${\displaystyle n_{1}=n_{2}}$:

1. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&0\\D/B&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}B&0\\0&1/B\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}0&1\\-1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&0\\A/B&1\end{array}}\right]}$.
2. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&0\\C/A&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}A&0\\0&A^{-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&B/A\\0&1\end{array}}\right]}$
3. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&A/C\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{lr}-C^{-1}&0\\0&-C\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}0&1\\-1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&D/C\\0&1\end{array}}\right]}$
4. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&B/D\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}D^{-1}&0\\0&D\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&0\\C/D&1\end{array}}\right]}$

يُعد تحليل RTM مفيدًا بشكل خاص عند نمذجة سلوك الضوء في الرنانات الضوئية ، مثل تلك المستخدمة في الليزر. في أبسط صوره، يتكون الرنان الضوئي من مرآتين متقابلتين متطابقتين، لكل منهما انعكاسية 100% ونصف قطر انحناء R ، تفصل بينهما مسافة d . لأغراض تتبع الأشعة، يُعادل هذا سلسلة من العدسات الرقيقة المتطابقة ذات البعد البؤري f = R /2 ، تفصل كل عدسة عن الأخرى مسافة d . يُعرف هذا التركيب باسم قناة مكافئة للعدسة أو دليل موجي مكافئ للعدسة . يكون تحليل RTM لكل قسم من الدليل الموجي، كما ذُكر أعلاه، $${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}.}$$

يمكن الآن استخدام تحليل RTM لتحديد استقرار الدليل الموجي (وبالتالي، الرنان). أي، يمكن تحديد الظروف التي يتم في ظلها إعادة تركيز الضوء المنتقل عبر الدليل الموجي بشكل دوري وبقائه داخله. وللقيام بذلك، يمكننا إيجاد جميع "الأشعة الذاتية" للنظام: يكون متجه الشعاع الداخل عند كل قسم من أقسام الدليل الموجي المذكورة مضروبًا في عامل حقيقي أو مركب λ مساويًا لمتجه الشعاع الخارج. وهذا يعطينا: $${\displaystyle \mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.}$$ وهي معادلة القيم الذاتية : $${\displaystyle \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0,}$$ أين${\textstyle \mathbf {I} =\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$ هومصفوفة الوحدة 2 × 2 .

ننتقل الآن إلى حساب القيم الذاتية لمصفوفة النقل: $${\displaystyle \det \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0,}$$ مما يؤدي إلى المعادلة المميزة$${\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\det(\mathbf {M} )=0,}$$ أين $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{\frac {d}{f}}}$$ هو أثر RTM ، و $${\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC=1}$$ هو المحدد لـ RTM . بعد استبدال مشترك واحد، نحصل على: $${\displaystyle \lambda ^{2}-2g\lambda +1=0,}$$ أين $${\displaystyle g{\overset {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {\operatorname {tr} (\mathbf {M} )}{2}}=1-{\frac {d}{2f}}}$$ يمثل معامل الاستقرار . القيم الذاتية هي حلول المعادلة المميزة. من الصيغة التربيعية نجد $${\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}.}$$

والآن، لنفترض مرور شعاع بعد مرور N عبر النظام: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.}$$

إذا كان الدليل الموجي مستقرًا، فلا ينبغي لأي شعاع أن ينحرف بعيدًا عن المحور الرئيسي، أي أن ^λN يجب ألا ينمو بلا حدود. لنفترض${\displaystyle g^{2}>1}$إذن ، كلا القيمتين الذاتيتين حقيقيتان.${\displaystyle \lambda _{+}\lambda _{-}=1}$يجب أن يكون أحد هذه القيم أكبر من 1 ( بالقيمة المطلقة )، مما يعني أن الشعاع الذي يتوافق مع هذا المتجه الذاتي لن يتقارب. لذلك، في دليل موجي مستقر ،${\displaystyle g^{2}\leq 1}$ويمكن تمثيل القيم الذاتية بأعداد مركبة :$${\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi },}$$ مع الاستبدال g = cos( ϕ ) .

ل${\displaystyle g^{2}<1}$يترك${\displaystyle r_{+}}$و${\displaystyle r_{-}}$لتكن المتجهات الذاتية بالنسبة للقيم الذاتية${\displaystyle \lambda _{+}}$و${\displaystyle \lambda _{-}}$على التوالي، والتي تغطي جميع فضاء المتجهات لأنها متعامدة، والأخير بسبب${\displaystyle \lambda _{+}\neq \lambda _{-}}$وبالتالي ، يمكن كتابة متجه الإدخال على النحو التالي :$${\displaystyle c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-},}$$ بالنسبة لبعض الثوابت${\displaystyle c_{+}}$و${\displaystyle c_{-}}$.

بعد N قطاعًا من الموجهات، تكون قراءة المخرجات $${\displaystyle \mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-},}$$ والتي تمثل دالة دورية .

يمكن استخدام المصفوفات نفسها لحساب تطور الحزم الغاوسية ^{[ 9 ]} المنتشرة عبر المكونات البصرية الموصوفة بمصفوفات النقل نفسها. إذا كان لدينا حزمة غاوسية بطول موجي${\displaystyle \lambda _{0}}$، نصف قطر الانحناء R (موجب للتباعد، وسالب للتقارب)، حجم بقعة الشعاع w ومعامل الانكسار n ، من الممكن تعريف معلمة شعاع معقدة q بواسطة: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}.}$$

( R و w و q هي دوال للموضع.) إذا كان محور الشعاع في اتجاه z ، مع وجود الخصر عند z ₀ ومدى رايلي z _R ، فيمكن كتابة ذلك بشكل مكافئ على النحو التالي ^{[ 10 ]}$${\displaystyle q=(z-z_{0})+iz_{R}.}$$

يمكن نشر هذا الشعاع عبر نظام بصري ذي مصفوفة نقل شعاع معينة باستخدام المعادلة التالية : $${\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}},}$$ حيث k ثابت معايرة يُختار للحفاظ على المركبة الثانية لمتجه الشعاع مساويةً لـ 1. باستخدام ضرب المصفوفات ، تتوسع هذه المعادلة على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{2}&=k(Aq_{1}+B)\\1&=k(Cq_{1}+D)\,.\end{aligned}}}$$

يؤدي قسمة المعادلة الأولى على الثانية إلى التخلص من ثابت التوحيد: $${\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}},}$$

غالباً ما يكون من الملائم التعبير عن هذه المعادلة الأخيرة في شكل مقلوب: $${\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {C+D/q_{1}}{A+B/q_{1}}}.}$$

الأساليب التي تستخدم مصفوفات النقل ذات الأبعاد الأعلى، أي3 × 3 ،4 × 4 ، وتُستخدم أيضًا العدسات 6 × 6 في التحليل البصري. ^{[ 11 ]} على وجه الخصوص،تُستخدم مصفوفات الانتشار 4 × 4 في تصميم وتحليل تسلسلات الموشور لضغط النبضات في ليزرات الفيمتو ثانية . ^{[ 6 ]}

• طريقة مصفوفة النقل (البصريات)
• التحويل الكنسي الخطي

• صالح، بهاء إي. أ.؛ تايخ، مالفين كارل (1991). "1.4: عمليات المصفوفات". أساسيات الفوتونيات . نيويورك: جون وايلي وأولاده.

• العدسات السميكة (طرق المصفوفة)
• يقدم برنامج ABCD التعليمي مثالاً لمصفوفة النظام بأكمله.
• آلة حاسبة ABCD: آلة حاسبة تفاعلية للمساعدة في حل مصفوفات ABCD.