معادلة رايشودري

في النسبية العامة ، تعد معادلة رايشودري ، أو معادلة لاندو-رايشودري ، ^{[ 1 ]} نتيجة أساسية تصف حركة أجزاء المادة القريبة.

تُعد هذه المعادلة مهمة باعتبارها لِمّة أساسية لنظريات التفرد لبنروز-هاوكينغ ولدراسة الحلول الدقيقة في النسبية العامة ، ولكنها ذات أهمية مستقلة، لأنها تقدم تحققًا بسيطًا وعامًا لتوقعنا البديهي بأن الجاذبية يجب أن تكون قوة جذب عالمية بين أي جزأين من الكتلة والطاقة في النسبية العامة، كما هو الحال في نظرية نيوتن للجاذبية .

تم اكتشاف المعادلة بشكل مستقل من قبل الفيزيائي الهندي أمال كومار رايشودري ^{[ 2 ]} والفيزيائي السوفيتي ليف لانداو . ^{[ 3 ]}

بالنظر إلى حقل متجه وحدة زمني${\displaystyle {\vec {X}}}$(والتي يمكن تفسيرها على أنها عائلة أو تطابق لخطوط العالم غير المتقاطعة عبر المنحنى التكاملي ، وليس بالضرورة خطوطًا جيوديسية )، معادلة رايشودري في${\displaystyle D}$يمكن كتابة أبعاد الزمكان على النحو التالي

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{D-1}}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}+{{\dot {X}}^{a}}_{;a}}$

أين

${\displaystyle 2\sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;2\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

هي ثوابت تربيعية (غير سالبة) لموتر القص

${\displaystyle \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{D-1}}\,\theta \,h_{ab}}$

وموتر الدوامة

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

على التوالي. هنا،

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

هو موتر التوسع ،${\displaystyle \theta }$وهو أثره ، ويسمى الكمية القياسية للتمدد ، و

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

هو موتر الإسقاط على المستويات الفائقة المتعامدة مع${\displaystyle {\vec {X}}}$كذلك، تشير النقطة إلى التفاضل بالنسبة للزمن الخاص المحسوب على طول خطوط العالم في التطابق. وأخيرًا، أثر موتر المد والجزر${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}}$ويمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$

تُسمى هذه الكمية أحيانًا بالكمية القياسية لرايشودري .

يقيس معامل التمدد المعدل النسبي لتغير حجم كرة صغيرة من المادة مع الزمن، كما يقيسه مراقب مركزي متحرك (لذا قد يأخذ قيمًا سالبة). بعبارة أخرى، تعطينا المعادلة أعلاه معادلة تطور تمدد التطابق الزمني. إذا كانت مشتقة هذه الكمية (بالنسبة للزمن الخاص) سالبة على طول خط عالمي معين (بعد حدث معين)، فإن أي تمدد لكرة صغيرة من المادة (يتبع مركز كتلتها الخط العالمي المذكور) يجب أن يتبعه انكماش. وإلا، فإن استمرار التمدد ممكن.

يقيس موتر القص أي ميل لكتلة من المادة كروية الشكل في البداية إلى التشوه لتصبح بيضاوية الشكل. ويقيس موتر الدوامة أي ميل لخطوط العالم القريبة إلى الالتفاف حول بعضها البعض (إذا حدث هذا، فإن كتلة المادة الصغيرة لدينا تدور، كما يحدث لعناصر المائع في تدفق مائع عادي يُظهر دوامة غير صفرية).

يتكون الجانب الأيمن من معادلة رايشودري من نوعين من الحدود:

1. المصطلحات التي تشجع على (إعادة) الانهيار
   • كمية قياسية للتوسع غير صفرية في البداية،
   • قص غير صفري،
   • الأثر الموجب لموتر المد والجزر؛ هذا هو الشرط الذي يضمنه افتراض شرط الطاقة القوي ، والذي ينطبق على أهم أنواع الحلول، مثل حلول الموائع المعقولة فيزيائياً .
2. المصطلحات التي تعارض (إعادة) الانهيار
   • دوامية غير صفرية، تتوافق مع قوى الطرد المركزي النيوتونية ،
   • التباعد الإيجابي لمتجه التسارع (على سبيل المثال، التسارع المتجه للخارج بسبب انفجار متناظر كرويًا، أو بشكل أكثر واقعية، بسبب قوى الجسم على عناصر السائل في كرة من السائل متماسكة بفعل جاذبيتها الذاتية).

عادةً ما ينتصر أحد الخيارين. ومع ذلك، توجد حالات يمكن فيها تحقيق التوازن. وقد يكون هذا التوازن كالتالي:

• مستقر : في حالة التوازن الهيدروستاتيكي لكرة من سائل مثالي (مثلاً في نموذج لباطن نجم)، يتلاشى كل من التمدد والقص والدوامية، ويؤدي التباعد القطري في متجه التسارع (حيث توفر قوة الجسم اللازمة على كل قطرة من السائل ضغط السائل المحيط) إلى معاكسة كمية رايشودري القياسية، والتي تكون بالنسبة لسائل مثالي في أربعة أبعاد${\displaystyle E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)}$بوحدات هندسية . في الجاذبية النيوتونية، يكون أثر موتر المد والجزر هو${\displaystyle 4\pi \mu }$في النسبية العامة، يتم تعويض ميل الضغط إلى معارضة الجاذبية جزئيًا بواسطة هذا المصطلح، والذي يمكن أن يصبح مهمًا في ظل ظروف معينة.
• غير مستقر : على سبيل المثال، خطوط العالم لجزيئات الغبار في حل غودل لها قص وتمدد وتسارع متلاشي، ولكن دوامية ثابتة توازن فقط كمية قياسية ثابتة من رايشودري بسبب طاقة الفراغ غير الصفرية ("الثابت الكوني").

لنفترض أن شرط الطاقة القوي متحقق في منطقة ما من الزمكان الخاص بنا، ولنفترض${\displaystyle {\vec {X}}}$ليكن حقل متجه وحدة جيوديسي زمني ذو دوامية معدومة ، أو بصورة مكافئة، يكون متعامدًا مع السطح الفائق. على سبيل المثال، يمكن أن تنشأ هذه الحالة عند دراسة خطوط العالم لجزيئات الغبار في النماذج الكونية التي تمثل حلولًا دقيقة لمعادلة أينشتاين للمجال (شريطة ألا تلتوي خطوط العالم هذه حول بعضها البعض، وفي هذه الحالة سيكون للتطابق دوامية غير صفرية).

ثم تصبح معادلة رايشودري

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{D-1}}-2\sigma ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

الآن، الجانب الأيمن يكون دائمًا سالبًا أو صفرًا، لذا فإن معامل التوسع لا يزداد أبدًا بمرور الوقت.

بما أن الحدين الأخيرين غير سالبين، فإن لدينا

${\displaystyle {\dot {\theta }}\leq -{\frac {\theta ^{2}}{D-1}}}$

دمج هذه المتباينة فيما يتعلق بالزمن الخاص${\displaystyle \tau }$أعطِ

${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}\geq {\frac {1}{\theta _{0}}}+{\frac {\tau }{D-1}}}$

إذا كانت القيمة الأولية${\displaystyle \theta _{0}}$إذا كانت قيمة التمدد سالبة، فهذا يعني أن خطوطنا الجيوديسية يجب أن تتقارب في منطقة كاوستيكية (${\displaystyle \theta }$(يؤول إلى سالب ما لا نهاية) خلال فترة زمنية مناسبة لا تتجاوز${\displaystyle (D-1)/|\theta _{0}|}$بعد قياس القيمة الأولية${\displaystyle \theta _{0}}$من مقياس التوسع. لا يشير هذا بالضرورة إلى مواجهة تفرد في الانحناء، ولكنه يشير إلى خلل في وصفنا الرياضي لحركة الغبار.

يوجد أيضًا إصدار بصري (أو صفري) من معادلة رايشودري لتطابقات الجيوديسية الصفرية  :${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {1}{D-2}}\theta ^{2}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-R_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$.

على الرغم من أنها تشبه إلى حد كبير معادلة رايشودري الزمنية المذكورة سابقًا، إلا أنه ينبغي ملاحظة وجود شرط الآن يتمثل في أن يكون التطابق جيوديسيًا، وهو ما كان غائبًا في الحالة الزمنية، بالإضافة إلى ذلك، بما أن${\displaystyle U_{a}}$ضوء يشبه جهاز العرض${\displaystyle h_{ab}}$يتم تعريفها بدلاً من ذلك على النحو التالي:${\displaystyle g_{ab}+N_{a}U_{b}+U_{a}N_{b}}$، أين${\displaystyle N_{a}}$أي متجه بحيث${\displaystyle N_{a}N^{a}=0}$و${\displaystyle U_{a}N^{a}=-1}$(${\displaystyle N}$لا يكون فريدًا أبدًا، ولكن يمكن للمرء أن يوضح أن الاختيار الدقيق لا يهم طالما تم استيفاء هذين الشرطين).

إن أبرز نتائج هذه التغييرات هي أن${\displaystyle \theta }$لم يعد يمثل زيادة حجمية جزئية، بل زيادة مساحة جزئية ، كما${\displaystyle h_{a}^{b}}$الآن يُسقط على فضاء فرعي ثنائي الأبعاد (بشكل أدق، على فضاء فرعي ثنائي الأبعاد ، وهو نفسه إذا${\displaystyle D=4}$).

• التطابق (النسبية العامة) ، لاشتقاق التفكيك الحركي ومعادلة رايشودري
• التفرد الجاذبي
• نظريات بنروز-هوكينغ حول التفرد لتطبيق نظرية التركيز

• بواسون، إريك (2004). أدوات النسبية: رياضيات ميكانيكا الثقوب السوداء . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-83091-5.انظر الفصل 2 للاطلاع على مناقشة ممتازة لمعادلة رايشودري لكل من الجيوديسيات الزمنية والصفرية ، بالإضافة إلى نظرية التركيز.
• كارول، شون م. (2004). الزمكان والهندسة: مقدمة في النسبية العامة . سان فرانسيسكو: أديسون-ويسلي . ISBN 0-8053-8732-3.انظر الملحق F.
• ستيفاني، هانز؛ كرامر، ديتريش؛ ماكولوم، مالكولم؛ هوينسيليرز، كورنيليوس؛ هيرتل، إدوارد (2003). الحلول الدقيقة لمعادلات أينشتاين للمجال (الطبعة الثانية) . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-46136-7.انظر الفصل 6 للحصول على مقدمة مفصلة للغاية حول تطابقات الجيوديسية، بما في ذلك الشكل العام لمعادلة رايشودري.
• هوكينج، ستيفن وإيليس، جي إف آر (1973). البنية واسعة النطاق للزمكان . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-09906-4. انظر القسم 4.1 لمناقشة الشكل العام لمعادلة رايشودري.
• رايشودري، أ.ك. (1955). "علم الكونيات النسبي 1". مجلة الفيزياء ، 98 (4): 1123-1126 . رمز Bibcode : 1955PhRv...98.1123R . doi : 10.1103/PhysRev.98.1123 . hdl : 10821/7599 . ورقة رايشودري التي قدمت معادلته.
• داسغوبتا، أنيرفان؛ ناندان، هيمواتي؛ وكار، سايان (2009). "حركية التدفقات الجيوديسية في خلفيات الثقوب السوداء الخيطية". مجلة الفيزياء ، المجلد 79 (12)، 124004. arXiv : 0809.3074 . Bibcode : 2009PhRvD..79l4004D . doi : 10.1103/PhysRevD.79.124004 . S2CID 118628925 . انظر القسم الرابع لاشتقاق الشكل العام لمعادلات رايشودري لثلاث كميات حركية (وهي التمدد القياسي والقص والدوران).
• كار، سايان وسينجوبتا، سوميترا (2007). “معادلات رايشودوري: مراجعة موجزة”. برامانا . 69 (1): 49– 76. أرخايف : gr-qc/0611123 . بيب كود : 2007براما..69...49K . دوى : 10.1007/s12043-007-0110-9 . S2CID 119438891 . راجع معادلات رايشودري للاطلاع على مراجعة لها.

• معنى معادلة أينشتاين للمجال بقلم جون سي. بايز وإيموري إف. بن. تحتل معادلة رايشودري مركز الصدارة في هذا العرض شبه التقني المعروف (والموصى به بشدة) لما تقوله معادلة أينشتاين.
• رايشودري، أ.ك. (1979). علم الكونيات النظري . منشورات أكسفورد للعلوم. مطبعة كلارندون. رقم ISBN 978-0-19-851462-6.