القوة الطاردة المركزية

من التجارب الشائعة التي تُوحي بفكرة قوة الطرد المركزي، تلك التي يمر بها ركاب السيارة أثناء تغيير اتجاهها. فإذا كانت السيارة تسير بسرعة ثابتة على طريق مستقيم، فإن الراكب بداخلها لا يتسارع، وبالتالي، وفقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة ، فإن محصلة القوى المؤثرة عليه تساوي صفرًا (أي أن جميع القوى المؤثرة عليه تلغي بعضها بعضًا). أما إذا دخلت السيارة منعطفًا ينحني إلى اليسار، فإن الراكب يشعر بقوة ظاهرية تسحبه نحو اليمين. هذه هي قوة الطرد المركزي الوهمية. وهي ضرورية ضمن الإطار المرجعي المحلي للركاب لتفسير ميلهم المفاجئ للتسارع نحو اليمين بالنسبة للسيارة، وهو ميل يجب عليهم مقاومته بتطبيق قوة نحو اليمين على السيارة (كقوة الاحتكاك بالمقعد مثلًا) للبقاء في مكانهم داخلها. وبما أنهم يدفعون المقعد نحو اليمين، فإن قانون نيوتن الثالث ينص على أن المقعد يدفعهم نحو اليسار. يجب تضمين قوة الطرد المركزي في الإطار المرجعي للراكب (حيث يبقى الراكب ساكنًا): فهي تعاكس القوة المؤثرة على الراكب من جهة اليسار بفعل المقعد، وتفسر سبب عدم تسبب هذه القوة غير المتوازنة في تسارعه. ^{[ 18 ]} مع ذلك، سيتضح لمراقب ثابت يراقب من جسر علوي أن قوة الاحتكاك المؤثرة على الراكب من المقعد غير متوازنة؛ فهي تشكل قوة محصلة إلى اليسار، مما يدفع الراكب إلى التسارع نحو داخل المنحنى، كما هو مطلوب منه لمواصلة الحركة مع العربة بدلًا من السير في خط مستقيم كما كان سيحدث لولا ذلك. وبالتالي، فإن "قوة الطرد المركزي" التي يشعر بها الراكب هي نتيجة "ميل للطرد المركزي" ناتج عن القصور الذاتي. ^{[ 19 ]} وتُلاحظ تأثيرات مماثلة في الطائرات وقطارات الملاهي، حيث يُقاس مقدار القوة الظاهرية غالبًا بوحدة " G ".

إذا دُوِّر حجرٌ حول خيطٍ في مستوى أفقي، فإن القوة الحقيقية الوحيدة المؤثرة على الحجر في هذا المستوى هي قوة الخيط (بينما تؤثر الجاذبية عموديًا). توجد قوة محصلة تؤثر على الحجر في المستوى الأفقي باتجاه المركز.

في إطار مرجعي قصوري ، لولا هذه القوة المحصلة المؤثرة على الحجر، لتحرك الحجر في خط مستقيم، وفقًا لقانون نيوتن الأول للحركة . وللحفاظ على حركة الحجر في مسار دائري، يجب تطبيق قوة مركزية ، في هذه الحالة يوفرها الخيط، بشكل مستمر على الحجر. بمجرد إزالة الخيط (على سبيل المثال، إذا انقطع)، يتحرك الحجر في خط مستقيم مماس للمسار الدائري (عمودي على الخيط لحظة الإفلات)، كما يُرى من الأعلى. في هذا الإطار المرجعي القصوري، لا حاجة لمفهوم القوة الطاردة المركزية، إذ يمكن وصف جميع الحركات بدقة باستخدام القوى الحقيقية وقوانين نيوتن للحركة فقط.

في إطار مرجعي يدور حول محور دوران الحجر نفسه، يكون الحجر ساكنًا. ومع ذلك، لا تزال القوة المؤثرة من الخيط تؤثر عليه. لو طُبقت قوانين نيوتن بصيغتها المعتادة (في الإطار المرجعي العطالي)، لاستنتجنا أن الحجر سيتسارع في اتجاه محصلة القوة المؤثرة عليه - نحو محور الدوران - وهو ما لا يحدث. لذا، يجب تضمين قوة الطرد المركزي وقوى وهمية أخرى إلى جانب القوى الحقيقية لتطبيق قوانين نيوتن للحركة في الإطار الدوار.

تُشكّل الأرض إطارًا مرجعيًا دوّارًا لأنها تدور حول محورها مرة كل 23 ساعة و56 دقيقة . ولأن دورانها بطيء، فإن القوى الوهمية الناتجة عنه غالبًا ما تكون ضئيلة، ويمكن إهمالها في الحياة اليومية. حتى في الحسابات التي تتطلب دقة عالية، لا تُؤخذ قوة الطرد المركزي في الحسبان صراحةً، بل تُدمج مع قوة الجاذبية : فقوة واتجاه " الجاذبية " المحلية عند أي نقطة على سطح الأرض هي في الواقع مزيج من قوى الجاذبية والطرد المركزي. مع ذلك، قد تكون القوى الوهمية ذات قيمة عشوائية. على سبيل المثال، في نظام مرجعي أرضي (حيث تُمثّل الأرض ثابتة)، تكون القوة الوهمية (محصلة قوى كوريوليس والطرد المركزي) هائلة، وهي المسؤولة عن دوران الأرض حول الشمس. ويعود ذلك إلى كتلة الشمس الكبيرة وسرعتها العالية (مقارنةً بالأرض).

_في إطار مرجعي دوار، تختلف المشتقات الزمنية لأي دالة متجهة P للزمن - مثل متجهي السرعة والتسارع لجسم ما - _عن مشتقاتها الزمنية في الإطار الثابت. إذا كانت P₁ و P₂ و P₃ _هي مركبات P بالنسبة _{لمتجهات} الوحدة i و j و k الموجهة على طول _{محاور الإطار} الدوار ( _أي P = P₁ᵢ + P₂ⱼ + P₃ⱼ ) ، فإن المشتقة الزمنية الأولى لـ P بالنسبة للإطار الدوار هي ، بحسب التعريف ، dP₁ⱼ / dtᵢ ₊ dP₂ⱼ _/ dtᵢ + dP₃ⱼ / dtᵢ . إذا كانت السرعة الزاوية المطلقة للإطار الدوار هي ω فإن مشتقة ⁠ d P / d t ⁠ لـ P بالنسبة للإطار الثابت ترتبط بـ [ ⁠ d P / d t ⁠ ] من خلال المعادلة: ^{[ 22 ]}

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {P}}}{\mathrm {d} t}}=\left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {P}}}{\mathrm {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {P}}\ ,}$$

حيث يرمز × إلى الضرب الاتجاهي للمتجهات . بعبارة أخرى، معدل تغير النقطة P في الإطار الثابت هو مجموع معدل تغيرها الظاهري في الإطار الدوار ومعدل دوران ω × P الناتج عن حركة الإطار الدوار. للمتجه ω مقدار يساوي معدل الدوران ، ويتجه على طول محور الدوران وفقًا لقاعدة اليد اليمنى .

قانون نيوتن للحركة لجسيم كتلته m مكتوبًا في صورة متجهة هو:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}\ ,}$$

حيث F هو المجموع الاتجاهي للقوى الفيزيائية المؤثرة على الجسيم، و a هو التسارع المطلق (أي التسارع في إطار مرجعي قصوري) للجسيم، والذي يُعطى بالصيغة التالية:

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\ ,}$$

حيث يمثل r متجه موضع الجسيم (لا ينبغي الخلط بينه وبين نصف القطر، كما هو مستخدم أعلاه).

بتطبيق التحويل المذكور أعلاه من الإطار الثابت إلى الإطار الدوار ثلاث مرات (مرتين إلى${\textstyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}}$ومرة واحدة إلى${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]}$يمكن كتابة التسارع المطلق للجسيم على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}\ \right)\\&=\left[{\frac $$ {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\\&=\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm \begin{frac{d} t^{2}} \right] + \begin{frac{d} t^{2} \right] + \begin{frac{d} t^{2} \right] \times \begin{frac{d} t^{2} \right] + \begin{frac{d} t^{2} \right] \times \begin{frac{d} t^{2} \right] + \begin{d} t^{2} \right] \times \begin{frac{d} t^{2} \right) \times \begin{frac{d} t^{2} \right) \times \begin{frac{d} t^{2} \right) \times \begin{frac{d} t^{2} \right) \times \begin{frac{d} t^{2} \right) \begin{aligned} \right ...$$

التسارع الظاهري في الإطار الدوار هو${\displaystyle \left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right]}$يتوقع مراقب غير مدرك للدوران أن تكون هذه القيمة صفرًا في غياب القوى الخارجية. مع ذلك، فإن قوانين نيوتن للحركة لا تنطبق إلا في الإطار المرجعي العطالي، وتصف الديناميكيات بدلالة التسارع المطلق.${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}}$لذلك، يرى المراقب الحدود الإضافية كمساهمات ناتجة عن قوى وهمية. هذه الحدود في التسارع الظاهري مستقلة عن الكتلة؛ لذا يبدو أن كل قوة من هذه القوى الوهمية، مثل الجاذبية، تجذب الجسم بما يتناسب مع كتلته. عند جمع هذه القوى، تأخذ معادلة الحركة الشكل التالي: ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}+\underbrace {\left(-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}\right)} _{\text{Euler}}+\underbrace {\left(-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]\right)} _{\text{Coriolis}}+\underbrace {\left(-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}})\right)} _{\text{centrifugal}}=m\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right]\ .}$$

من منظور الإطار الدوار، تُعامل حدود القوة الإضافية تمامًا مثل القوى الخارجية الحقيقية، وتساهم في التسارع الظاهري. ^{[ 26 ] [ 27 ]} ويمكن تمييز الحدود الإضافية في جانب القوة من المعادلة، عند قراءتها من اليسار إلى اليمين، على أنها قوة أويلر.${\displaystyle -m\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}/\mathrm {d} t\times {\boldsymbol {r}}}$قوة كوريوليس${\displaystyle -2m{\boldsymbol {\omega }}\times \left[\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}/\mathrm {d} t\right]}$والقوة الطاردة المركزية${\displaystyle -m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}})}$على التوالي. ^{[ 28 ]} على عكس القوتين الوهميتين الأخريين، فإن قوة الطرد المركزي تشير دائمًا شعاعيًا إلى الخارج من محور دوران الإطار الدوار، بمقدار${\displaystyle m\omega ^{2}r_{\perp }}$، أين${\displaystyle r_{\perp }}$هو مركبة متجه الموضع العمودية على${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$وعلى عكس قوة كوريوليس على وجه الخصوص، فهي مستقلة عن حركة الجسيم في الإطار الدوار. وكما هو متوقع، بالنسبة لإطار مرجعي قصوري غير دوار${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}=0)}$تختفي قوة الطرد المركزي وجميع القوى الوهمية الأخرى. ^{[ 29 ]} وبالمثل، بما أن قوة الطرد المركزي تتناسب طرديًا مع المسافة من الجسم إلى محور دوران الإطار، فإن قوة الطرد المركزي تتلاشى بالنسبة للأجسام التي تقع على المحور.

يمكن أيضًا اشتقاق قوة الطرد المركزي لكل وحدة كتلة على أنها تدرج جهد الطرد المركزي . على سبيل المثال، يكون جهد الطرد المركزي عند المسافة العمودية ρ من محور إطار مرجعي دوار بسرعة زاوية ω هو${\textstyle 0.5\omega ^{2}\rho ^{2}}$( .)

إحدى هذه الحالات تحدث في ميكانيكا لاغرانج . تصوغ ميكانيكا لاغرانج الميكانيكا بدلالة الإحداثيات المعممة { q _k }، والتي يمكن أن تكون بسيطة مثل الإحداثيات القطبية المعتادة.${\displaystyle (r,\ \theta )}$أو قائمة أكثر شمولاً من المتغيرات. ^{[ 34 ] [ 35 ]} ضمن هذه الصيغة، تُوصف الحركة بدلالة القوى المعممة ، باستخدام معادلات أويلر -لاغرانج بدلاً من قوانين نيوتن . من بين القوى المعممة، تُسمى تلك التي تتضمن مربع المشتقات الزمنية {(d q _k ⁄ d t ) ^{2 } أحيانًا بالقوى الطاردة المركزية. [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]} في حالة الحركة في جهد مركزي، يكون للقوة الطاردة المركزية اللاغرانجية نفس شكل القوة الطاردة المركزية الوهمية المشتقة في إطار دوراني مشترك. ^{[ 40 ]} ومع ذلك، فإن استخدام لاغرانج لمصطلح "القوة الطاردة المركزية" في حالات أخرى أكثر عمومية له صلة محدودة فقط بالتعريف النيوتني.

في سياق آخر، يشير المصطلح إلى قوة رد الفعل لقوة مركزية، أو قوة الطرد المركزي التفاعلية . يتحرك الجسم حركة منحنية، كالحركة الدائرية ، متسارعًا نحو مركز عند أي لحظة زمنية محددة. وينتج هذا التسارع المركزي عن قوة مركزية، تؤثر على الجسم المتحرك منحنيًا من جسم آخر. ووفقًا لقانون نيوتن الثالث للحركة ، يؤثر الجسم المتحرك منحنيًا بقوة مساوية ومعاكسة على الجسم الآخر. وتؤثر هذه القوة التفاعلية من الجسم المتحرك منحنيًا على الجسم الآخر الذي يوفر القوة المركزية، ويكون اتجاهها من ذلك الجسم الآخر نحو الجسم المتحرك منحنيًا. ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]}

توصف قوة رد الفعل هذه أحيانًا بأنها رد فعل قصوري طارد مركزي ، ^{[ 45 ] [ 46 ]} أي قوة موجهة طاردة مركزية، وهي قوة رد فعل مساوية ومعاكسة للقوة المركزية التي تعمل على ثني مسار الكتلة.

يُستخدم مفهوم قوة الطرد المركزي التفاعلية أحيانًا في الميكانيكا والهندسة. ويُشار إليها أحيانًا باسم قوة الطرد المركزي فقط بدلًا من قوة الطرد المركزي التفاعلية ^{[ 47 ] [ 48 ]،} على الرغم من أن هذا الاستخدام غير مُستحب في الميكانيكا الأساسية. ^{[ 49 ]}