الاحتمال الشرطي المنتظم

لنفترض وجود متغيرين عشوائيين${\displaystyle X,Y:\Omega \to \mathbb {R} }$إن التوزيع الاحتمالي الشرطي لـ Y بمعلومية X هو دالة ذات متغيرين${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}:\mathbb {R} \times {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0,1]}$

إذا كان المتغير العشوائي X منفصلاً

${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}(x,A)=P(Y\in A\mid X=x)={\begin{cases}{\frac {P(Y\in A,X=x)}{P(X=x)}}&{\text{ إذا }}P(X=x)>0\\[3pt]{\text{قيمة اختيارية}}&{\text{ خلاف ذلك}}.\end{cases}}}$

إذا كانت المتغيرات العشوائية X و Y متصلة بكثافة${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$.

${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}(x,A)={\begin{cases}{\frac {\int _{A}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y}{\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\mathrm {d} y}}&{\text{ إذا }}\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y>0\\[3pt]{\text{قيمة اختيارية}}&{\text{ خلاف ذلك}}.\end{cases}}}$

يمكن تقديم تعريف أكثر عمومية من حيث التوقع الشرطي . لنفترض دالة${\displaystyle e_{Y\in A}:\mathbb {R} \to [0,1]}$مُرضٍ

${\displaystyle e_{Y\in A}(X(\omega ))=\operatorname {E} [1_{Y\in A}\mid X](\omega )}$

بالنسبة للجميع تقريباً${\displaystyle \omega }$ثم يُعطى توزيع الاحتمال الشرطي بالصيغة التالية:

${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}(x,A)=e_{Y\in A}(x).}$

كما هو الحال مع التوقع الشرطي، يمكن تعميم ذلك بشكل أكبر ليشمل التكييف على جبر سيجما${\displaystyle {\mathcal {F}}}$في هذه الحالة، يكون التوزيع الشرطي دالة.${\displaystyle \Omega \times {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0,1]}$:

${\displaystyle \kappa _{Y\mid {\mathcal {F}}}(\omega ,A)=\operatorname {E} [1_{Y\in A}\mid {\mathcal {F}}](\omega )}$

للعمل مع${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}}$من المهم أن يكون ذلك منتظماً ، أي:

1. بالنسبة لجميع قيم x تقريبًا ،${\displaystyle A\mapsto \kappa _{Y\mid X}(x,A)}$هو مقياس احتمالي
2. لكل A ، ${\displaystyle x\mapsto \kappa _{Y\mid X}(x,A)}$هي دالة قابلة للقياس

بعبارة أخرى${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}}$هي نواة ماركوف .

يتحقق الشرط الثاني بشكل بديهي، لكن إثبات الشرط الأول أكثر تعقيدًا. يمكن إثبات أنه إذا كان Y عنصرًا عشوائيًا${\displaystyle \Omega \to S}$في فضاء رادون S ، يوجد${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}}$الذي يحقق الشرط الأول. ^{[ 1 ]} من الممكن إنشاء فضاءات أكثر عمومية حيث لا يوجد توزيع احتمالي شرطي منتظم. ^{[ 2 ]}

بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمتصلة، يمكن التعبير عن التوقع الشرطي على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [Y\mid X=x]&=\sum _{y}y\,P(Y=y\mid X=x)\\\operatorname {E} [Y\mid X=x]&=\int y\,f_{Y\mid X}(x,y)\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle f_{Y\mid X}(x,y)}$هي الكثافة الشرطية لـ Y معطى X.

يمكن توسيع هذه النتيجة لقياس التوقع الشرطي النظري باستخدام توزيع الاحتمال الشرطي المنتظم:

${\displaystyle \operatorname {E} [Y\mid X](\omega )=\int y\,\kappa _{Y\mid \sigma (X)}(\omega ,\mathrm {d} y).}$