نظرية التفكك

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية التفكك نتيجةً في نظرية القياس ونظرية الاحتمالات . وهي تُعرّف بدقة فكرة "تقييد" القياس غير التافه لمجموعة جزئية ذات قياس صفري من فضاء القياس المعني. وترتبط هذه النظرية بوجود مقاييس الاحتمال الشرطي . بمعنى ما، يُعدّ "التفكك" العملية المعاكسة لبناء مقياس الضرب .

ضع في اعتبارك المربع الواحد${\displaystyle S=[0,1]\times [0,1]}$في المستوى الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ضع في اعتبارك مقياس الاحتمالية${\displaystyle \mu }$محدد في${\displaystyle S}$بتقييد مقياس ليبيغ ثنائي الأبعاد${\displaystyle \lambda ^{2}}$ل${\displaystyle S}$أي احتمال وقوع حدث ما${\displaystyle E\subseteq S}$هي ببساطة منطقة${\displaystyle E}$نفترض${\displaystyle E}$ هي مجموعة فرعية قابلة للقياس من${\displaystyle S}$.

لنفترض مجموعة جزئية أحادية البعد من${\displaystyle S}$مثل قطعة الخط${\displaystyle L_{x}=\{x\}\times [0,1]}$.${\displaystyle L_{x}}$لديه${\displaystyle \mu }$- قياس صفر؛ كل مجموعة جزئية من${\displaystyle L_{x}}$هو${\displaystyle \mu }$- مجموعة فارغة ؛ لأن فضاء قياس ليبيغ هو فضاء قياس كامل ، $${\displaystyle E\subseteq L_{x}\implies \mu (E)=0.}$$

مع أن هذا صحيح، إلا أنه غير مُرضٍ إلى حد ما. سيكون من الجيد أن نقول ذلك.${\displaystyle \mu }$"مقتصر على"${\displaystyle L_{x}}$هو مقياس ليبيغ أحادي البعد${\displaystyle \lambda ^{1}}$بدلاً من القياس الصفري . احتمال وقوع حدث "ثنائي الأبعاد".${\displaystyle E}$ويمكن الحصول عليها بعد ذلك كتكامل للاحتمالات أحادية البعد للشرائح الرأسية.${\displaystyle E\cap L_{x}}$بشكل أكثر رسمية، إذا${\displaystyle \mu _{x}}$يشير إلى مقياس ليبيغ أحادي البعد على${\displaystyle L_{x}}$، ثم $${\displaystyle \mu (E)=\int _{[0,1]}\mu _{x}(E\cap L_{x})\,\mathrm {d} x}$$ لأي "لطيف"${\displaystyle E\subseteq S}$. إن نظرية التفكك تجعل هذه الحجة صارمة في سياق القياسات على الفضاءات المترية .

(الآخرة،${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$سيشير إلى مجموعة مقاييس احتمالية بوريل على فضاء طوبولوجي${\displaystyle (X,T)}$.) افتراضات النظرية هي كما يلي: ^{[ 1 ]}

• يترك${\displaystyle Y}$و${\displaystyle X}$أن يكونا فضاءين بولنديين (أي فضاءين قابلين للقياس بشكل منفصل تمامًا ).
• يترك${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(Y)}$.
• يترك${\displaystyle \pi :Y\to X}$لتكن دالة قابلة للقياس وفقًا لبوريل . هنا ينبغي التفكير في${\displaystyle \pi }$كوظيفة "للتفكيك"${\displaystyle Y}$بمعنى التقسيم${\displaystyle Y}$داخل${\displaystyle \{\pi ^{-1}(x)\ |\ x\in X\}}$على سبيل المثال، بالنسبة للمثال التحفيزي أعلاه، يمكن تعريف${\displaystyle \pi ((a,b))=a}$،${\displaystyle (a,b)\in [0,1]\times [0,1]}$مما يعطي ذلك${\displaystyle \pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]}$شريحة نريد التقاطها.
• يترك${\displaystyle \nu \in {\mathcal {P}}(X)}$كن الإجراء الدافع للأمام${\displaystyle \nu =\pi _{*}(\mu )=\mu \circ \pi ^{-1}}$يوفر هذا المقياس توزيع${\displaystyle x}$(وهو ما يتوافق مع الأحداث)${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$).

خلاصة النظرية: يوجد${\displaystyle \nu }$- عائلة مقاييس الاحتمالية المحددة بشكل فريد في كل مكان تقريبًا${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)}$، مما يوفر "تفككًا" لـ${\displaystyle \mu }$داخل${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}}$بحيث :

• الوظيفة${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}}$هل يمكن قياس بوريل، بالمعنى الذي...${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}(B)}$هي دالة قابلة للقياس وفقًا لبوريل لكل مجموعة قابلة للقياس وفقًا لبوريل${\displaystyle B\subseteq Y}$؛
• ${\displaystyle \mu _{x}}$"يعيش على" الألياف${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$: ل${\displaystyle \nu }$- جميعها تقريباً${\displaystyle x\in X}$،$${\displaystyle \mu _{x}\left(Y\setminus \pi ^{-1}(x)\right)=0,}$$وهكذا${\displaystyle \mu _{x}(E)=\mu _{x}(E\cap \pi ^{-1}(x))}$؛
• لكل دالة قابلة للقياس وفقًا لبوريل${\displaystyle f:Y\to [0,\infty ]}$،$${\displaystyle \int _{Y}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=\int _{X}\int _{\pi ^{-1}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu _{x}(y)\,\mathrm {d} \nu (x).}$$على وجه الخصوص، لأي مناسبة${\displaystyle E\subseteq Y}$، يأخذ${\displaystyle f}$أن تكون دالة المؤشر لـ${\displaystyle E}$, ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mu (E)=\int _{X}\mu _{x}(E)\,\mathrm {d} \nu (x),}$$مما يدل على أن العائلة${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}}$هو احتمال شرطي منتظم .

• نظرية يونسكو-تولسيا – نظرية الاحتمالية 
• التوزيع الاحتمالي المشترك – نوع من أنواع التوزيع الاحتمالي 
• الاقتران (الإحصاء) – التوزيع الإحصائي للارتباط بين المتغيرات العشوائية 
• التوقع الشرطي – القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي بشرط معرفة حدوث شروط معينة 
• مفارقة بوريل-كولموغوروف – مفارقة الاحتمال الشرطي 
• الاحتمال الشرطي المنتظم
• نظرية الرفع

• بوغاتشيف، فلاديمير إيغوريفيتش (2007). نظرية القياس . سبرينغر برلين، هايدلبرغ. ISBN 978-3-540-34513-8.