مسلمات النسبية الخاصة

استنتج ألبرت أينشتاين نظرية النسبية الخاصة عام 1905، ^{[ 1 ]} من مبادئ تُعرف الآن باسم مسلمات النسبية الخاصة . ولا تتطلب صياغة أينشتاين سوى مسلمتين ، [ ^{2 ] على} الرغم من أن استنتاجه ينطوي على بعض الافتراضات الإضافية.

كانت فكرة أن النسبية الخاصة تعتمد فقط على مسلمتين، وكلاهما بدا وكأنه يتبع من نظرية وتجربة ذلك الوقت، واحدة من أكثر الحجج إقناعًا لصحة النظرية (أينشتاين 1912: " هذه النظرية صحيحة بقدر صحة المبدأين اللذين تستند إليهما. وبما أنهما يبدوان صحيحين إلى حد كبير، ... ") ^{[ 3 ]}

1. الفرضية الأولى ( مبدأ النسبية )

تتخذ قوانين الفيزياء نفس الشكل في جميع الأطر المرجعية العطالية .

2. الفرضية الثانية (ثبات c )

في أي إطار مرجعي قصوري، ينتشر الضوء دائمًا في الفضاء الفارغ بسرعة محددة c لا تعتمد على حالة حركة الجسم المُصدر. أو بعبارة أخرى: سرعة الضوء في الفضاء الحر لها نفس القيمة c في جميع الأطر المرجعية القصورية.

يُعدّ أساس الفرضيتين في النسبية الخاصة هو الأساس الذي استخدمه آينشتاين تاريخيًا، وهو يُشكّل أحيانًا نقطة انطلاق حتى اليوم. وكما أقرّ آينشتاين نفسه لاحقًا، فإنّ اشتقاق تحويل لورنتز يعتمد ضمنيًا على بعض الافتراضات الإضافية، بما في ذلك التجانس المكاني، والتناظر ، وانعدام الذاكرة . ^{[ 4 ]} كما استخدم هيرمان مينكوفسكي ضمنيًا كلا الفرضيتين عندما قدّم صياغة فضاء مينكوفسكي ، على الرغم من أنه بيّن أن سرعة الضوء (c) يُمكن اعتبارها ثابتًا للزمكان، وأنّ تعريفها بسرعة الضوء مُستمدّ من علم البصريات. ^{[ 5 ]}

تاريخيًا، اشتق هندريك لورنتز وهنري بوانكاريه (1892-1905) تحويل لورنتز من معادلات ماكسويل ، مما ساهم في تفسير النتيجة السلبية لجميع قياسات انجراف الأثير. وبذلك، يصبح الأثير المضيء غير قابل للكشف، وهو ما يتوافق مع ما أسماه بوانكاريه مبدأ النسبية (انظر تاريخ تحويلات لورنتز ونظرية لورنتز للأثير ). وقدّم ريتشارد فاينمان مثالًا حديثًا لاشتقاق تحويل لورنتز من الديناميكا الكهربائية (دون استخدام مفهوم الأثير التاريخي على الإطلاق) . ^{[ 6 ]}

قدّم جورج فرانسيس فيتزجيرالد حجةً مشابهةً لحجة أينشتاين عام ١٨٨٩، ردًا على تجربة ميكلسون-مورلي التي بدت وكأنها تُثبت صحة كلا الفرضيتين. وكتب أن انكماش الطول هو "الفرضية الوحيدة تقريبًا التي يُمكنها التوفيق" بين التناقضات الظاهرة. وتوصل لورنتز بشكل مستقل إلى استنتاجات مماثلة، وكتب لاحقًا "الفرق الرئيسي هو أن أينشتاين يفترض ببساطة ما استنتجناه".

بعد هذه الاشتقاقات، اقتُرحت العديد من الاشتقاقات البديلة، استنادًا إلى مجموعات مختلفة من الافتراضات. وكثيرًا ما جادل (كما فعل فلاديمير إغناتوفسكي عام 1910، ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} أو فيليب فرانك وهيرمان روث عام 1911، ^{[ 10 ] [ 11 ]} وغيرهم الكثير في السنوات اللاحقة ^{[ 12 ]} ) بأن صيغة مكافئة لتحويل لورنتز، حتى مُعامل حر غير سالب، تُستنتج من مسلمة النسبية نفسها، دون افتراض سرعة الضوء الكونية أولًا. ^{[ 13 ]} تعتمد هذه الصيغ على الافتراضات المختلفة المذكورة آنفًا، مثل التناظر. ويمكن تحديد القيمة العددية للمعامل في هذه التحويلات تجريبيًا، تمامًا كما تُترك القيم العددية لزوج المعاملات c وسماحية الفراغ لتحديدها تجريبيًا حتى عند استخدام مسلمات أينشتاين الأصلية. وتُفنّد التجربة صحة تحويلات غاليليو. عندما يتم إيجاد القيم العددية في كل من منهج أينشتاين والمناهج الأخرى، فإن هذه المناهج المختلفة تؤدي إلى نفس النظرية.

إن استنتاج أينشتاين عام 1905 غير مكتمل. إذ يظهر خلل في منطق أينشتاين عندما، بعد أن أثبت " قانون ثبات سرعة الضوء " للفضاء الفارغ، يستحضر هذا القانون في حالات لم يعد فيها الفضاء فارغًا. ^{[ 1 ]} ولكي ينطبق الاستنتاج على الأجسام المادية، يتطلب الأمر فرضية إضافية أو "فرضية وسيطة"، وهي أن الهندسة المستنتجة للفضاء الفارغ تنطبق أيضًا عندما يكون الفضاء مأهولًا. وهذا يُعادل القول بأننا نعلم أن إدخال المادة إلى منطقة ما، وحركتها النسبية، لا يؤثر على هندسة شعاع الضوء.

سيكون مثل هذا التصريح إشكاليًا، إذ رفض أينشتاين فكرة أن عملية مثل انتشار الضوء يمكن أن تكون بمنأى عن العوامل الأخرى (1914: " لا شك في أن هذا المبدأ ذو أهمية بالغة؛ ومع ذلك، لا أستطيع أن أؤمن بصحته تمامًا. يبدو لي من غير المعقول تصور مسار أي عملية (مثل انتشار الضوء في الفراغ) على أنه مستقل عن جميع الأحداث الأخرى في العالم. ") ^{[ 14 ]}

إن إدراج هذا "الجسر" كفرضية ثالثة صريحة كان من شأنه أن يضر بمصداقية النظرية، إذ أن معامل الانكسار وتأثير فيزو كانا سيشيران إلى أن وجود المادة وسلوكها يؤثران على انتشار الضوء، وهو ما يتعارض مع النظرية. ولو طُرحت فرضية الجسر هذه كفرضية ثالثة، لكان من الممكن الادعاء بأن الفرضية الثالثة (وبالتالي النظرية) قد دُحضت بالأدلة التجريبية.

بدون "فرضية الربط" كمسلمة ثالثة، فإن اشتقاق عام 1905 معرض للانتقاد بأن علاقاته المشتقة قد تنطبق فقط في الفراغ ، أي في غياب المادة.

يظهر الاقتراح المثير للجدل بأن نظرية عام 1905، المشتقة بافتراض وجود فراغ، قد تنطبق فقط على الفراغ، في كتاب إدوين ف. تايلور وجون أرشيبالد ويلر " فيزياء الزمكان " (المربع 3-1: " مبدأ النسبية يقوم على الفراغ "). ^{[ 15 ]}

وقد أقرّ أينشتاين في عام 1914 باقتراح مماثل مفاده أن اختزال هندسة النسبية العامة إلى الزمكان المسطح للنسبية الخاصة على مناطق صغيرة قد يكون "غير فيزيائي" (لأن المناطق المسطحة النقطية لا يمكن أن تحتوي على مادة قادرة على العمل كمراقبين فيزيائيين)، لكنه رفضه (" تُختزل معادلات نظرية النسبية الجديدة إلى معادلات النظرية الأصلية في الحالة الخاصة التي يمكن فيها اعتبار g _μν ثابتًا... الاعتراض الوحيد الذي يمكن إثارته ضد النظرية هو أن المعادلات التي وضعناها قد تكون، ربما، خالية من أي محتوى فيزيائي. لكن من غير المرجح أن يعتقد أحد بجدية أن هذا الاعتراض مُبرر في هذه الحالة "). ^{[ 14 ]}

أعاد أينشتاين النظر في هذه المسألة عام 1919 (" ليس من المسلّم به مسبقًا أن انتقالًا حديًا من هذا النوع له أي معنى ممكن. فإذا كانت حقول الجاذبية تلعب دورًا أساسيًا في بنية جسيمات المادة، فإن الانتقال إلى الحالة الحدية لثبات g _μν سيفقد مبرره بالنسبة لها، لأنه في الواقع، مع ثبات g _μν، لا يمكن أن توجد أي جسيمات للمادة. ") ^{[ 16 ]}

ويمكن استخلاص حجة أخرى على عدم المادية من حل أينشتاين لـ "مشكلة الثقب" في ظل النسبية العامة، حيث يرفض أينشتاين المادية في علاقات نظام الإحداثيات في الفضاء الفارغ تمامًا. ^{[ 17 ]}

ليست نظرية أينشتاين الخاصة النظرية الوحيدة التي تجمع بين شكل من أشكال ثبات سرعة الضوء ومبدأ النسبية. فنظريةٌ على غرار تلك التي اقترحها هاينريش هيرتز (عام ١٨٩٠) ^{[ ١٨ ]} تسمح بأن الضوء يُسحب بالكامل بواسطة جميع الأجسام، مما يُعطي ثباتًا محليًا لسرعة الضوء لجميع المراقبين الفيزيائيين . يُظهر الاحتمال المنطقي لنظرية هيرتز أن مسلمتي أينشتاين القياسيتين ( بدون فرضية الربط) غير كافيتين للوصول بشكل فريد إلى حل النسبية الخاصة (مع أن النسبية الخاصة قد تُعتبر الحل الأبسط ).

وافق أينشتاين على أن نظرية هيرتز متسقة منطقيًا (" استنادًا إلى هذه الفرضية، طور هيرتز ديناميكا كهربائية للأجسام المتحركة خالية من التناقضات. ")، ^{[ 19 ]} لكنه رفضها لضعف توافقها مع نتيجة فيزو ، تاركًا النسبية الخاصة الخيار الوحيد المتبقي. ونظرًا لأن النسبية الخاصة عجزت بدورها عن إعادة إنتاج نتيجة فيزو دون إدخال قواعد مساعدة إضافية (لمراعاة السلوك المختلف للضوء في وسط جسيمي)، فربما لم تكن هذه مقارنة عادلة.

في الصياغة الرياضية الدقيقة للنسبية الخاصة، نفترض أن الكون موجود في فضاء-زمن رباعي الأبعاد M. تُعرف النقاط الفردية في هذا الفضاء-الزمن بالأحداث ؛ وتُوصَف الأجسام الفيزيائية فيه بخطوط العالم (إذا كان الجسم جسيمًا نقطيًا) أو صفائح العالم (إذا كان الجسم أكبر من نقطة). يصف خط العالم أو صفيحة العالم حركة الجسم فقط؛ وقد يمتلك الجسم أيضًا العديد من الخصائص الفيزيائية الأخرى مثل الطاقة والزخم والكتلة والشحنة ، إلخ .

بالإضافة إلى الأحداث والأجسام المادية، توجد فئة من الأطر المرجعية العطالية . يوفر كل إطار مرجعي عطالي نظام إحداثيات.${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$بالنسبة للأحداث في الزمكان M. علاوة على ذلك، يوفر هذا الإطار المرجعي إحداثيات لجميع الخصائص الفيزيائية الأخرى للأجسام في الزمكان؛ على سبيل المثال، سيوفر إحداثيات${\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3},E)}$بالنسبة لزخم وطاقة جسم ما، إحداثيات${\displaystyle (E_{1},E_{2},E_{3},B_{1},B_{2},B_{3})}$بالنسبة للمجال الكهرومغناطيسي ، وما إلى ذلك.

نفترض أنه عند وجود إطارين مرجعيين قصوريين، يوجد تحويل إحداثيات يحول الإحداثيات من إطار مرجعي إلى الإحداثيات في إطار مرجعي آخر. ولا يقتصر هذا التحويل على تحويل إحداثيات الزمكان فحسب.${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$ولكنها ستوفر أيضًا تحويلًا لجميع الإحداثيات الفيزيائية الأخرى، مثل قانون تحويل الزخم والطاقة.${\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3},E)}$إلخ. (من الناحية العملية، يمكن التعامل مع قوانين التحويل هذه بكفاءة باستخدام رياضيات الموترات .)

نفترض أيضًا أن الكون يخضع لعدد من القوانين الفيزيائية. رياضيًا، يمكن التعبير عن كل قانون فيزيائي بالنسبة للإحداثيات المُعطاة بواسطة إطار مرجعي قصوري، وذلك من خلال معادلة رياضية (على سبيل المثال، معادلة تفاضلية ) تربط بين إحداثيات الأجسام المختلفة في الزمكان. ومن الأمثلة النموذجية على ذلك معادلات ماكسويل ، وقانون نيوتن الأول .

1. الفرضية الأولى ( مبدأ النسبية )

عند الانتقال بين الأطر المرجعية العطالية، تبقى معادلات جميع القوانين الفيزيائية الأساسية ثابتة الشكل، بينما تحتفظ جميع الثوابت العددية الداخلة في هذه المعادلات بقيمها. وبالتالي، إذا تم التعبير عن قانون فيزيائي أساسي بمعادلة رياضية في إطار مرجعي عطالي، فيجب التعبير عنه بمعادلة مماثلة في أي إطار مرجعي عطالي آخر، شريطة أن يتم تمثيل كلا الإطارين بمخططات من النوع نفسه. (يتم تخفيف شرط المخططات إذا استخدمنا الاتصالات لكتابة القانون بصيغة متغيرة).

2. الفرضية الثانية (ثبات c )

يوجد ثابت مطلق${\displaystyle 0<c<\infty }$مع الخاصية التالية. إذا كان A و B حدثين لهما إحداثيات${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$و${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},s)}$في إطار مرجعي قصوري واحد${\displaystyle F}$ولها إحداثيات${\displaystyle (x'_{1},x'_{2},x'_{3},t')}$و${\displaystyle (y'_{1},y'_{2},y'_{3},s')}$في إطار قصوري آخر${\displaystyle F'}$، ثم

${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}=c(st)\quad }$إذا وفقط إذا${\displaystyle \quad {\sqrt {(x'_{1}-y'_{1})^{2}+(x'_{2}-y'_{2})^{2}+(x'_{3}-y'_{3})^{2}}}=c(s'-t')}$.

بصورة غير رسمية، تنص الفرضية الثانية على أن الأجسام التي تتحرك بسرعة c في إطار مرجعي واحد ستتحرك بالضرورة بنفس السرعة في جميع الأطر المرجعية. تُعد هذه الفرضية مجموعة فرعية من الفرضيات التي تقوم عليها معادلات ماكسويل في تفسيرها ضمن سياق النسبية الخاصة. مع ذلك، تعتمد معادلات ماكسويل على عدة فرضيات أخرى، بعضها معروف الآن بأنه خاطئ (على سبيل المثال، لا تستطيع معادلات ماكسويل تفسير الخصائص الكمومية للإشعاع الكهرومغناطيسي).

يمكن استخدام الفرضية الثانية لاستنتاج صيغة أقوى منها، وهي أن الفاصل الزمني للزمكان ثابت تحت تغيرات الإطار المرجعي العطالي. في الترميز أعلاه، يعني هذا أن

${\displaystyle c^{2}(st)^{2}-(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})^{2}-(x_{3}-y_{3})^{2}}$

${\displaystyle =c^{2}(s'-t')^{2}-(x'_{1}-y'_{1})^{2}-(x'_{2}-y'_{2})^{2}-(x'_{3}-y'_{3})^{2}}$

لأي حدثين A و B. يمكن استخدام هذا بدوره لاستنتاج قوانين التحويل بين الأطر المرجعية؛ انظر تحويل لورنتز .

يمكن التعبير عن مسلمات النسبية الخاصة بإيجاز شديد باستخدام اللغة الرياضية للمتشعبات شبه الريمانية . تنص المسلمة الثانية على أن الزمكان رباعي الأبعاد M هو متشعب شبه ريماني مزود بمقياس g ذي إشارة (1,3)، والذي يُعطى بواسطة مقياس مينكوفسكي عند قياسه في كل إطار مرجعي قصوري. يُنظر إلى هذا المقياس على أنه أحد الكميات الفيزيائية للنظرية؛ وبالتالي، فإنه يتحول بطريقة معينة عند تغيير الإطار المرجعي، ويمكن استخدامه بشكل مشروع في وصف قوانين الفيزياء. تنص المسلمة الأولى على أن قوانين الفيزياء ثابتة عند تمثيلها في أي إطار مرجعي يُعطى فيه g بواسطة مقياس مينكوفسكي. إحدى مزايا هذه الصياغة هي أنه من السهل الآن مقارنة النسبية الخاصة بالنسبية العامة ، حيث تنطبق المسلمتان نفسيهما ولكن يُستغنى عن افتراض أن المقياس يجب أن يكون مينكوفسكي.

تُعد نظرية النسبية الغاليلية الحالة الحدية للنسبية الخاصة في النهاية${\displaystyle c\to \infty }$(والتي يُشار إليها أحيانًا باسم الحد غير النسبي ). في هذه النظرية، تبقى الفرضية الأولى دون تغيير، ولكن يتم تعديل الفرضية الثانية لتصبح:

إذا كان A و B حدثين لهما إحداثيات${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$و${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},s)}$في إطار مرجعي قصوري واحد${\displaystyle F}$ولها إحداثيات${\displaystyle (x'_{1},x'_{2},x'_{3},t')}$و${\displaystyle (y'_{1},y'_{2},y'_{3},s')}$في إطار قصوري آخر${\displaystyle F'}$، ثم${\displaystyle s-t=s'-t'}$علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle s-t=s'-t'=0}$، ثم

${\displaystyle \quad {\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}}$

${\displaystyle ={\sqrt {(x'_{1}-y'_{1})^{2}+(x'_{2}-y'_{2})^{2}+(x'_{3}-y'_{3})^{2}}}}$.

تتفق النظرية الفيزيائية التي تقدمها الميكانيكا الكلاسيكية وجاذبية نيوتن مع النسبية الغاليلية، ولكنها لا تتفق مع النسبية الخاصة. وعلى العكس من ذلك، لا تتفق معادلات ماكسويل مع النسبية الغاليلية إلا إذا افترضنا وجود الأثير الفيزيائي. في عدد من الحالات، لا تتفق قوانين الفيزياء في النسبية الخاصة (مثل المعادلة)${\displaystyle E=mc^{2}}$يمكن استنتاج ذلك من خلال الجمع بين مسلمات النسبية الخاصة وفرضية أن قوانين النسبية الخاصة تقترب من قوانين الميكانيكا الكلاسيكية في الحد غير النسبي.