نظرية روشيه

الموسوعة الحرة

تنص نظرية روشيه ، التي سُميت نسبةً إلى يوجين روشيه ، على أنه لأي دالتين عقديتين f و g تكونان تامتي الشكل داخل منطقة معينةك{\displaystyle K}بمحيط مغلق∂ك{\displaystyle \partial K}، إذا كان | g ( z )| < | f ( z )| على∂ك{\displaystyle \partial K}إذاً، فإن f و f + g لهما نفس عدد الأصفار في الداخلك{\displaystyle K}حيث يتم حساب كل صفر بعدد مرات تكراره . تفترض هذه النظرية أن المحيط∂ك{\displaystyle \partial K}إنها بسيطة، أي بدون تقاطعات ذاتية. تُعدّ نظرية روشيه نتيجة سهلة لنظرية روشيه المتناظرة الأقوى الموضحة أدناه.

الاستخدام

تُستخدم هذه النظرية عادةً لتبسيط مسألة تحديد أصفار الدوال، كما يلي: عند إعطاء دالة تحليلية، نكتبها على شكل مجموع جزأين، أحدهما أبسط وينمو أسرع من الجزء الآخر (وبالتالي يُهيمن عليه). يمكننا حينها تحديد الأصفار بالنظر إلى الجزء المُهيمن فقط. على سبيل المثال، كثيرة الحدودz5+3z3+7{\displaystyle z^{5}+3z^{3}+7}يحتوي القرص على 5 أصفار بالضبط|z|<2{\displaystyle |z|<2}منذ|3z3+7|≤31<32=|z5|{\displaystyle |3z^{3}+7|\leq 31<32=|z^{5}|}لكل|z|=2{\displaystyle |z|=2}، وz5{\displaystyle z^{5}}، الجزء المهيمن، يحتوي على خمسة أصفار في القرص.

شرح هندسي

عندما يتحرك المتجه z على طول منحنى مغلق C (غير موضح في الصورة)، فإن الدالتين f ( z ) و h ( z ) سترسمان منحنيات مغلقة في المستوى المركب (موضحة باللونين الأزرق والأحمر). طالما أن المنحنيات لا تتباعد كثيرًا عن بعضها (أي أن f ( z ) تبقى أقرب إلى h ( z ) من نقطة الأصل في جميع الأوقات)، فإن المنحنيات ستدور حول نقطة الأصل العدد نفسه من المرات. وبناءً على مبدأ الحجة ، فإن f ( z ) و h ( z ) لهما العدد نفسه من الأصفار داخل C (غير موضح).

من الممكن تقديم شرح غير رسمي لنظرية روشيه. إحدى الطرق الشائعة وغير الرسمية لتلخيص هذه الحجة هي كما يلي: إذا قام شخص ما بتمشية كلب مربوط بحبل حول شجرة مرارًا وتكرارًا، بحيث تكون المسافة بين الشخص والشجرة دائمًا أكبر من طول الحبل، فإن الشخص والكلب سيدوران حول الشجرة نفس عدد المرات. [ 1 ]

ليكن C منحنىً مغلقًا وبسيطًا (أي غير متقاطع مع نفسه). وفقًا لنظرية منحنى جوردان ، يُحدد هذا المنحنى منطقة تُسمى باطنه ، ويجب عدم الخلط بينها وبين باطنه الطوبولوجي ، وهو فارغ في هذا السياق. ليكن h ( z ) = f ( z ) + g ( z ). إذا كانت كل من f و g دالتين تحليليتين على باطن C ، فإن h يجب أن تكون أيضًا تحليلية على باطن C. عندئذٍ، مع الشروط المفروضة أعلاه، تنص نظرية روش في صيغتها الأصلية (وغير المتناظرة) على ما يلي:

إذا كان | f ( z )| > | h ( z ) − f ( z )| لكل z على C ، فإن f و h لهما نفس عدد الأصفار في داخل C.

لاحظ أن الشرط | f ( z )| > | h ( z ) − f ( z )| يعني أنه لأي قيمة لـ z ، تكون المسافة من f ( z ) إلى نقطة الأصل أكبر من طول h ( z ) − f ( z ). وهذا يعني في الشكل التالي أنه لكل نقطة على المنحنى الأزرق، يكون طول القطعة المستقيمة الواصلة بينها وبين نقطة الأصل أكبر من طول القطعة المستقيمة الخضراء المرتبطة بها. بعبارة أخرى، يمكننا القول إن المنحنى الأزرق f ( z ) أقرب دائمًا إلى المنحنى الأحمر h ( z ) منه إلى نقطة الأصل.    

تُظهر الفقرة السابقة أن الدالة h ( z ) يجب أن تدور حول نقطة الأصل بنفس عدد مرات دوران الدالة f ( z ). وبالتالي، فإن دليل كلا المنحنيين حول الصفر هو نفسه، لذا، وفقًا لمبدأ الحجة ، يجب أن يكون للدالتين f ( z ) و h ( z ) نفس عدد الأصفار داخل C.

التطبيقات

الجذور المحيطة

لنفترض متعددة الحدودz2+2أz+ب2{\displaystyle z^{2}+2az+b^{2}}معأ>ب>0{\displaystyle a>b>0}وبحسب القانون العام للمعادلة التربيعية ، فإن لها جذرين عند-أ±أ2-ب2{\displaystyle -a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}يمكن استخدام نظرية روشيه للحصول على بعض التلميحات حول مواقعها. |z2+ب2|≤2ب2<2أ|z| للجميع |z|=ب،{\displaystyle |z^{2}+b^{2}|\leq 2b^{2}<2a|z|{\text{ لجميع }}|z|=b,}

تنص نظرية روشيه على أن متعددة الحدود لها جذر واحد فقط داخل القرص|z|<ب{\displaystyle |z|<b}. منذ-أ-أ2-ب2{\displaystyle -a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}إذا كان من الواضح أن القيمة خارج القرص، نستنتج أن الصفر هو-أ+أ2-ب2{\displaystyle -a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}.

بشكل عام، كثير الحدودو(z)=أنzن+⋯+أ0{\displaystyle f(z)=a_{n}z^{n}+\cdots +a_{0}}. لو|أك|رك>∑ج≠ك|أج|رج{\displaystyle |a_{k}|r^{k}>\sum _{j\neq k}|a_{j}|r^{j}}بالنسبة للبعضر>0،ك∈0:ن{\displaystyle r>0,k\in 0:n}وبناءً على نظرية روش، فإن متعددة الحدود لها بالضبطك{\displaystyle k}جذور في الداخلب(0،ر){\displaystyle B(0,r)}.

يمكن أن يكون هذا النوع من الحجج مفيدًا في تحديد البقايا عند تطبيق نظرية البقايا لكوشي .

النظرية الأساسية للجبر

يمكن أيضًا استخدام نظرية روشيه لتقديم برهان قصير للنظرية الأساسية في الجبر . ليكن ص(z)=أ0+أ1z+أ2z2+⋯+أنzن،أن≠0{\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n},\quad a_{n}\neq 0} واخترR>0{\displaystyle R>0}كبيرة لدرجة أن: |أ0+أ1z+⋯+أن-1zن-1|≤∑ج=0ن-1|أج|Rج<|أن|Rن=|أنzن| ل |z|=R.{\displaystyle |a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n-1}z^{n-1}|\leq \sum _{j=0}^{n-1}|a_{j}|R^{j}<|a_{n}|R^{n}=|a_{n}z^{n}|{\text{ لـ }}|z|=R.} منذأنzن{\displaystyle a_{n}z^{n}}لديهن{\displaystyle n}أصفار داخل القرص|z|<R{\displaystyle |z|<R}(لأنR>0{\displaystyle R>0}وبناءً على ذلك، يترتب على نظرية روشيه أنص{\displaystyle p}يحتوي أيضًا على نفس عدد الأصفار داخل القرص.

إحدى مزايا هذا البرهان على غيره هي أنه لا يظهر فقط أن كثير الحدود يجب أن يكون له صفر، بل إن عدد أصفاره يساوي درجته (مع مراعاة التعددية كالمعتاد).

يُستخدم مبرهنة روشيه أيضاً لإثبات مبرهنة التطبيق المفتوح للدوال التحليلية. يُرجى الرجوع إلى المقالة للاطلاع على البرهان.

نسخة متناظرة

نُشرت نسخة أقوى من نظرية روشيه بواسطة تيودور إسترمان عام 1962. [ 2 ] وتنص على ما يلي: ليكنك⊂جي{\displaystyle K\subset G}أن تكون منطقة محدودة ذات حدود متصلة∂ك{\displaystyle \partial K}دالتان هولومورفيتانو،ز∈ح(جي){\displaystyle f,\,g\in {\mathcal {H}}(G)}لها نفس عدد الجذور (مع مراعاة التعددية) فيك{\displaystyle K}إذا كان عدم المساواة صارمًا |و(z)-ز(z)|<|و(z)|+|ز(z)|(z∈∂ك){\displaystyle |f(z)-g(z)|<|f(z)|+|g(z)|\qquad \left(z\in \partial K\right)} يمسك على الحدود∂ك.{\displaystyle \partial K.}

ثم تستنتج الصيغة الأصلية لنظرية روشيه من هذه الصيغة المتناظرة المطبقة على الدوال.و+ز،و{\displaystyle f+g,f}بالإضافة إلى المتباينة التافهة|و(z)+ز(z)|≥0{\displaystyle |f(z)+g(z)|\geq 0}(في الواقع، هذا التفاوت صارم لأنو(z)+ز(z)=0{\displaystyle f(z)+g(z)=0}بالنسبة للبعضz∈∂ك{\displaystyle z\in \partial K}وهذا يعني|ز(z)|=|و(z)|{\displaystyle |g(z)|=|f(z)|}).

يمكن فهم العبارة بشكل بديهي على النحو التالي. بالنظر إلى-ز{\displaystyle -g}بدلاً منز{\displaystyle g}يمكن إعادة صياغة الشرط على النحو التالي:|و(z)+ز(z)|<|و(z)|+|ز(z)|{\displaystyle |f(z)+g(z)|<|f(z)|+|g(z)|}لz∈∂ك{\displaystyle z\in \partial K}. منذ|و(z)+ز(z)|≤|و(z)|+|ز(z)|{\displaystyle |f(z)+g(z)|\leq |f(z)|+|g(z)|}يتحقق ذلك دائمًا من خلال متباينة المثلث، وهذا يعادل القول بأن|و(z)+ز(z)|≠|و(z)|+|ز(z)|{\displaystyle |f(z)+g(z)|\neq |f(z)|+|g(z)|}على∂ك{\displaystyle \partial K}وهذا بدوره يعني أنه بالنسبة لـz∈∂ك{\displaystyle z\in \partial K}الوظائفو(z){\displaystyle f(z)}وز(z){\displaystyle g(z)}هي غير متلاشية وarg⁡و(z)≠arg⁡ز(z){\displaystyle \arg {f(z)}\neq \arg {g(z)}}.

بشكل بديهي، إذا كانت قيمو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}لا تمر أبدًا عبر نقطة الأصل ولا تشير أبدًا إلى نفس الاتجاهz{\displaystyle z}يدور على طول∂ك{\displaystyle \partial K}، ثمو(z){\displaystyle f(z)}وز(z){\displaystyle g(z)}يجب أن يلتف حول نقطة الأصل نفس عدد المرات.

برهان الشكل المتناظر لنظرية روشيه

يتركج:[0،1]→ج{\displaystyle C\colon [0,1]\to \mathbb {C} }ليكن منحنى مغلقًا بسيطًا صورته هي حدوده∂ك{\displaystyle \partial K}تفترض الفرضية أن f ليس لها جذور على∂ك{\displaystyle \partial K}وبالتالي، وفقًا لمبدأ الحجة ، فإن عدد أصفار الدالة f في K هو N f ( K )12πأنا∮جو′(z)و(z)دz=12πأنا∮و∘جدzz=أناندو∘ج(0)،{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{f\circ C}{\frac {dz}{z}}=\mathrm {Ind} _{f\circ C}(0),} أي، عدد لفات المنحنى المغلقو∘ج{\displaystyle f\circ C}حول نقطة الأصل؛ وبالمثل بالنسبة لـ g . تضمن الفرضية أن g ( z ) ليست مضاعفًا حقيقيًا سالبًا لـ f ( z ) لأي z = C ( x )، وبالتالي فإن 0 لا تقع على القطعة المستقيمة الواصلة بين f ( C ( x )) و g ( C ( x ))، و حت(x)=(1-ت)و(ج(x))+تز(ج(x)){\displaystyle H_{t}(x)=(1-t)f(C(x))+tg(C(x))} هو تماثل بين المنحنياتو∘ج{\displaystyle f\circ C}وز∘ج{\displaystyle g\circ C}بتجنب نقطة الأصل. عدد اللفات ثابت تحت التماثل: الدالة أنا(ت)=أناندحت(0)=12πأنا∮حتدzz{\displaystyle I(t)=\mathrm {Ind} _{H_{t}}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{H_{t}}{\frac {dz}{z}}} دالة متصلة وقيمها صحيحة، وبالتالي فهي ثابتة. وهذا يدل على ذلك. شمالو(ك)=أناندو∘ج(0)=أناندز∘ج(0)=شمالز(ك).{\displaystyle N_{f}(K)=\mathrm {Ind} _{f\circ C}(0)=\mathrm {Ind} _{g\circ C}(0)=N_{g}(K).}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ نيدهام، تريستان (2023). التحليل البصري المعقد . مطبعة جامعة أكسفورد. ص  403. ISBN 978-0192868923.
  2. ↑ إسترمان، ت. (1962). الأعداد المركبة والدوال . مطبعة أثلون، جامعة لندن. ص 156. 
  • بيردون، آلان (1979). التحليل المركب: مبدأ الحجة في التحليل والطوبولوجيا . جون وايلي وأولاده. ص  131. ISBN 0-471-99672-6.
  • كونواي، جون ب. (1978). دوال المتغير المركب الواحد 1. سبرينغر-فيرلاغ نيويورك. ISBN 978-0-387-90328-6.
  • تيتشمارش، إي سي (1939). نظرية الدوال (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة أكسفورد. الصفحات 117-119 ، 198-203 . 
  • Rouché É.، Mémoire sur la série de Lagrange ، Journal de l'École Polytechnique، المجلد 22، 1862، ص. 193-224. تظهر النظرية في ص. 217. انظر أرشيفات جاليكا .