هندسة روبينر

هندسة روبينر هي هندسة ديناميكية حرارية (نوع من هندسة المعلومات ) تستخدم لغة الهندسة الريمانية لدراسة الديناميكا الحرارية . اقترحها جورج روبينر في عام 1979. وادعى أن الأنظمة الديناميكية الحرارية يمكن تمثيلها بواسطة الهندسة الريمانية، وأنه يمكن استخلاص الخصائص الإحصائية من النموذج.

يعتمد هذا النموذج الهندسي على دمج نظرية التقلبات في بديهيات الديناميكا الحرارية للتوازن ، أي وجود حالات توازن يمكن تمثيلها بنقاط على سطح ثنائي الأبعاد (متعدد الشعب)، وترتبط المسافة بين هذه الحالات بالتقلبات بينها. يرتبط هذا المفهوم بالاحتمالات، فكلما قل احتمال حدوث تقلب بين حالتين، زادت المسافة بينهما. ويمكن ملاحظة ذلك عند النظر إلى موتر القياس g_{_ij} في صيغة المسافة (عنصر الخط) بين حالتي التوازن.

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}^{R}dx^{i}dx^{j},\,}$

حيث أن مصفوفة المعاملات g _ij هي موتر القياس المتناظر الذي يسمى قياس روبينر ، والذي يُعرَّف بأنه مصفوفة هيسية سالبة لدالة الإنتروبيا

${\displaystyle g_{ij}^{R}=-\partial _{i}\partial _{j}S(U,N^{a})}$

حيث U هي الطاقة الداخلية (الكتلة) للنظام، و N ^a تشير إلى المعاملات الشاملة للنظام. رياضياً، تُعد هندسة روبينر نوعاً خاصاً من هندسة المعلومات ، وهي مشابهة لمقياس فيشر-راو المستخدم في الإحصاء الرياضي.

يمكن فهم مقياس روبينر على أنه الحد الديناميكي الحراري (حد الأنظمة الكبيرة) لمقياس معلومات فيشر الأكثر عمومية . ^{[ 1 ]} بالنسبة للأنظمة الصغيرة (الأنظمة التي تكون فيها التقلبات كبيرة)، قد لا يوجد مقياس روبينر، حيث لا يُضمن أن تكون المشتقات الثانية للإنتروبيا غير سالبة.

يرتبط مقياس روبينر بمقياس واينولد ارتباطًا توافقيًا عبر

${\displaystyle ds_{R}^{2}={\frac {1}{T}}ds_{W}^{2}\,}$

حيث T هي درجة حرارة النظام قيد الدراسة. يمكن إثبات العلاقة المطابقة بسهولة عند كتابة القانون الأول للديناميكا الحرارية ( dU = TdS + ...) في صيغة تفاضلية مع بعض العمليات الحسابية. تُعتبر هندسة واينهولد أيضًا هندسة ديناميكية حرارية، وتُعرَّف بأنها مصفوفة هيسيان للطاقة الداخلية بالنسبة للإنتروبيا ومعاملات أخرى شاملة.

${\displaystyle g_{ij}^{W}=\partial _{i}\partial _{j}U(S,N^{a})}$

لوحظ منذ زمن طويل أن مقياس روبينر يكون مسطحًا للأنظمة ذات الميكانيكا الإحصائية الأساسية غير التفاعلية، مثل الغاز المثالي. وتشير نقاط التفرد في الانحناء إلى سلوكيات حرجة. إضافةً إلى ذلك، طُبِّق هذا المقياس على عدد من الأنظمة الإحصائية، بما في ذلك غاز فان دير فالس . ومؤخرًا، دُرِس غاز الأنيونات باستخدام هذا النهج.

طُبقت هذه الهندسة على الديناميكا الحرارية للثقوب السوداء ، وحققت نتائج ذات أهمية فيزيائية. وتُعدّ حالة ثقب كير الأسود في الأبعاد الأعلى الأكثر أهمية من الناحية الفيزيائية ، حيث تشير نقطة التفرد في الانحناء إلى عدم استقرار ديناميكي حراري، كما تم التوصل إليه سابقًا بالطرق التقليدية.

تُعطى إنتروبيا الثقب الأسود بواسطة صيغة بيكنشتاين-هوكينغ المعروفة

${\displaystyle S={\frac {k_{\text{B}}c^{3}A}{4G\hbar }}}$

أين${\displaystyle k_{\text{B}}}$هو ثابت بولتزمان ،${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء ،${\displaystyle G}$هو ثابت نيوتن للجاذبية و${\displaystyle A}$هي مساحة أفق الحدث للثقب الأسود. من حيث المبدأ، يُعد حساب هندسة روبينر لإنتروبيا الثقب الأسود أمرًا بسيطًا، ولكن من المهم كتابة الإنتروبيا بدلالة المعاملات الشاملة.

${\displaystyle S=S(M,N^{a})}$

أين${\displaystyle M}$تمثل ADM كتلة الثقب الأسود، و N ^وa الشحنات المحفوظة، وتتراوح قيمة a من 1 إلى n . تعكس إشارة المقياس إشارة الحرارة النوعية للثقب . بالنسبة لثقب رايسنر-نوردستروم الأسود ، يكون لمقياس روبينر إشارة لورنتزية تتوافق مع سعته الحرارية السالبة، بينما بالنسبة لثقب BTZ الأسود ، تكون الإشارة إقليدية . لا يمكن إجراء هذا الحساب لثقب شوارزشيلد الأسود، لأن إنتروبيته

${\displaystyle S=S(M)}$

مما يجعل المقياس متدهوراً.

• روبينر، جورج (1995). "الهندسة الريمانية في نظرية التقلبات الديناميكية الحرارية". مراجعات الفيزياء الحديثة . 67 (3): 605-659 . Bibcode : 1995RvMP...67..605R . doi : 10.1103/RevModPhys.67.605 ..
• أمان، جون إي.؛ بنغتسون، إنجيمار؛ بيدوكراجت، ناريت؛ وارد، جون (2008). "الهندسة الديناميكية الحرارية للثقوب السوداء". الاجتماع الحادي عشر لمارسيل غروسمان . الصفحات 1511-1513 . doi : 10.1142/9789812834300_0182 . ISBN  978-981-283-426-3.